第23讲 圆的基本性质(教师版)备战2020年中考考点讲练案
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1、 1 第 23 讲 圆的基本性质 【考点导引】 1.理解圆的有关概念和性质,了解圆心角、弧、弦之间的关系 2了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系,掌握垂径定理及推论. 【难点突破】 1. 圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换,怎么转换需要根据题目的要求来确定;同 圆的半径相等, 有时还需要连接半径, 用它来构造等腰三角形, 有了等腰三角形, 再利用“等边对等角”及“三 线合一”来进行证明和计算 2. 解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或 圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解,特别地,当有一
2、直 径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一结论 3. 在解答与圆有关的计算问题时,垂径定理和勾股定理“形影不离”,常结合起来使用如图,设圆的半径 为、弦长为、弦心距为d,弓形高为,则 22 2 ( ) a d 2 r,rd,这两个等式是关于四个量, ,d,的一 个方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量 4. 看到直径,就想到直径所对的圆周角是 90 ,垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所分的两条弧;同弧 或等弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半 5. 同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半,看到 45 就应该联想到 90 ,从而把问题转化到一个等腰直角 三角形中去解决,转
3、化思想是几何中常用的数学思想,通过转化,可以把比较复杂的问题转化为相对容易 的问题.已知特殊的角,要寻找线段之间的关系,常通过添加辅助线构成特殊的三角形,把要寻找关系的线 段放在特殊三角形中来研究此题也可以利用三角函数解决:在 RtAOC 中,sin OC OAC AC ,即 sin45 2 3 OC , 2 22 3 OC ,所以6OC 6. “同弧(或等弧)所对的圆周角相等”是转化圆中圆周角的重要性质定理,特别地,当圆中有直径时,通常 根据“直径所对的圆周角是直角”,在圆中构造直角三角形来解决问题 【解题策略】 2 1. 分类讨论思想:在很多没有给定图形的题目中,常常不能根据题目的条件把图
4、形确定下来,因此会导致 解的不唯一性对于这种多解题必须要分类讨论,分类时要注意标准一致,不重不漏如:圆周角所对的 弦是唯一的,但是弦所对的圆周角不是唯一的 2. 辅助线:有关直径的问题,如图,常作直径所对的圆周角 【典例精析】 类型一:垂径定理及推论 【例 1】 (2019四川省凉山州4 分) 如图所示, AB 是O 的直径, 弦 CDAB 于 H, A30 , CD23, 则O 的半径是 2 【答案】2 【解答】解:连接 BC,如图所示: AB 是O 的直径,弦 CDAB 于 H, ACB90 ,CHDHCD3, A30 , AC2CH23, 在 RtABC 中,A30 , AC3BC23,
5、AB2BC, BC2,AB4, OA2, 即O 的半径是 2; 故答案为:2 3 类型二:圆心(周)角、弧、弦之间的关系 【例 2】(2018襄阳)如图,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的O 上,若 OABC,CDA=30 ,则弦 BC 的长为( ) A4 B2 C D2 【答案】D 【解答】解:OABC, CH=BH, =, AOB=2CDA=60 , BH=OBsinAOB=, BC=2BH=2, 故选:D 类型三:圆周角定理及推论 【例 3】 (2019广东广州12 分)如图,O 的直径 AB10,弦 AC8,连接 BC (1)尺规作图:作弦 CD,使 CDBC(点 D 不与 B 重
6、合) ,连接 AD; (保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求四边形 ABCD 的周长 4 【答案】 (1)以 C 为圆心,CB 为半径画弧,交O 于 D,线段 CD 即为所求 (2)124 5 【解答】解: (1)如图,线段 CD 即为所求 (2)连接 BD,OC 交于点 E,设 OEx AB 是直径, ACB90 , BC 22 ABAC 22 1086, BCCD, , OCBD 于 E BEDE, BE2BC2EC2OB2OE2, 62(5x)252x2, 解得 x 7 5 , BEDE,BOOA, AD2OE14 5 , 四边形 ABCD 的周长6+6+10+ 14
7、5 124 5 5 【真题检测】 1. (2019 湖北宜昌 3 分)如图,点 A,B,C 均在O 上,当OBC40 时,A 的度数是( ) A50 B55 C60 D65 【答案】A 【解答】解:OBOC, OCBOBC40 , BOC180 40 40 100 , ABOC50 故选:A 2. (2019甘肃庆阳3 分)如图,点 A,B,S 在圆上,若弦 AB 的长度等于圆半径的2倍,则ASB 的度 数是( ) A22.5 B30 C45 D60 【答案】C 【解答】解:设圆心为 O,连接 OA、OB,如图, 弦 AB 的长度等于圆半径的2倍, 即 AB2OA, OA2+OB2AB2, O
8、AB 为等腰直角三角形,AOB90 , 6 ASB 1 2 AOB45 故选:C 3. (2019海南省3 分)如图,直线 l1l2,点 A 在直线 l1上,以点 A 为圆心,适当长度为半径画弧,分别 交直线 l1、l2于 B、C 两点,连结 AC、BC若ABC70 ,则1 的大小为( ) A20 B35 C40 D70 【答案】C 【解答】解:点 A 为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线 l1、l2 于 B、C, ACAB, CBABCA70 , l1l2, CBA+BCA+1180 , 1180 70 70 40 , 故选:C 4. (2019山东威海3 分)如图,P 与 x 轴交于点
9、A(5,0) ,B(1,0) ,与 y 轴的正半轴交于点 C若 ACB60 ,则点 C 的纵坐标为( ) A13+3 B22+3 C42 D22+2 7 【答案】B 【解答】解:连接 PA,PB,PC,过 P 作 PDAB 于 D,PEBC 于 E, ACB60 , APB120 , PAPB, PABPBA30 , A(5,0) ,B(1,0) , AB6, ADBD3, PD3,PAPBPC23, PDAB,PEBC,AOC90 , 四边形 PEOD 是矩形, OEPD3,PEOD2, CE22, OCCE+OE22+3, 点 C 的纵坐标为 22+3, 故选:B 【点评】本题考查了圆周角
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