2020年江苏省无锡市锡山区高考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2020 年江苏省无锡市锡山区高考数学一模试卷年江苏省无锡市锡山区高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）已知集合 Ax|0 x2，Bx|1x1，则 AB 2 （5 分）复数 z（i 为虚数单位）的虚部为 3 （5 分）函数的定义域为 4 （5 分）在编号为 1，2，3，4，5 且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取 的两张卡片编号之和是偶数的概率为 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线（a0

2、，b0）的离心率为，则该双曲线的渐 近线方程为 6 （5 分）某种圆柱形的如罐的容积为 128 个立方单位，当它的底面半径和高的比值为 时，可使 得所用材料最省 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线 y22px 上，则 实数 p 的值为 8 （5 分）已知 是第二象限角，且，tan（+）2，则 tan 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S36，S68，则 S9 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y与函数 f（x）sin（x+） （0）的图象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1，A2，若点 A1的

3、横坐标为 1则点 A2的横坐标为 11 （5 分）设 P 为有公共焦点 F1，F2的椭圆 C1与双曲线 C2的一个交点，且 PF1PF2，椭圆 C1的离心率 为 e1，双曲线 C2的离心率为 e2，若 e23e1，则 e1 12（5 分） 如图， 在ABC 中， ABAC2， AE 的延长线交 BC 边于点 F， 若， 则 13 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x1 对称，当 x（0，1时，f（x） eax（其中 e 是自然对数的底数） ，若 f（2020ln2）8，则实数 a 的值为 14 （5 分） 已知函数（其中 e 为自然对数的底数） ， 若关于

4、x 的方程 f2（x） 3a|f （x） |+2a20 恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15 （14 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知ABC 为正三角形，D，E 分别是 AC，CC1的中点， 平面 AA1C1C平面 ABC，A1EAC1 （1）求证：DE平面 AB1C1； （2）求证：A1E平面 BDE 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C

5、 的对边分别为 a，b，c，且 （1）若 a5，求 b 的值； （2）若，求 tan2C 的值 17（14 分） 自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来， 武汉医护人员和医疗、 生活物资严重缺乏， 全国各地纷纷驰援截至 1 月 30 日 12 时，湖北省累计接收揭赠物资 615.43 万件，包括医用防护服 2.6 万套，N95 口罩 47.9 万个，医用一次性口罩 172.87 万个，护目镜 3.93 万个等某运输队接到给武汉运 送物资的任务，该运输队有 8 辆載重为 6t 的 A 型卡车，6 辆载重为 10t 的 B 型卡车，10 名驾驶员，要求 此运输队每天至少运送 720t 物资已

6、知每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车 16 次，B 型卡车 12 次；每 辆卡车每天往返的成本： A 型卡车 240 元， B 型卡车 378 元 求每天派出 A 型卡车与 B 型卡车各多少辆， 运输队所花的成本最低？ 18在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的右准线方程为 x2，且两焦点与短轴的 一个顶点构成等腰直角三角形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）假设直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点若 A 为椭圆的上顶点，M 为线段 AB 中点，连 接 OM 并延长交椭圆 C 于 N，并且，求 OB 的长；若原点 O 到直线 l 的距离为 1，并且 ，当时，求OAB 的面积

7、 S 的范围 19设函数 f（x）2x2+alnx， （aR） （）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y2x+m，求实数 a，m 的值 （）若 f（2x1）+22f（x）对任意 x2，+）恒成立，求实数 a 的取值范围； （）关于 x 的方程 f（x）+2cosx5 能否有三个不同的实根？证明你的结论 20已知 f（x）x3+ax2+bx，a，bR （1）若 b1，且函数 f（x）在区间（1，）上单调递增，求实数 a 的范围； （2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，x1x2，且存在 x0满足 x1+2x03x2，令函数 g（x）f（x） f（x0） ，试判断 g

8、（x）零点的个数并证明你的结论 选做题选做题本题包括本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的 前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 M的一个特征值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程

9、为（t 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 是 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，求线段 AB 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x1，x2，x3（0，+） ，且满足 x1+x2+x33x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x13 必做题必做题第第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出

10、文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线：C：y22px（p0）的焦点 F 在直线 x+y1 0 上， 平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交抛物线线 C 于 A， B 两点， 交该抛物线的准线于 D， E 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 F 在线段 AB 上，P 是 DE 的中点，证明：APEF 25 （10 分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习 组有 4 名男教师、1 名女教师，非党员学习组有 2 名男教师、2 名女教师，高三数学组计划从两个学习组

