2020年6月湖南省长沙市天心区中考数学仿真试卷（含答案解析）

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1、2020 年湖南省长沙市天心区中考数学仿真试卷（年湖南省长沙市天心区中考数学仿真试卷（6 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列各数中为无理数的是（ ） A1 B3.14 C D0 24 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号” 成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439000 米，将 439000 用科 学记数法表示应为（ ） A0.439106 B4.39106 C4.39105 D439103 3下列计算正确

2、的是（ ） A5ab3a2b Ba8a5a3 C （a1）2a21 D （a2）3a5 4在平面直角坐标系中，将点（2，3）先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到的点 的坐标为（ ） A （2，5） B （6，5） C （2，1） D （6，1） 5如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A B C D 6从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是 86.5 分，方差 分别是 S甲 21.5，S 乙 22.6，S 丙 23.5，S 丁 23.68，你认为派谁去参赛更合适（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7如图

3、，ABCD，B68，E20，则D 的度数为（ ） A28 B38 C48 D88 8下列说法正确的是（ ） A抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 B一组数据 3，2，4，2，5，其中位数为 4 C检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 D367 人中至少有 2 人在同月同日生 9已知点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y的图象上，则实数 k 的值为（ ） A3 B C3 D 10如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，ADC35，则CAB 的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 11在ABC 中，C90，AB10，tanA，则 BC 的长为（ ）

4、A2 B6 C8 D10 12已知抛物线 yax2+2axb（a0） ，它关于点（0，12）对称的抛物线为 y1，其顶点为 A1；关于点（0， 22）对称的抛物线为 y2，其顶点为 A2；关于点（0，n2）对称的抛物线为 yn，其顶点为 An（n 为 正整数） 则 A2020A2021的长为（ ） A2020 B2021 C8080 D8082 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13分解因式：x2+xy 14一个多边形的内角和为 900，则这个多边形的边数为 15方程的解是 16已知扇形的圆心角为 120，半径为 6，则扇

5、形的弧长是 17如图，直线 MNPQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A，B小宇同学利用尺规按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；分别以 C，D 为圆心，以大于 CD 长为半径作弧，两弧在NAB 内交于点 E；作射线 AE 交 PQ 于点 F若 AB2，ABP60， 则线段 AF 的长为 18如图，在平面直角坐标系中，C（0，4） ，A（3，0） ，A 半径为 2，P 为A 上任意一点，E 是 PC 的 中点，则 OE 的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19，20 题每小题题每小题

6、6 分，第分，第 21，22 题每小题题每小题 6 分，第分，第 23，24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25，26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： （1）2020+2sin60+| 20 （6 分）先化简，再求值： （1+x） （1x）+x（x+2）1，其中 x3 21 （8 分）为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的 A 实心球，B 立定跳远，C 跑步，D 跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图 1，图 2 的 统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次调查中喜欢“跑步

7、”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整 （2）随机抽取了 4 名喜欢“跑步”的学生，其中有 2 名女生，2 名男生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率 22 （8 分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若 AB5，AC6，求ABCD 的面积 23 （9 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用若购 买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1

8、）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多 少副围棋？ 24 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与 AD、OD 分别交于点 E、 F （1）求证：DOAC； （2）求证：DEDADC2； （3）若 tanCAD，求 sinCDA 的值 25 （10 分）若抛物线 L：yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与直线 l：yax+b 满足 a2+b22a（2cb） ， 则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“支干”关系此时，直线 l 叫做抛物线 L

9、 的“支线” ，抛物线 L 叫做直 线 l 的“干线” （1）若直线 yx2 与抛物线 yax2+bx+c 具有“支干”关系，求“干线”的最小值； （2）若抛物线 yx2+bx+c 的“支线”与 y的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”yax2+bx+c 与它的“支线”交于点 P，与它的“支线”的平行线 l：yax+4a+b 交于点 A，B，记ABP 得面积为 S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请 说明理由 26 （10 分）如图，抛物线 y（x3m） （其中 m0）与 x 轴分别交于 A、B 两点（A 在 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C；

