第24讲 与圆有关的位置关系(教师版)备战2020年中考考点讲练案
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1、 1 备战 2020 中考初中数学考点导学练 30 讲 第 24 讲 与圆有关的位置关系 【考点导引】 1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系 2知道三角形的内心和外心 3了解切线的概念,并掌握切线的判定和性质,会过圆上一点画圆的切线. 【难点突破】 1. 直线与圆有三种位置关系:设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则:dR直线和圆相离无 公共点;d=R直线和圆相切惟一公共点;dR直线和圆相交两公共点. 2. 解决与圆的切线有关的角度和长度的相关计算时,一般先连接半径构造直角三角形,利用切线长定理结 合圆周角和圆心角有关性质求解角度,利用切线长定理结合垂径定理、直径所对的圆周
2、角是直角等知识构 造方程求解长度在和圆的切线有关的问题中,一般需要连接圆心和切点 3. 在圆中,看到直径联想 90 的圆周角,反之,亦然;直线与圆的位置关系最重要的当属直线与圆相切,判 定圆的切线常见思路:若已知直线与圆的公共点,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上 时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有切点,连半径,证垂直;若未知 直线与圆的交点,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的 半径,可简述为:无切点,作垂线,证相等 【解题策略】 1. 分类讨论思想:圆是一种极为重要的几何图形,由于图形位置、形状及大小的不确定,
3、经常出现多结论 情况,解题时漏解出错时有发生,解决这类问题,一定要仔细答案,缜密思考,分类讨论,逐一解答 (1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论; (2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论; (3)由于弦的位置不确定而分类讨论; (4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论 2. 判断一直线是否为圆的切线的方法:连半径,证垂直;作垂线,证半径 【典例精析】 类型一:点与圆的位置关系 【例 1】矩形 ABCD 中,AB8,BC3 5,点 P 在边 AB 上,且 BP3AP,如果圆 P 是以点 P 为圆心, PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是( ) A点 B,C 均在圆 P 外
4、B点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 2 C点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D点 B,C 均在圆 P 内 【答案】C 【解析】画出矩形后求解出 DP 的长度即圆的半径,然后求出 BP,CP 的长度与 DP 的长度作比较就可以发 现答案在 RtADP 中,DP AD2AP27,在 RtBCP 中,BP6,PC BC2BP29. PCDP,BPDP,点 B 在圆 P 内,点 C 在圆 P 外 答案:C 类型二:切线的性质与判定 【例 2】(2019湖南益阳4 分)如图,PA、PB 为圆 O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C,PO 的 延长线交圆 O 于点 D
5、,下列结论不一定成立的是( ) APAPB BBPDAPD CABPD DAB 平分 PD 【答案】D 【解答】解:PA,PB 是O 的切线,PAPB,所以 A 成立; BPDAPD,所以 B 成立; ABPD,所以 C 成立; PA,PB 是O 的切线,ABPD,且 ACBC, 只有当 ADPB,BDPA 时,AB 平分 PD,所以 D 不一定成立故选 D 【例 3】 (2019四川省凉山州8 分)如图,点 D 是以 AB 为直径的O 上一点,过点 B 作O 的切线,交 AD 的延长线于点 C,E 是 BC 的中点,连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F (1)求证:DF 是O 的切
6、线; (2)若 OBBF,EF4,求 AD 的长 【答案】 (1)见证明过程; (2)6 3 【解答】解: (1)如图,连接 OD,BD, AB 为O 的直径, ADBBDC90 , 在 RtBDC 中,BEEC, DEECBE, 13, BC 是O 的切线, 3+490 , 1+490 , 又24, 1+290 , DF 为O 的切线; (2)OBBF, OF2OD, F30 , FBE90 , BEEF2, DEBE2, DF6, F30 ,ODF90 , FOD60 , ODOA, AADOBOD30 , AF, ADDF6 4 类型三:三角形的内切圆 【例 4】 (2019 湖北省鄂州
7、市) (10 分)如图,PA 是O 的切线,切点为 A,AC 是O 的直径,连接 OP 交O 于 E过 A 点作 ABPO 于点 D,交O 于 B,连接 BC,PB (1)求证:PB 是O 的切线; (2)求证:E 为PAB 的内心; (3)若 cosPAB 10 10 ,BC1,求 PO 的长 【答案】 (1)见证明; (2)见证明; (3)5 【解答】 (1)证明:连结 OB, AC 为O 的直径, ABC90 , ABPO, POBC AOPC,POBOBC, OBOC, OBCC, AOPPOB, 在AOP 和BOP 中, 5 , AOPBOP(SAS) , OBPOAP, PA 为O
8、 的切线, OAP90 , OBP90 , PB 是O 的切线; (2)证明:连结 AE, PA 为O 的切线, PAE+OAE90 , ADED, EAD+AED90 , OEOA, OAEAED, PAEDAE,即 EA 平分PAD, PA、PD 为O 的切线, PD 平分APB E 为PAB 的内心; (3)解:PAB+BAC90 ,C+BAC90 , PABC, cosCcosPAB 10 10 , 在 RtABC 中,cosC BC AC 1 AC 10 10 , AC10,AO 10 2 , PAOABC, 6 POAO ACBC , PO AO AC BC 10 2 105 类型
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