第16讲 直角三角形(教师版)备战2020年中考考点讲练案
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1、 1 第 16 讲 直角三角形 【考点导引】 1.了解直角三角形的有关概念,掌握其性质与判定 2掌握勾股定理与逆定理,并能用来解决有关问题. 【难点突破】 1. 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多, 最简捷的方法就是求出一个角等于 90 , 也可以利用三角形 一边上的中线等于这边的一半,或者利用勾股定理的逆定理证得 . 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质 外,还具有外接圆半径等于斜边的一半,内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半,它的外心是斜边 的中点,垂心是直角顶点等性质 3. 勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边,
2、当我们只知道直角三角形的一边时,如果可以 找到另外两边的关系,也可通过列方程的方法求出另外两条边 4. 勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边,判断三角形是否为直角三角形 【解题策略】 面积法:用面积法证题是常用的方法之一,使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之 间的和差关系列出等式,从而得到要证明的结论如 chab,其中 a、b 为两直角边,c 为斜边,h 为斜边 上的高; 【典例精析】 类型一:直角三角形的判定 【例 1】如图,ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,CD 是 AB 边上的中线则 CD= 6.5 【答案】6.5 【解答】解:在ABC 中,AC=5,B
3、C=12,AB=13, AC2+BC2=52+122=132=AB2, ABC 为直角三角形,且ACB=90 , CD 是 AB 边上的中线, CD=6.5; 2 故答案为:6.5 类型二:直角三角形的性质 【例 2】 (2019海南3 分)如图,在 RtABC 中,C90 ,AB5,BC4点 P 是边 AC 上一动点,过 点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分ABC 时,AP 的长度为( ) A B C D 【答案】B 【解答】解:C90 ,AB5,BC4, AC3, PQAB, ABDBDQ,又ABDQBD, QBDBDQ, QBQD, QP2Q
4、B, PQAB, CPQCAB, ,即, 解得,CP, APCACP, 故选:B 类型三:勾股定理及其逆定理 【例 3】 (2019河北9 分)已知:整式 A(n21)2+(2n)2,整式 B0 尝试 化简整式 A 发现 AB2,求整式 B 3 联想 由上可知,B2(n21)2+(2n)2,当 n1 时,n21,2n,B 为直角三角形的三边长,如图填写 下表中 B 的值: 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 / 8 勾股数组 35 / 【解答】解:A(n21)2+(2n)2n42n2+1+4n2n4+2n2+1(n2+1)2, AB2,B0, Bn2+1, 当 2n8 时,n4,n2+
5、142+115; 当 n2135 时,n2+137 故答案为:15;37 类型四:勾股定理及其逆定理的实际应用 【例 4】 (2019南京2 分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内, 木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm 【答案】5 【解答】解:由题意可得: 杯子内的筷子长度为:15, 则筷子露在杯子外面的筷子长度为:20155(cm) 故答案为:5 类型五:直角三角形的综合探究 【例 5】如图,在ABC 中,ADBC 于 D,BD=AD,DG=DC,E,F 分别是 BG,AC 的中点 (1)求证:DE=DF,DEDF; 4 (2)连接 EF,若 AC
6、=10,求 EF 的长 【答案】 (1)DE=DF,DEDF; (2)5 【解答】 (1)证明:ADBC, ADB=ADC=90 , 在BDG 和ADC 中, , BDGADC, BG=AC,BGD=C, ADB=ADC=90 ,E,F 分别是 BG,AC 的中点, DE=BG=EG,DF=AC=AF, DE=DF,EDG=EGD,FDA=FAD, EDG+FDA=90 , DEDF; (2)解:AC=10, DE=DF=5, 由勾股定理得,EF=5 【真题检测】 1. (2019湖北省咸宁市3 分)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由 汉代的赵爽在注解周髀算经时
7、给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002 年在北京召 开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是( ) 5 A B C D 【答案】B 【解答】解:“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示: 故选:B 2. (2019 湖南益阳 4 分)已知 M、N 是线段 AB 上的两点,AMMN2,NB1,以点 A 为圆心,AN 长为半径画弧; 再以点 B 为圆心, BM 长为半径画弧, 两弧交于点 C, 连接 AC, BC, 则ABC 一定是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】B 【解答】解:
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