11、 中随机各选 2 名教师参加学校的挑战答题比赛 （1）求选出的 4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数； （2）记 X 为选出的 4 名选手中女教师的人数，求 X 的概率分布和数学期望 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）已知集合 Ax|0 x2，Bx|1x1，则 AB x|0 x1 【分析】利用交集定义和不等式性质求解 【解答】解：Ax|0 x2，Bx|1x1， ABx|0 x1 故答案为：x|0 x1

12、【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解时要认真审题，注意交集性质的合理运用 2 （5 分）复数 z（i 为虚数单位）的虚部为 1 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】解：zi+1 的虚部为 1 故答案为：1 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （5 分）函数的定义域为 4，+） 【分析】函数 f（x）有意义，只需 log2x20，且 x0，解不等式即可得到所求定义域 【解答】解：函数 f（x）有意义， 只需 log2x20，且 x0， 解得 x4 则定义域为4，+） 故答案为：4，+） 【点评】本题考查函数的定义域的求法

13、，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于 0，考查运 算能力，属于基础题 4 （5 分）在编号为 1，2，3，4，5 且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取 的两张卡片编号之和是偶数的概率为 【分析】基本事件总数为 n10，抽取的两张卡片编号之和是偶数包含的基本事件个数 m 4，由此能求出抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率 【解答】解：在编号为 1，2，3，4，5 且大小和形状均相同的五张卡片中， 一次随机抽取其中的两张， 基本事件总数为 n10， 抽取的两张卡片编号之和是偶数包含的基本事件个数： m4， 则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为 p 故答案为： 【

14、点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线（a0，b0）的离心率为，则该双曲线的渐 近线方程为 【分析】利用离心率，可得 a，b 的关系，即可求出双曲线的渐近线方程 【解答】解：因为双曲线（a0，b0）的离心率为，可得，所以，所以渐 近线方程为 yx 故答案为：yx 【点评】 本题给出双曲线的离心率， 求双曲线的渐近线方程， 着重考查了双曲线的标准方程与基本概念， 属于基础题 6 （5 分）某种圆柱形的如罐的容积为 128 个立方单位，当它的底面半径和高的比值为 时，可使得 所用材料最省 【 分 析 】 设

15、 圆 柱 的 高 为 h ， 底 面 半 径 为 r 由 128 r2 h ， 可 得 S 2r2+2r h ，再利用基本不等式求最值， 进一步得到圆柱的底面半径和高的比 值 【解答】解：如图所示， 设圆柱的高为 h，底面半径为 r 由题意，128r2h， S2r2+2rh 3 当且仅当，即当 r4 时取等号 此时 h8 它的底面半径和高的比值为 故答案为： 【点评】本题考查了圆柱体积与表面积的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线 y22px 上，则 实数 p 的值为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线

16、方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可 【解答】解：双曲线的右准线 x，渐近线 yx， 双曲线的右准线与渐近线的交点（，） ， 交点在抛物线 y22px 上， 可得：3p， 解得 p 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 8 （5 分）已知 是第二象限角，且，tan（+）2，则 tan 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos，tan 的值，进而利用两角和的正切函数公式即 可计算得解 【解答】解： 是第二象限角，且 sin， cos，tan， tan（+）2； tan 故答案为： 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关

17、系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S36，S68，则 S9 42 【分析】利用等差数列的前 n 项和的性质即可得出 【解答】解：由题意可得：2（86）6+S9（8） ，解得 S942 故答案为：42 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y与函数 f（x）sin（x+） （0）的图象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1，A2，若点 A1的横坐标为 1则点 A2的横坐

18、标为 3 【分析】当 x1 时，f（x）sin（+）+2k+或 +2k+（kZ） ，依题 意可得 +，可求得 ，继而可得答案 【解答】解：因为点 A1的横坐标为 1，即当 x1 时，f（x）sin（+）， 所以 +2k+或 +2k+（kZ） ， 又直线 l：y与函数 f（x）sin（x+） （0）的图象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1， A2， 所以 +， 故 ， 所以：函数的关系式为 f（x）sin（） 当 x23 时，f（3）sin（）， 即点 A2的横坐标为 3， （3，）为二函数的图象的第二个公共点 故答案为：3 【点评】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应

