考点02 全称量词与存在量词、充要条件（教师版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 17 页 考点考点 02 全称量词与存在量词、充要条件全称量词与存在量词、充要条件 1、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 2、理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，会判断充分条件、必要条件、充要条件。 3、了解或、且、非的含义 了解全称量词与存在量词的意义，能准确地对一个量词的命题进行 否定 从近几年江苏高考可以看出，高考对本章的考查主要体现在函数的恒成立和存在问题，这也是 与函数知识点融合的热点问题，这就要引起考生的重视，另外一方面也要重点复习含有量词的 否定等含有量词的简单问题以及两个命题的条件的问题。 本节内容是高考的要求掌握的内容，

2、本节内容在江苏高考中很少直接考查，往往是以本节内容 的知识点为依托考查函数、立体几何、解析几何等有关内容。以两种形式考查，一是简单的填 空题形式出现，如四种命题、含有量词的否定，集合的充分条件、必要条件、充要条件的判断。 而是中档题或者解答题中的考查，主要以存在量词和全称量词在函数中的考查，主要是研究函 数的值域的关系，恒成立问题，存在问题等形式出现。 在高考复习中要特别注意以下几点： 、判断命题时要分清命题的条件与结论，进而根据命题的关系写出其它命题。 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 17 页 、判断命题之间 P 是 q 的什么条

3、件，要从两个方面入手：一是 P 能否推出 q，另一方面是 q 能否推出 p。若不能推出可以举出一个反例即可，否则就要进行简单的证明。对于证明命题的 充要条件要从充分性和必要性两个方面加以证明。 、对于含义存在于任意的问题，要充分理解题意，分清是函数中的值域问题还是恒成立问题 或者是最值问题或者构造函数问题 1、【2020 年高考北京】.已知 ,R ，则“存在kZ使得( 1)kk ”是“sin sin ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】(1)当存在kZ使得( 1)kk 时， 若k为偶数，则sinsin

4、sink； 若k为奇数，则 sinsinsin1sinsinkk ； (2)当sin sin 时， 2m 或 2m ，mZ，即12 k kkm 或 121 k kkm ， 亦即存在kZ使得( 1)kk 所以，“存在kZ使得( 1)kk ”是“sin sin ”的充要条件. 故选：C. 2、【2020 年高考天津】.设aR，则“ 1a ”是“ 2 aa”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】求解二次不等式 2 aa可得： 1a 或0a ， 五年高考真题五年高考真题 第 3 页 / 共 17 页 据此可知：1a 是 2

5、 aa的充分不必要条件. 故选：A. 3、【2019 全国卷】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与 平行 B. 内有两条相交直线与 平行 C. ， 平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是 / /的充分条件，由面 面平行性质定理知，若 / /，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与 平行是/ /的必要条件，故选 B 4、【2019 年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面” 是“m，n，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不

6、充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意 , ,m n l是空间不过同一点的三条直线， 当 , ,m n l在同一平面时，可能 / /m n l，故不能得出 , ,m n l两两相交. 当 , ,m n l两两相交时，设,mnA mlB nlC ，根据公理2可知 ,m n确定一个平面， 而 ,BmCn ，根据公理1可知，直线BC即l，所以 , ,m n l在同一平面. 综上所述，“ , ,m n l在同一平面”是“, ,m n l两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 5、【2019 年高考浙江】若 a0，b0，则“a+b4”是 “ab4”的 A充分

7、不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 0, 0ab 时，2abab，则当4ab时，有24abab，解得4ab， 充分性成立； 第 4 页 / 共 17 页 当 =1, =4ab 时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立， 综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件. 故选 A. 6、【2019 年高考天津理数】设xR，则“ 2 50 xx”是“|1| 1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 2 50 xx可得05x，由| 1| 1x 可得02x， 易知由0

8、5x推不出02x， 由02x能推出05x， 故05x是02x的必要而不充分条件， 即“ 2 50 xx”是“| 1| 1x ”的必要而不充分条件. 故选 B. 7、【2019 年高考全国卷理数】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是 的充分条件； 由面面平行的性质定理知，若 ，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相 交直线都与平行是 的必要条件. 故 的充要条件是 内有两条相交直线与 平行. 故选 B 8、【2019 年

9、高考北京理数】设点 A，B，C 不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是 “| |ABACBC”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 第 5 页 / 共 17 页 【解析】ABC 三点不共线，|AB+AC|BC|AB+AC|AC-AB| |AB+AC|2|AC-AB|2 AB AC0 AB 与AC的夹角为锐角， 故“AB与AC的夹角为锐角”是“| AB+AC|BC|”的充分必要条件. 故选 C. 9、【2018 年高考浙江】已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D