10、（1） 点 B 的坐标为 ， 点 A 的坐标为 （用含 m 的代数式表示） ， 点 C 的坐标为 （用 含 m 的代数式表示） ； （2）若点 P 为直线 AC 上的一点，且点 P 在第二象限，满足 OP2PCPA，求 tanAPO 的值及用含 m 的代数式表示点 P 的坐标； （3）在（2）的情况下，线段 OP 与抛物线相交于点 Q，若点 Q 恰好为 OP 的中点，此时对于在抛物线 上且介于点 C 与顶点之间（含点 C 与顶点）的任意一点 M（x0，y0）总能使不等式 n及不 等式 2n4x02+x0+恒成立，求 n 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、

11、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列各数中为无理数的是（ ） A1 B3.14 C D0 【分析】 是圆周率，是无限不循环小数，所以 是无理数 【解答】解： 是无限不循环小数， 是无理数 故选：C 24 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号” 成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439000 米，将 439000 用科 学记数法表示应为（ ） A0.439106 B4.39106 C4.39105 D439103 【分析】科学记数法的表示形式为 a

12、10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 439000 用科学记数法表示为 4.39105 故选：C 3下列计算正确的是（ ） A5ab3a2b Ba8a5a3 C （a1）2a21 D （a2）3a5 【分析】根据同底数幂除法、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式以及合并同类项法则进行计算即可 【解答】解：5ab 与3a 不是同类项，不能合并，因此选项 A 不符合题意； a8a5a3，因此选项 B 符合题意； （a

13、1）2a22a+1，因此选项 C 不符合题意； （a2）3a6，因此选项 D 不符合题意； 故选：B 4在平面直角坐标系中，将点（2，3）先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到的点 的坐标为（ ） A （2，5） B （6，5） C （2，1） D （6，1） 【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（2+4，32） ， 再解即可 【解答】解：将点 P（2，3）向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度所得到的点坐标为（ 2+4，32） ，即（2，1） ， 故选：C 5如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视

14、图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从左面看易得第一层有 1 个正方形，第二层有 2 个正方形，如图所示： 故选：B 6从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是 86.5 分，方差 分别是 S甲 21.5，S 乙 22.6，S 丙 23.5，S 丁 23.68，你认为派谁去参赛更合适（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性 也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案 【解答】解：

15、1.52.63.53.68， 甲的成绩最稳定， 派甲去参赛更好， 故选：A 7如图，ABCD，B68，E20，则D 的度数为（ ） A28 B38 C48 D88 【分析】根据平行线的性质得到1B68，由三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】解：如图，ABCD， 1B68， E20， D1E48， 故选：C 8下列说法正确的是（ ） A抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 B一组数据 3，2，4，2，5，其中位数为 4 C检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 D367 人中至少有 2 人在同月同日生 【分析】根据概率公式、中位数概念、全面调查与抽样调查区别逐一判断可得 【解答

16、】解：A抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，此选项错误； B一组数据 2，2，3，4，5，其中位数为 3，此选项错误； C检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用抽样调查，此选项错误； D367 人中至少有 2 人在同月同日生，此选项正确； 故选：D 9已知点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y的图象上，则实数 k 的值为（ ） A3 B C3 D 【分析】先根据关于 x 轴对称的点的坐标特征确定 A的坐标为（1，3） ，然后把 A的坐标代入 y中 即可得到 k 的值 【解答】解：点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A的坐标为（1，3） ， 把 A（1，3）代入 y得

17、 k133 故选：A 10如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，ADC35，则CAB 的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】 根据圆周角定理得到ABCADC35， ACB90， 根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解：由圆周角定理得，ABCADC35， AB 为O 的直径， ACB90， CAB90ABC55， 故选：C 11在ABC 中，C90，AB10，tanA，则 BC 的长为（ ） A2 B6 C8 D10 【分析】设 BC3x，根据正切的定义用 x 表示出 AC，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解：设 BC3x， tanA， ， AC4x， 由勾股定理得

