第14讲 三角形与全等三角形(教师版)备战2020年中考考点讲练案
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1、 1 第 14 讲 三角形与全等三角形 【考点导引】 1.了解三角形和全等三角形有关的概念,知道三角形的稳定性,掌握三角形的三边关系 2理解三角形内角和定理及推论 3理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质 4掌握三角形全等的性质与判定,熟练掌握三角形全等的证明. 【难点突破】 1. 在判断已知三条线段是否能够组成三角形,关键是灵活而巧妙运用三角形三边关系,能够组成三角形, 必须满足下列两个条件之一: (1)如果选最长边作第三边,则需判断其余两边之和大于第三边, (2)如果 选最短边作第三边,则需判断其余两边之差小于第三边 2. 对于三角形的形状判定,除了用三角形中是最大角判定方法外,
2、还可用边的方法锐角三角形的两条较 短边的平方和大于最长边的平方,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,钝角三角形的两条 较短边的平方和等小于最长边的平方 3. 绝对值、 偶次方与算术平方根是初中阶段三种常见的非负数, 三者常常借助其非负特征综合进行应用 若 三角形的三边长分别为 a,b,c,由三角形的三边关系可得|ab|cab.若判断三条线段 a,b,c 能否组 成三角形,常用的方法是将两条较短线段的和与最长线段作比较,若两条较短线段之和大于最长线段时, 则断定能组成三角形 4. 证明三角形的外角和是 360 ,方法很多解题的突破口是如何通过转化得到 360 ,可以运用平角或者互 补的
3、两个角,也可以运用周角,还可以运用三角形的外角性质(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和)和三角形的内角和证明 5.(1)证明两个三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,本题在证明三角形全等时运用了 SAS; (2)证明 三角形时等边三角形可证明它的三条边相等,也可以先证明有两条边相等,再证有一个角是 600; (3)求两 条线段的比值问题,可以证它们所在的两个三角形相似、可以利用平行线、可以把它们转化到特殊的三角 形(如等边三角形、等腰直角三角形)中、也可以借助某条线段作为桥梁,建立要求的两条线段与“桥梁线 段”的关系,使问题得以解决. 6. 运用构造法解几何题时,可以
4、根据题设条件或结论所具有的性质、特征,构造出满足条件或结论的一个 基本图形生成新的结论,从而在条件与结论之间架起一座“桥”,把一个复杂问题的条件明朗化,使问题获得 简捷明了的解答方法 7.尺规作图问题是近几年中考热点题型,需要同学们熟练掌握五种基本尺规作图:1. 作一条线段等于已知 2 线段2. 作一个角等于已知角3. 平分已知角4. 作一条线段的垂直平分线5. 经过直线外一点作这条 直线的垂线 【解题策略】 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)
5、可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添 加辅助线,构造全等三角形 【典例精析】 类型一:三角形的边角关系 【例 1】 (2019 浙江丽水 3 分) 若长度分别为 a, 3, 5 的三条线段能组成一个三角形, 则 a 的值可以是 ( ) A1 B2 C3 D8 【答案】C 【解答】解:由三角形三边关系定理得:53a5+3, 即 2a8, 即符合的只有 3, 故选:C 类型二:三角形的内角和外角 【例 2】 (2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分)如图,直线 ab,将一块含 30 角(BAC30 )的直角三角尺 按图中方式放置,其中 A 和 C 两
6、点分别落在直线 a 和 b 上若120 ,则2 的度数为( ) A20 B30 C40 D50 【答案】C 【解答】解:直线 ab, 1+BCA+2+BAC180 , BAC30 ,BCA90 ,120 , 240 3 故选:C 类型三:全等三角形的性质与判定 【例 3】 (2019 湖南益阳 8 分)已知,如图,ABAE,ABDE,ECB70 ,D110 ,求证:ABC EAD 【答案】见证明过程 【解答】证明:由ECB70 得ACB110 又D110 ACBD ABDE CABE 在ABC 和EAD 中 ABCEAD(AAS) 类型四:全等三角形的综合探究 【例 4】 (2019河北省9
7、分)如图,ABC 和ADE 中,ABAD6,BCDE,BD30 ,边 AD 与 边 BC 交于点 P(不与点 B,C 重合) ,点 B,E 在 AD 异侧,I 为APC 的内心 (1)求证:BADCAE; (2)设 APx,请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD 的最大值; (3)当 ABAC 时,AIC 的取值范围为 m AICn ,分别直接写出 m,n 的值 4 【解答】解: (1)在ABC 和ADE 中, (如图 1) ABCADE(SAS) BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE (2)AD6,APx, PD6x 当 ADBC 时,APAB3 最小,即 PD633
8、 为 PD 的最大值 (3)如图 2,设BAP,则APC+30, ABAC BAC90 ,PCA60 ,PAC90 , I 为APC 的内心 AI、CI 分别平分PAC,PCA, IACPAC,ICAPCA AIC180 (IAC+ICA)180 (PAC+PCA) 180 (90 +60)+105 090 , 105 +105150 ,即 105 AIC150 , m105,n150 5 【真题检测】 1. (2019浙江丽水3 分)若长度分别为 a,3,5 的三条线段能组成一个三角形,则 a 的值可以是( ) A1 B2 C3 D8 【答案】C 【解答】解:由三角形三边关系定理得:53a5
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