10、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得. 由不能得出 与 内任一直线平行， 所以是的充分不必要条件. 故选 A. 10、【2018 年高考天津理数】设xR，则“ 11 | 22 x”是“ 3 1x ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】绝对值不等式 ， 由 . 据此可知是的充分而不必要条件. 故选 A. 11、【2018 年高考北京理数】设 a，b 均为单位向量，则“ 33abab”是“ab”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析

11、】 22 2222 3333699+6 ababababaa bbaa bb， 第 6 页 / 共 17 页 因为 a，b 均为单位向量，所以 2222 699+60= aa bbaa bba bab， 即“33 abab”是“ab”的充分必要条件. 故选 C. 12、【2019 年江苏试卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. （1）已知等比数列an满足： 245132 ,440a aa aaa ，求证:数列an为“M数列”； （2）已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中 Sn 为数列bn的前 n 项和 求数列bn的通项公式； 设 m 为正整数，

12、 若存在“M数列”cn， 对任意正整数 k， 当 km 时， 都有 1kkk cbc 剟 成立， 求 m 的最大值 【详解】 （1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0. 由 245 321 440 a aa aaa ，得 244 11 2 111 440 a qa q a qa qa ，解得 1 1 2 a q 因此数列 n a为“M数列”. （2）因为 1 122 nnn Sbb ，所以 0 n b 由 111 1,bSb得 2 122 11b ，则 2 2b . 由 1 122 nnn Sbb ，得 1 1 2() nn n nn b b S bb ， 当2n时，由 1nnn

13、bSS ，得 11 11 22 n nnn n nnnn b bb b b bbbb ， 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列. 因此，数列bn的通项公式为 bn=n * nN. 由知，bk=k， * kN. 因为数列cn为“M数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q0. 第 7 页 / 共 17 页 因为 ckbkck+1，所以 1kk qkq ，其中 k=1，2，3，m. 当 k=1 时，有 q1； 当 k=2，3，m 时，有 lnln ln 1 kk q kk 设 f（x）= ln (1) x x x ，则 2 1 ln ( ) x f x x

14、令( )0f x ，得 x=e.列表如下： x (1,e) e (e，+) ( )f x + 0 f（x） 极大值 因为 ln2ln8ln9ln3 2663 ，所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf 取 3 3q ，当 k=1，2，3，4，5 时， ln ln k q k ，即 k kq ， 经检验知 1k qk 也成立 因此所求 m 的最大值不小于 5 若 m6，分别取 k=3，6，得 3q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216， 所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6. 综上，所求 m 的最大值为 5 13、【2018 年江苏试卷】设是首项为 ，公差为 d

15、 的等差数列，是首项为 ，公比为 q 的等比数列 （1）设，若对均成立，求 d 的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求 的取值范围（用表示） 解析：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一 端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子 满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化 第 8 页 / 共 17 页 为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 详解：解： （1）由条件知： 因为对 n=1，2，3，4 均成立， 即对 n=1，2，3，4 均成立， 即 11，1d

16、3，32d5，73d9，得 因此，d 的取值范围为 （2）由条件知： 若存在 d，使得（n=2，3， ，m+1）成立， 即， 即当时，d 满足 因为，则， 从而，对均成立 因此，取 d=0 时，对均成立 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（） 当时， 当时，有，从而 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为 第 9 页 / 共 17 页 设，当 x0 时， 所以单调递减，从而0”为真 命题，当 a0,4x0 不恒成立，故不成立；当 a0 时， a0， 164a22，所以实数 a 的取值范围是(2，) 易错警示 转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次 项系数为

17、0 时能否成立 变式 5、 【2020 届江苏盐城中学高三月考】若命题“ 2 0tta R,tR，t2a0”是真命题， 则实数 a 的取值范围是_ 【答案】0, （） 【解析】命题“ 2 0tta R,”是真命题，040a0a ， 则实数a的取值范围 是0 （ ，）故答案为（0，+ ） 变式 6、 【2020 江苏扬州高邮开学考试】已知命题 p：关于x的不等式 2 420 xxm无解；命 题q：指数函数( )(21)xf xm是R上的增函数 (1)若命题 pq 为真命题，求实数m的取值范围； (2)若满足 p为假命题且q为真命题的实数m取值范围是集合A，集合 第 11 页 / 共 17 页 2