18、，BC2+AC2AB2，即（3x）2+（4x）2102， 解得，x2， BC3x6， 故选：B 12已知抛物线 yax2+2axb（a0） ，它关于点（0，12）对称的抛物线为 y1，其顶点为 A1；关于点（0， 22）对称的抛物线为 y2，其顶点为 A2；关于点（0，n2）对称的抛物线为 yn，其顶点为 An（n 为 正整数） 则 A2020A2021的长为（ ） A2020 B2021 C8080 D8082 【分析】求出抛物线顶点关于（0，n2）和（0， （n+1）2）的对称点坐标，即可得出结论 【解答】抛物线 yax2+2axb 的顶点坐标为（1，ab） ， 点（1，ab）关于点（0，

19、n2）的对称点为（1，a+b+2n2） ， 抛物线 yn的顶点坐标 An为（1，a+b+2n2） ， 同理：An+1（1，a+b+2（n+1）2） ， AnAn+1a+b+2（n+1）2（a+b+2n2）4n+2 A2020A2021的长为：42020+28082， 故选：D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13分解因式：x2+xy x（x+y） 【分析】直接提取公因式 x 即可 【解答】解：x2+xyx（x+y） 14一个多边形的内角和为 900，则这个多边形的边数为 7 【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内

20、角和等于 900，列出方程，解出即可 【解答】解：设这个多边形的边数为 n，则有 （n2）180900， 解得：n7， 这个多边形的边数为 7 故答案为：7 15方程的解是 x2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：x+64x， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解， 故答案为：x2 16已知扇形的圆心角为 120，半径为 6，则扇形的弧长是 4 【分析】直接利用弧长公式求出即可 【解答】解：扇形的圆心角为 120，半径为 6， 扇形的弧长是：4 故答案为：4 17如图，直线 MNPQ，直线 AB 分别

21、与 MN，PQ 相交于点 A，B小宇同学利用尺规按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；分别以 C，D 为圆心，以大于 CD 长为半径作弧，两弧在NAB 内交于点 E；作射线 AE 交 PQ 于点 F若 AB2，ABP60， 则线段 AF 的长为 2 【分析】作高线 BG，根据直角三角形 30 度角的性质得：BG1，AG，可得 AF 的长 【解答】解：MNPQ， NABABP60， 由题意得：AF 平分NAB， 1230， ABP1+3， 330， 1330， ABBF，AGGF， AB2， BGAB1， AG， AF2AG2， 故答案为：

22、2 18如图，在平面直角坐标系中，C（0，4） ，A（3，0） ，A 半径为 2，P 为A 上任意一点，E 是 PC 的 中点，则 OE 的最小值是 1.5 【分析】如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH利用三角形的中位线定理可得 EH1，推出 点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心半径为 1 的圆 【解答】解：如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH CEEP，CHAH， EHPA1， 点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心半径为 1 的圆， C（0，4） ，A（3，0） ， H（1.5，2） ， OH2.5， OE 的最小值OHEH2.511.5， 故答案为：1.

23、5 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19，20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21，22 题每小题题每小题 6 分，第分，第 23，24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25，26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： （1）2020+2sin60+| 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+2+2 1+2 12 20 （6 分）先化简，再求值： （1+x） （1x）+x（x+2）1，其中 x3 【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合

24、并得到最简结果，把 x 的值 代入计算即可求出值 【解答】解：原式1x2+x2+2x1 2x， 当 x3 时，原式6 21 （8 分）为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的 A 实心球，B 立定跳远，C 跑步，D 跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图 1，图 2 的 统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整 （2）随机抽取了 4 名喜欢“跑步”的学生，其中有 2 名女生，2 名男生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好

