第08讲 一元二次方程(教师版)备战2020年中考考点讲练案
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1、 1 第 08 讲 一元二次方程 【考点导引】 1.理解一元二次方程的概念 2掌握一元二次方程的解法 3了解一元二次方程根的判别式,会判断一元二次方程根的情况;了解一元二次方程根与系数的关系并能 简单应用 4会列一元二次方程解决实际问题. 【难点突破】 1. 配方法解一元二次方程的步骤,解题的关键是是掌握配方的要点是等式两边同时加上一次项系数一半的 平方先把5 移到等号的右边,然后在方程两边都加上一次项系数一半的平方,再将方程左边写成完全平 方式的形式即可 2. 一元二次方程 ax2bxc0(a0) ,当 b24ac0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当 b2 4ac0 时,一元二次方程
2、有两个相等的实数根;当 b24ac0 时,一元二次方程没有实数根;当 b24ac0 时,一元二次方程有实数根,以上结论反过来也成立 3. 一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法,熟练掌握 12 c x x a , 12 b xx a ,可 以方便快捷的解题。利用根与系数的关系求代数式的值时,往往需要对代数式进行变形,变形为含有 x1+x2, x1 x2的代数式,然后利用根与系数的关系,确定求出代数式的值,注意整体思想的运用. 4. 对于一元二次方程的实际应用增长(或降低)率问题,设基数为 a,平均增长(或降低)率为 x,增 长(或降低)的次数为 n,增长(或降低)后的量为 b,
3、则表达式为 a(1 x)nb用一元二次方程解决实际 问题时,得出的结果既要考虑本身是否有意义,还要考虑是否符合实际情况,通常需要把与实际不符的答 案去掉,得到问题的唯一答案 增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的 一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长 率”等等弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数 增长率问题;类似的还有平均降低率问 题,注意区分“增”与“减” 【解题策略】 1.化归与转化思想,一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,都是运用
4、了“转 化”的思想,把待解决的问题(一元二次方程),通过转化,归结为已解决的问题(一元一次方程),也就是不断 地把“未知”转化为“已知” 2 2. 对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯一般情况下:(1)首先看能 否用直接开平方法或因式分解法;(2)不能用以上方法时,可考虑用公式法;(3)除特别指明外,一般不用配 方法 【典例精析】 类型一:一元二次方程的有关概念 【例 1】(2018扬州)若 m 是方程 2x23x1=0 的一个根,则 6m29m+2015 的值为 2018 【答案】2018 【解答】解:由题意可知:2m23m1=0, 2m23m=1 原式=3(2
5、m23m)+2015=2018 故答案为:2018 类型二:一元二次方程的解法 【例 2】 (2019湖南怀化4 分)一元二次方程 x2+2x+10 的解是( ) Ax11,x21 Bx1x21 Cx1x21 Dx11,x22 【答案】C 【解答】解:x2+2x+10, (x+1)20, 则 x+10, 解得 x1x21, 故选:C 类型三:一元二次方程根的判别式的应用 【例 3】 (2019山东省聊城市3 分)若关于 x 的一元二次方程(k2)x22kx+k6 有实数根,则 k 的取值 范围为( ) Ak0 B k0 且 k2 Ck Dk且 k2 【答案】D 【解答】解: (k2)x22kx
6、+k60, 关于 x 的一元二次方程(k2)x22kx+k6 有实数根, , 3 解得:k且 k2 故选:D 类型四:一元二次方程根与系数的关系 【例 4】 (2019四川省广安市10 分)已知关于x的一元二次方程04)4( 2 kxkx. (1)求证:无论k为任何实数,此方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根为 1 x、 2 x,满足 4 311 21 xx ,求k的值; (3)若RtABC的斜边为 5,另外两条边的长恰好是方程的两个根 1 x、 2 x,求RtABC的内切圆半径. 【解析】 (1)证明:0)4(16816)4( 222 kkkkk 无论k为任何实数时,此方程总有两个
7、实数根. (2)由题意得:4 21 kxx,kxx4 21 , 4 311 21 xx , 4 3 21 21 xx xx ,即 4 3 4 4 k k , 解得:2k; (3)解方程得:4 1 x,kx 2 , 根据题意得: 222 54 k,即3k, 设直角三角形ABC的内切圆半径为,如图, 由切线长定理可得:5)4()3(rr, 直角三角形ABC的内切圆半径=1 2 543 ; 4 3 5 r r r 类型五:用一元二次方程解实际问题 【例 5】 (2019湖北宜昌10 分)HW 公司 2018 年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共 2800 万块,生产了 2800 万部
8、手机,其中乙类芯片的产量是甲类芯片的 2 倍,丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片 4 产量的和还多 400 万块这些“QL”芯片解决了该公司 2018 年生产的全部手机所需芯片的 10% (1)求 2018 年甲类芯片的产量; (2)HW 公司计划 2020 年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片从 2019 年起逐年扩大“QL”芯片的 产量,2019 年、2020 年这两年,甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数 m%,乙类芯片的 产量平均每年增长的百分数比 m%小 1,丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018 年到 2020 年,丙类芯 片三年的总产量达到 1.44 亿块
9、这样,2020 年的 HW 公司的手机产量比 2018 年全年的手机产量多 10%, 求丙类芯片 2020 年的产量及 m 的值 【答案】(1) 2018 年甲类芯片的产量为 400 万块;(2) 丙类芯片 2020 年的产量为 8000 万块,m400 【解答】解:(1)设 2018 年甲类芯片的产量为 x 万块, 由题意得:x+2x+(x+2x)+4002800,解得:x400, 答:2018 年甲类芯片的产量为 400 万块; (2)2018 年万块丙类芯片的产量为 3x+4001600 万块, 设丙类芯片的产量每年增加的数量为 y 万块, 则 1600+1600+y+1600+2y14
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