19、用，主要考查学生的运算能力及 思维能力，属于中档题 11 （5 分）设 P 为有公共焦点 F1，F2的椭圆 C1与双曲线 C2的一个交点，且 PF1PF2，椭圆 C1的离心率 为 e1，双曲线 C2的离心率为 e2，若 e23e1，则 e1 【分析】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得b12b22，然后结合隐含条件 列式求得，再由 e23e1即可求得 e1 【解答】解：如图，由椭圆定义及勾股定理得， ，可得b12， e1，a1， b12a12c2c2（） ， 同理可得b22， e2，a2， b22c2a22c2（1） ， c2（1）c2（1） ， 即， e23e1， e1 故答案为：

20、 【点评】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题 12（5 分） 如图， 在ABC 中， ABAC2， AE 的延长线交 BC 边于点 F， 若， 则 【分析】作 DGAF 交 BC 于 G；结合平行线的性质得到 EFAF；AEAF；BFBC；再把所给 向量转化得到；进而推得结论 【解答】解：作 DGAF 交 BC 于 G； ， FEDG；BFFG； ， DGAF；FGGC； 联立可得 EFAF；AEAF；BFBC； （+） +（） （） （+） （） 2222 ； 则 （） （+） （+22） ； 故答案为： 【点评】本题主要考查向量加法和数乘的几何意

21、义，以及向量的数乘运算，共线向量基本定理，平面向 量基本定理 13 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x1 对称，当 x（0，1时，f（x） eax（其中 e 是自然对数的底数） ，若 f（2020ln2）8，则实数 a 的值为 3 【分析】 根据题意， 分析可得 f （x） 是周期为 4 的周期函数， 进而结合函数的奇偶性与周期性可得 f （2020 ln2）f（ln2）f（ln2）（ex ln2）8，计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）的图象关于 x1 对称，所以 f（1+x）f（1x） 又由 f（x）是 R 上的奇函数，所以 f（x+1）f（x

22、1） ，则有 f（x+2）f（x） ，f（x+4）f（x+2） f（x） 则 f（x）是周期为 4 的函数， 故 f（2020ln2）f（ln2）f（ln2）（ex ln2）8， 变形可得：2x8，解可得 x3； 故答案为：3 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期性， 14 （5 分） 已知函数（其中 e 为自然对数的底数） ， 若关于 x 的方程 f2（x） 3a|f （x） |+2a20 恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为 ，） 【分析】作出 f（x）图象，求出方程的根，分类讨论 f（x）的正负，数形结合即可 【解答】解：当 x2 时，令 f（x

23、）0，解得 x1， 所以当 x1 时，f（x）0，则 f（x）单调递增，当 1x2 时，f（x）0，则 f（x）单调递减， 当 x2 时，f（x）单调递增，且 f（x）0，） 作出函数 f（x）的图象如图： （1）当 a0 时，方程整理得 f2（x）0，只有 2 个根，不满足条件； （2）若 a0，则当 f（x）0 时，方程整理得 f2（x）+3af（x）+2a2f（x）+2af（x）+a0， 则 f（x）2a0，f（x）a0，此时各有 1 解， 故当 f（x）0 时，方程整理得 f2（x）3af（x）+2a2f（x）2af（x）a0， f（x）2a 有 1 解同时 f（x）a 有 2 解，即

24、需 2a1，a，因为 f（2），故此时满足 题意； 或 f（x）2a 有 2 解同时 f（x）a 有 1 解，则需 a0，由（1）可知不成立； 或 f（x）2a 有 3 解同时 f（x）a 有 0 解，根据图象不存在此种情况， 或 f（x）2a 有 0 解同时 f（x）a 有 3 解，则，解得， 故 a，） （3）若 a0，显然当 f（x）0 时，f（x）2a 和 f（x）a 均无解， 当 f（x）0 时，f（x）2a 和 f（x）a 无解，不符合题意 综上：a 的范围是，） 故答案为，） 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小

25、题，共小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15 （14 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知ABC 为正三角形，D，E 分别是 AC，CC1的中点， 平面 AA1C1C平面 ABC，A1EAC1 （1）求证：DE平面 AB1C1； （2）求证：A1E平面 BDE 【分析】 （1）只要证明 DEAC1即可； （2）先根据平面 AA1C1C平面 ABC，得到 BD平面 AA1C1C， 得到 BDA1E，结合 A1EAC1，得出结论 【解答】解： （1）证明：D，E