25、抽到同性别学生的概率 【分析】 （1）用 A 的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去 A、B、D 的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数，再根据四个项目的百分比之和为 1 求出 C 对应的百分比，再补 全统计图即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到同性别学生的情况，再 利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）被调查的学生总人数为 1510%150（人） ， 本次调查中喜欢 “跑步” 的学生人数为 150 （15+45+30） 60 （人） ， 所占百分比为 1 （10%+30%+20%） 40%， 补全统计图如下： （2）

26、画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的有 4 种情况， 刚好抽到同性别学生的概率为 22 （8 分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若 AB5，AC6，求ABCD 的面积 【分析】 （1）利用全等三角形的性质证明 ABAD 即可解决问题； （2）连接 BD 交 AC 于 O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD， AEBC，AFCD， AEBAFD90， BEDF， AEBAFD ABAD， 四边形 ABCD 是菱形 （2）

27、连接 BD 交 AC 于 O 四边形 ABCD 是菱形，AC6， ACBD， AOOCAC63， AB5，AO3， BO4， BD2BO8， S平行四边形ABCDACBD24 23 （9 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用若购 买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多 少副围棋？ 【分析】 （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元，根据题

28、意得：，求解即可； （2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副，根据题意得：16z+10（40z）550，即可求解； 【解答】解： （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元， 根据题意得：， ， 每副围棋 16 元，每副中国象棋 10 元； （2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副， 根据题意得：16z+10（40z）550， z25， 最多可以购买 25 副围棋； 24 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与 AD、OD 分别交于点 E、 F （1）求证：DOAC； （2）求证：DEDADC2； （3）若 tanCAD，求

29、sinCDA 的值 【分析】 （1）点 D 是中点，OD 是圆的半径，又 ODBC，而 AB 是圆的直径，则ACB90，故： ACOD； （2）证明DCEDCA，即可求解； （3）3，即AEC 和DEF 的相似比为 3，设：EFk，则 CE3k，BC8k，tanCAD，则 AC6k，AB10k，即可求解 【解答】解： （1）因为点 D 是弧 BC 的中点， 所以CADBAD，即CAB2BAD， 而BOD2BAD， 所以CABBOD， 所以 DOAC； （2）， CADDCB， DCEDAC， CD2DEDA； （3）tanCAD，连接 BD，则 BDCD， DBCCAD，在 RtBDE 中，t

30、anDBE， 设：DEa，则 CD2a， 而 CD2DEDA，则 AD4a， AE3a， 3， 而AECDEF， 即AEC 和DEF 的相似比为 3， 设：EFk，则 CE3k，BC8k， tanCAD， AC6k，AB10k， sinCDA 25 （10 分）若抛物线 L：yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与直线 l：yax+b 满足 a2+b22a（2cb） ， 则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“支干”关系此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“支线” ，抛物线 L 叫做直 线 l 的“干线” （1）若直线 yx2 与抛物线 yax2+bx+c 具有“支干”关系，求“干线”的最

31、小值； （2）若抛物线 yx2+bx+c 的“支线”与 y的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”yax2+bx+c 与它的“支线”交于点 P，与它的“支线”的平行线 l：yax+4a+b 交于点 A，B，记ABP 得面积为 S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请 说明理由 【分析】 （1）根据“支干”关系的定义，求出 a、b、c 的值，利用配方法确定函数的最值 （2） 由题意 a1， 1+b22 （2cb） ， 可得抛物线 yx2+bx+c 的 “支线” 为 yx+b， 由， 消去 y 得到 x2+bx+4c0， 由抛物线 yx2+bx+c 的 “支

32、线” 与 y的图象只有一个交点， 可知0， 得 b216c0 ，由解方程组即可解决问题 （3）的值是定值 不妨设 a0， 如图所示， yax2+bx+c 与它的 “支线” 交 y 轴于 C， 直线 yax+4a+b 与 y 轴交于点 D，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，消去 y 得到 ax2+（ba）x+c4ab0，推出 x1+x2，x1x2，推出 |x1x2|，把 a2+b22a（2cb）代入上式化简得到|x1x2|4，由 ABPC，可得 SSPABSCABSCDBSCDA CD|BxAx|4a|48|a|，由此即可解决问题 【解答】解： （1）由题意 a1，b2，12+（2）