18、 |2113Bxtxt ，且AB，求实数t的取值范围 【解析】(1)由 p为真命题知， 16 80m 解得2m，所以m的范围是2,)， 由q为真命题知，21 1m ， 1m ，取交集得到2,) 综上，m的范围是2, ) (2)由(1)可知，当 p为假命题时， 2m；q为真命题，则21 1m 解得：1m 则m的取值范围是(1,2)即 |12Amm ，而AB，可得， 2 21 1 132 t t ，解得： 111t ， 所以，t的取值范围是 11,1 变式 7、 【2020 沭阳修远中学月考】设命题 p：函数 2 1 lg 16 f xaxxa 的定义域为 R；命 题 q：不等式39 xx a对任

19、意xR恒成立 ()如果 p 是真命题，求实数a的取值范围； ()如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题，求实数a的取值范围 【答案】()实数a的取值范围是2a ()实数a的取值范围是 1 2 4 a 【解析】(1)命题 p是真命题，则有 0a，a的取值范围为2a (2)命题q是真命题，不等式39 xx a对一切xR均成立，设39 xx y ，令30 x t ，则 2 ytt ，0t ，当 1 2 t 时， max 111 244 y，所以 1 4 a 命题“p q ”为真命题，“p q ”为假命题，则 p，q一真一假 p真q假， 2a，且 1 4 a ，则得a不存在；若p假q真

20、，则得 1 2 4 a 综上，实数a的取值范围 1 2 4 a 方法总结： 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题， 可先求出各命题为真时参数的范围， 再利用逻辑联结词的含义求参数范围 题型二：充分必要条件 例 1、【成都石室中学高 2020 届三诊模拟考试】 “ 4 3 k ”是 “直线1ykx与圆 2 2 21xy 相切”的（ ） 第 12 页 / 共 17 页 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因为直线1ykx与圆 2 2 21xy相切，则 2 21 1 1 k dr k 所以 4 3 k 或0， “ 4 3 k ”是“直线1y

21、kx与圆 2 2 21xy相切”的充分不必要条件。 变式 1、 【 2020 届浙江省台州市温岭中月模拟】 ）已知 , x y是非零实数，则“xy ”是“ 11 xy ” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 因为 11 xy ,所以 0 0 xy xy xyxy 或 0 xy xy ,所以x y 是“ 11 xy ”的既不充分也不必要条 件,选 D 变式 2、 【 2020 届浙江省温州市高三 4 月二模】 ）设 ,0,11,a b，则ab是 ab log blog a的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D

22、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 ,0,11,a b，当ab 时，log log ab ba ，充分性； 当log log ab ba ，取 1 2, 2 ab，验证成立，故不必要. 故选：A. 变式 3、【 2020 浙江省温州市新力量联盟高三上期末 】 已知0a且1a ， 则“log1 a ab” 是“10ab ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 13 页 / 共 17 页 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由log1 a ab 当 1a 时，aba 得0b ，推出10ab， 当01a时，0a ba 得0b，推出10ab， 则log1

23、a ab是10ab的充分条件， 但当10ab时不一定能推出log1 a ab（比如：01a，1b，这时0a b 无意义） 则log1 a ab是10ab的不必要条件， 故选：A. 变式 4、 【2020 届江苏盐城中学高三月考】设向量(sin2 ,cos )a，(cos ,1)b，则“ /ab” 是“ 1 tan 2 ”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不 必要”) 【答案】必要不充分 【解析】 2 / /(sin2 ,cos )/ /(cos ,1)sin2coscos02sincosab或 1 cos0tan 2 或，所以“ /ab”是“ 1 tan

24、 2 ”成立的必要不充分条件 变式 5、【2020 届江苏昆山调研】 已知平面a，b和直线l， 且la， 则“lb”是“a b rr ”的_ 条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写) 【答案】充分不必要 【解析】由题得lbab，所以“lb”是“a b rr ”的充分条件；当a b rr 时，不一定有lb， 有可能l不与平面 b 垂直，也有可能l在平面 b 内 所以“lb”是“a b rr ”的非必要条件所以“lb”是“a b rr ”的充分非必要条件故答案为：充 分不必要 变式 6、 【2020 届江苏常熟上学期期中】“2x”是“1x ”的 条件(填“充分不必要”、

25、“必 第 14 页 / 共 17 页 要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个) 【答案】充分不必要 【解析】因为 211,1xxx 时2x不一定成立，所以“2x”是“1x ”的充分不必要条 件 变式 7、 【2020 届江苏盐城中学高三月考】设aR，则“2a”是“直线 2yax 与直线 1 4 a yx垂直”的_条件 【答案】充分不必要条件 【解析】 若直线 2yax 与直线1 4 a yx垂直， 则1 4 a a， 解得：2a ； 所以由“2a” 能推出“直线 2yax 与直线1 4 a yx垂直”，由“直线 2yax 与直线1 4 a yx垂直” 不能推出“2a”；即“2a”