26、 分别是 AC，CC1的中点， DEAC1，DE平面 AB1C1， AC1平面 AB1C1， 故 DE平面 AB1C1； （2）证明：ABC 为正三角形，所以 BDAC， 因为平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABCAC， 故 BD平面 AA1C1C，A1E平面 AA1C1C， 所以 BDA1E，又 A1EAC1，DEAC1，所以 A1EDE， 又 BDDED， 所以 A1E平面 BDE 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，中档题 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）若 a5，求 b 的值； （2）若，求

27、 tan2C 的值 【分析】 （1）结合已知，可利用余弦定理求出 b； （2）由已知结合同角平方关系可求 sinA，然后结合诱导公式及和差角公式可求 cosC，sinC，再利用同 角基本关系及二倍角正切公式可求 【解答】解： （1）在ABC 中，由余弦定理 b2+c22bccosAa2， 得，即 b24b50， 解得 b5 或 b1（舍） ，所以 b5 （2）由及 0A 得， 所以， 又因为 0C，所以， 从而， 所以 【点评】本题综合考查了余弦定理，同角基本关系，和差角公式及二倍角公式在求解三角形中的应用， 属于中档试题 17（14 分） 自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来， 武汉

28、医护人员和医疗、 生活物资严重缺乏， 全国各地纷纷驰援截至 1 月 30 日 12 时，湖北省累计接收揭赠物资 615.43 万件，包括医用防护服 2.6 万套，N95 口罩 47.9 万个，医用一次性口罩 172.87 万个，护目镜 3.93 万个等某运输队接到给武汉运 送物资的任务，该运输队有 8 辆載重为 6t 的 A 型卡车，6 辆载重为 10t 的 B 型卡车，10 名驾驶员，要求 此运输队每天至少运送 720t 物资已知每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车 16 次，B 型卡车 12 次；每 辆卡车每天往返的成本： A 型卡车 240 元， B 型卡车 378 元 求每天派出 A 型

29、卡车与 B 型卡车各多少辆， 运输队所花的成本最低？ 【分析】设每天派出 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，运输队所花成本为 z 元，根据题意把实际问题数学 化，列出需要满足的不等式组，注意 xN，yN，把运输队所花成本 z 看作目标函数，画出可行域，根 据目标函数平移得到最值的取法 【解答】解：设每天派出 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，运输队所花成本为 z 元， 则，且 xN，yN， 化简得：， 目标函数 z240 x+378y， 画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示： 由图可知，当直线 z240 x+378y 经过点 A 时，截距 z 最小， 解方程组，得点 A 的坐标为

30、（，0） ， 又xN，yN，点 A（，0）不是最优解， 在可行域的整数点中，点（8，0）使 z 取得最小值， 即 zmin2408+37801920， 每天排除 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低， 最低成本为 1920 元， 答：每天派出 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低，最低成本为 1920 元 【点评】本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题 18在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的右准线方程为 x2，且两焦点与短轴的 一个顶点构成等腰直角三角形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）假设直线

31、 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点若 A 为椭圆的上顶点，M 为线段 AB 中点，连 接 OM 并延长交椭圆 C 于 N，并且，求 OB 的长；若原点 O 到直线 l 的距离为 1，并且 ，当时，求OAB 的面积 S 的范围 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质可得到 a2，b2； （2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长 AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线 l 的距 离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域 【解答】解： （1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 a， 又由右准线方程为 x2，得到2， 解得 a，所以 b2a2c21 所

32、以，椭圆 C 的方程为+y21 （2）设 B（x1，y1） ，而 A（0，1） ，则 M（，） ， ，N（，） ， 因为点 B，N 都在椭圆上，所以，解得：y1，x 所以 （3）由原点 O 到直线 l 的距离为 1，得1，化简得：1+k2m2 联立直线 l 的方程与椭圆 C 的方程：，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x2，且8k20， x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 （1+k2）+m2 所以 k2， 所以OAB 的面积 S1AB|x1x2| ，

33、因为 S在，为单调减函数， 并且当 时，S，当 时，S， 所以OAB 的面积 S 的范围为 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合属难题 19设函数 f（x）2x2+alnx， （aR） （）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y2x+m，求实数 a，m 的值 （）若 f（2x1）+22f（x）对任意 x2，+）恒成立，求实数 a 的取值范围； （）关于 x 的方程 f（x）+2cosx5 能否有三个不同的实根？证明你的结论 【分析】 （I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解 （II）f（2x1）+22f（x）对任意 x2，+）恒成立，可转化为求解函数的最值问题，结合