33、22（2c+2） ，解得 c， 抛物线的解析式为 yx22x+， yx22x+（x1）2， a10， x1 时，y 有最小值，最小值为 （2）由题意 a1，1+b22（2cb） 抛物线 yx2+bx+c 的“支线”为 yx+b， 由，消去 y 得到 x2+bx+4c0， 抛物线 yx2+bx+c 的“支线”与 y的图象只有一个交点， 0， b216c0 由可得 b2，c或 b，c， 反比例函数的解析式为 y或 y （3）的值是定值理由如下： 不妨设 a0，如图所示，yax2+bx+c 与它的“支线”交 y 轴于 C，直线 yax+4a+b 与 y 轴交于点 D， A（x1，y1） ，B（x2，

34、y2） ， 由，消去 y 得到 ax2+（ba）x+c4ab0， x1+x2，x1x2， |x1x2|， 把 a2+b22a（2cb）代入上式化简得到|x1x2|4， ABPC， SSPABSCABSCDBSCDACD|BxAx|4a|48|a|， 8，的值是定值 26 （10 分）如图，抛物线 y（x3m） （其中 m0）与 x 轴分别交于 A、B 两点（A 在 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C； （1）点 B 的坐标为 （，0） ，点 A 的坐标为 （3m，0） （用含 m 的代数式表示） ，点 C 的坐标为 （0，m） （用含 m 的代数式表示） ； （2）若点 P 为直线 AC 上

35、的一点，且点 P 在第二象限，满足 OP2PCPA，求 tanAPO 的值及用含 m 的代数式表示点 P 的坐标； （3）在（2）的情况下，线段 OP 与抛物线相交于点 Q，若点 Q 恰好为 OP 的中点，此时对于在抛物线 上且介于点 C 与顶点之间（含点 C 与顶点）的任意一点 M（x0，y0）总能使不等式 n及不 等式 2n4x02+x0+恒成立，求 n 的取值范围 【分析】 （1）分别令 x0 和 y0，即可求解； （2）根据特殊三角函数值可得CAO30，证明OPACPO，则POCOAC30，可得 tan APO，过 P 作 PEx 轴于 E，表示 OE 和 PE 的长，根据点 P 在第

36、二象限，可得 P 的坐标； （3）根据中点坐标公式可得 Q 的坐标，代入抛物线的解析式可得 m 的值，计算对称轴，得 x0的取值范 围，根据两个不等式确定其解集即可 【解答】解： （1）当 x0 时，y（3m）m， C（0，m） ， OCm， 当 y0 时，即 y（x3m）0， 解得：x1，x23m， A 在 B 的右侧，其中 m0， A（3m，0） ，点 B（，0） ； 故答案为： （，0） 、 （3m，0） 、 （0，m） ； （2）RtAOC 中，tanOAC， CAO30， OP2PCPA， OPCOPC， OPACPO， POCOAC30， ACOPOC+APO， APO603030

37、， tanAPO， 过 P 作 PEx 轴于 E， APOOAC30， POOA3m，POE60， RtPEO 中，EPO30， OEOP，PE， 点 P 在第二象限， P（，） ； （3）由（2）知：P（，） ， 点 Q 恰好为 OP 的中点， Q（，） ， Q 在抛物线上， 则（+） （3m） ， 解得：m， 抛物线的解析式为：y（x+） （x3）x2+x+3， 则对称轴是 x， 作抛物线的对称轴交抛物线于点 F， M 在点 C 与顶点 F 之间（含点 C 与顶点 F） ， 0 x0， n， 设 w1x0+， 10， w1随 x0的增大而增大， 当 x0时，w1有最大值，即有最小值为 2， n2， 对于不等式 2n4x0+x0+， 则 n2+x0+2（x0）2+， 设 w22（x0）2+， 20， w2有最大值， 0， 当 x0时，w2有最大值为， n， 综上，n 的取值范围是n2