26、是“直线2yax 与直线1 4 a yx垂直”的充分不必要条件 变式 8、 【2020 江苏如东中学月考】设 :p 实数x满足 22 430 xaxa(其中0a)， :q 实数x满 足 3 0 2 x x 若 p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 【答案】12a 【解析】设 3Ax axa ， 23Bxx ， p 是 q 的必要不充分条件，则 BA ，则 02 33 a a ，所以实数a的取值范围是1 2a 变式 9、 【2020 江苏镇江八校调研】已知集合 2 2 |log4159 ,Ax yxxxR， | 1,Bx xmxR (1)求集合A； (2)若 p：x A，q：xB，且 p是

27、q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【答案】(1) 3 |3 4 Axx (2) 1 ,4, 4 第 15 页 / 共 17 页 【解析】 (1) 2 2 |log4159 ,Ax yxxxR ， 2 41590 xx， 则( 3 ) ( 43 ) 0 xx ， 3 3 4 x， 3 |3 4 Axx (2) | 1,Bx xmxR，由| | 1xm 可得：1xm或1xm，1xm或 1xm， |1Bx xm或1xm p：x A，q：xB， 且 p是q的充分不必要条件， 13m 或 3 1 4 m ， 4m或 1 4 m ， 实数m的取值范围是 1 ,4, 4 方法总结：充分、必要条件的三种

28、判断方法： （1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为 真，则 是 的充分条件 （2）等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于 条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 （3）集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件 题型三 存在与任意问题 例 3、 【 2019 泰州期末 】 已知函数 f(x) x 33x2a，xa， x33x4a，xa，若存在 x00，使得 f(x0)0， 则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 1，0) 思路分析 本题是一个分段函数的形式，有以下两种处理的思路： 思

29、路 1.对两段函数分别研究图像和性质， 由于研究的是 x0 的情形， 故分 a0 和 a0 两种情况 讨论，当 a0 时，结论易得；当 a0 时，由于 xa 时，f(x)单调递增，而 f(a)a3a，故要对 f(a)a3a 的正负分三种情况讨论，最后总结，问题得以解决 思路 2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数，本题 f(x)x33|xa|a，从而问题转化为 yx3和 y3|xa|a 的图像在 y 轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论 解法 1(分类讨论法) 当 a0 时，只考虑 x0，f(x)在(，a)上单 第 16 页 / 共 17 页 调递增，而 f(0)4a0，显然不存在

30、x00，使得 f(x0)0，所以 a0 不成立 当 a0 时，当 xa 时，f(x)在(，a)上单调递增，且 f(x)0，即1a0 时，则必存在 x0a，使得 f(x0)0，结论成立； 当 a1 时，f(1)0，结论成立； 当 a1 时，f(x)在 a，1)上单调递增，在(1，0)上递减，而 f(1)2a20，结 论不成立 综上实数 a 的取值范围是1，0) 解法 2(图像法) 函数 f(x)x33|xa|a，由题意可得 yx3与 y3|xa|a 在 y 轴左侧 有交点 y3|xa|a 的顶点为(a，a)，在直线 yx 上，由 yx， yx3，解得 x1. 又 yx3在 x1 处的切线率斜恰为

31、 3，画出图像如图所示，数形结合知 a1，0) 变式、 【 2019 苏州期末 】设函数 f(x) 2 xax 2 ，若对任意 x1(，0)，总存在 x2, 2 使得)()( 12xx ff，则实数 a 的范围 【答案】10a 思路分析 考察函数 f(x)在区间(，0)和上的最小值或下确界特别注意到，当 a0 时，当 x 3 2 a时， 2 xax 20. 当 a0 时，f(x) 2 |x|在(，0)上的值域为(0，)，在，满足要求； 当 a0 恒成立，所以不可能有 f(x2)f(x1)； 当 01 4时，设 g(x) 2 xax 2，则 g(x)2 x22ax 2ax32 x2 . 易得 g(x)在 ， 1 3 a 上递增，在上递减，在(2,)单调递减 所以 3 min 1 3)(af x 14)( min 2 af x 第 17 页 / 共 17 页 所以1 4 1 314 3 aaa解得 综上：10a 方法总结： 恒成立与存在性问题主要涉及到函数的图象和性质， 渗透着换元、 化归、 数形结合、 函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数 学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与 函数、导数知识密不可分。