34、函数在 区间2，+）上单调性即可求解 （III）结合函数的导数与函数单调性的关系及函数的零点判定定理可证 【解答】解： （I）f（x）2x2+alnx， f（x）4x， 由题意可得，f（1）2，f（1）2 4+a2，2+m2 a2，m0， （II）f（2x1）+22f（x）对任意 x2，+）恒成立， 2（2x1）2+aln（2x1）+22（2x2+alnx） ， 整理可得，4（x1）2a2lnxln（2x1）0 对任意 x2，+）恒成立， 4a（n4ln3）0 即 a 当 a时， 4（x1）2a2lnxln（2x1） 设 g（x）4（x1） 2 ，则 g（x）8（x1）（2x2x） x2，x1

35、0， g（x）0，即 g（x）单调递增，g（x）g（2）0 综上可得，a （III 不可能有三个不同的实根，证明如下： 令 g（x）f（x）+2cosx， 若 g（x）5 有三个不同的实数根，则 g（x）至少要有三个单调区间，则 g（x）0 至少有两个不等 实根， 所以只要证明 g（x）0 在（0，+）至多 1 个实根， g（x）4x，g （x）42cosx ， g （x）0， g（x）在（0，+）上单调递增， g（x）0 至多 1 个根， 当 a0 时， （4x2sinx）42cosx0， y4x2sinx 在（0，+）上单调递增， y4x2sinx0，又因为 a0 时， 0， g（x）0g

36、（x）在（0，+）上没有实数根 综上可得，g（x）0（0，+）上至多一个实数根，得证 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及函数单调性与导数关系的综合应用，属于难题 20已知 f（x）x3+ax2+bx，a，bR （1）若 b1，且函数 f（x）在区间（1，）上单调递增，求实数 a 的范围； （2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，x1x2，且存在 x0满足 x1+2x03x2，令函数 g（x）f（x） f（x0） ，试判断 g（x）零点的个数并证明你的结论 【分析】 （1）当 b1 时，f（x）3x2+2ax+1，因为 f（x）在区间（1，）上单调递增所以当 x（ 1，）时，f

37、（x）3x2+2ax+10 恒成立根据函数 f（x）3x2+2ax+1 的对称轴为 x 分1，1，讨论； （2）可得 x1，x2是方程 f（x）3x2+2ax+b0 的两个根，且函数 f（x）在区间（，x1）和（x2， +）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减又 g（x）f（x）函数 g（x）也是在区间（， x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，只需判定 g（x0）f（x0）f（x0）0，g （x2）f（x2）f（x0）0，g（x1）f（x1）f（x0）0，即可得到函数 g（x）有两个零点 x0和 x1 【解答】解：f（x）3x2+2ax+b， （xR） ， （1）当

38、b1 时，f（x）3x2+2ax+1，因为 f（x）在区间（1，）上单调递增 所以当 x（1，）时，f（x）3x2+2ax+10 恒成立 函数 f（x）3x2+2ax+1 的对称轴为 x 1，即 a3 时，f（1）0， 即 32a+10，解之得 a，解集为空集； 1，即时，f 即，解之得，所以 ，即 a时，f0 即 3+a+10，解之得 a，所以 综上所述，当函数 f（x）在区间（1，）上单调递增（6 分） （2）f（x）有两个极值点 x1，x2， x1，x2是方程 f（x）3x2+2ax+b0 的两个根，且函数 f（x）在区间（，x1）和（x2，+）上 单调递增，在（x1，x2）上单调递减

39、g（x）f（x）函数 g（x）也是在区间（，x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2） 上单调递减 g（x0）f（x0）f（x0）0，x0是函数 g（x）的一个零点（9 分） 由题意知：x1+2x03x2，g（x2）f（x2）f（x0） x1+2x03x2，2x02x2x2x10，x0 x2 f（x2）f（x0） ，g（x2）f（x2）f（x0）0 又 g（x1）f（x1）f（x0）x13+ax12+bx1（x03+ax02+bx0） （x1x0） （x12+x1x0+x02+ax1+ax0+b） （x1x0） （x12+x1+（）2+ax1+a+b） （x1x0） （3x12+2ax1

40、+b+9x22+6ax2+3b） x1，x2是方程 f（x）3x2+2ax+b0 的两个根， 3x12+2ax1+b0，3x22+2ax2+b0（13 分） g（x1）f（x1）f（x0）0 函数 g（x）图象连续，且在区间（，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+） 上单调递增 当 x（，x1）时，g（x）0，当 x（x1，x0）时 g（x）0，当 x（x0，+）时 g（x）0， 函数 g（x）有两个零点 x0和 x1（16 分） 【点评】本题考查了函数的极值点、零点、单调性，解题关键时弄清导数与函数极值、单调性的本质联 系，结合图象属于难题 选做题选做题本题包括本题包括

41、 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的 前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 M的一个特征值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 【分析】写出矩阵 M 的特征多项式 f（） ，根据题意知 f（4）0 求出 t 的值，写出矩阵 M，再求它的逆 矩阵 【解答】解：矩阵 M 的特征多项式为 f（）（2） （1）3t； 因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以方程

42、 f（）0 有一根为 4； 即 f（4）233t0，解得 t2； 所以 M， 设 M 1 ， 则 MM 1 ， 由，解得； 由，解得； 所以 M 1 【点评】本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 是 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲

43、线 C 相交于两点 A，B，求线段 AB 的长 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】 解：（1） 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：， 曲线 C 的极坐标方程是由，得 24cos+4sin，整 理的直角坐标方程为：x2+y24x+4y， 所以曲线 C： （x2）2+（y2）28 （2）由（1）知圆 C 半径，利用圆心到直线的距离， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式 的应用，主要考查学生的运算能

44、力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x1，x2，x3（0，+） ，且满足 x1+x2+x33x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x13 【分析】依题意，再利用柯西不等式即可得证 【解答】证明：x1+x2+x33x1x2x3， ， ， 当且 仅当“x1x2x31”时取等号， 故 x1x2+x2x3+x3x13，即得证 【点评】本题考查柯西不等式的运用，属于基础题 必做题必做题第第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出

45、文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线：C：y22px（p0）的焦点 F 在直线 x+y1 0 上， 平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交抛物线线 C 于 A， B 两点， 交该抛物线的准线于 D， E 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 F 在线段 AB 上，P 是 DE 的中点，证明：APEF 【分析】（1） 由抛物线 C 的焦点 F 坐标为在直线 x+y10 上， 解得 p2， 即可得抛物线方程 （2）由点 F 在线段 AB 上，可设直线 l1，l2的方程分别为 ya 和 yb 且 a0，b0，

46、ab依题意可 得 ab4 由，即可证明 APEF 【解答】解： （1）抛物线 C 的焦点 F 坐标为，且该点在直线 x+y10 上， 所以，解得 p2， 故所求抛物线 C 的方程为 y24x； （2）由点 F 在线段 AB 上， 可设直线 l1，l2的方程分别为 ya 和 yb 且 a0，b0，ab 则，D（1，a） ，E（1，b） P 是 DE 的中点， 直线 AB 的方程为， 即 4x（a+b）y+ab0， 又点 F（1，0）在线段 AB 上，ab4， ， ， 由于 AP，EF 不重合，所以 APEF 【点评】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题 25 （10 分）在

47、开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习 组有 4 名男教师、1 名女教师，非党员学习组有 2 名男教师、2 名女教师，高三数学组计划从两个学习组 中随机各选 2 名教师参加学校的挑战答题比赛 （1）求选出的 4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数； （2）记 X 为选出的 4 名选手中女教师的人数，求 X 的概率分布和数学期望 【分析】 （1）利用排列组合知识能求出选出的 4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数 （2）记 X 为选出的 4 名选手中女教师的人数，则 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率， 由此能求出 X 的概率分布列

48、和 X 的数学期望 E（X） 【解答】角： （1）某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组， 其中党员学习组有 4 名男教师、1 名女教师，非党员学习组有 2 名男教师、2 名女教师， 高三数学组计划从两个学习组中随机各选 2 名教师参加学校的挑战答题比赛 选出的 4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数为： m+28 （2）记 X 为选出的 4 名选手中女教师的人数， 则 X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， X 的概率分布为： X 0 1 2 3 P X 的数学期望 E（X） 【点评】 本题考查选派方法数的求法， 考查离散型随机变量的分布列、 数学期望的求法， 考查排列组合、 古典概型等运算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题