第28讲 图形的相似与位似(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 2828 讲讲 图形的相似与位似图形的相似与位似 1比例线段 (1)比例线段:已知四条线段 a,b,c,d,若a b c d或 abcd,那么 a,b,c,d 叫做成比例线段,a,d 叫做比例外,b,c 叫做比例内项;若有a b b c,则 b 叫做 a,c 的比例中项 (2)比例的基本性质及定理 a b c dadbc; a b c d ab b cd d ; a b c d m n(bdn0) acm bdn a b. 4相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比 等于相似比,面积
2、比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等,两三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; 三边对应成比例,两三角形相似; 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似; 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 5射影定理 如图,ABC 中,ACB90,CD 是斜边 AB 上的高,则有下列结论 (1)AC 2ADAB; (2)BC2BDAB; (3)CD2ADBD; (4)AC2BC2ADBD; (5)ABCDACBC. 2 6相似三角形的实际应用
3、(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤: 将实际问题所求线段长放在三角形中; 根据已知条件找出一对可能相似的三角形; 证明所找两三角形相似; 根据相似三角形的性质,表示出相应的量;并求解 (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题 如利用光的反射定律求物体的高度,利用影子计算建筑物的高度同一时刻,物高与影长成正比,即身高 影长 建筑物的高度 建筑物的影长. 7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等,对应边成比例 (2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方 8图形的位似 (1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点
4、,这样的图形叫做位似图形这个点 叫做位似中心 (2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 (3)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标比等于 k 或k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小,其步骤为:确定位似中心;确定原图形中各顶点关于位似中 心的对应点;依次连接各对应点描出新图形 考点 1: 相似三角形的性质 【例题 1】 (2019 湖南常德 3 分)如图,在等腰三角形ABC 中,ABAC,图中所有三角形均相似,其中最 小的三角形面积为 1,ABC 的面积为 42,则四边形 DBCE 的面积是( ) 3 A20 B
5、22 C24 D26 归纳:1.在三角形问题中计算线段的长度时,若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系,则 考虑证明三角形相似,通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五 种基本思路:(1)若已知平行线,可采用相似三角形的基本定理; (2)若已知一对等角,可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例; (3)若已知两边对应成比例,可找夹 角相等; (4)若已知一对直角,可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例; (5)若已知等腰三 角形,可找顶角相等,或找一对底角相等,或找底和腰对应成比例 考点 2: 相似三角形的判定 【例题 2】在正方形 ABCD
6、中,AB4,点 P,Q 分别在直线 CB 与射线 DC 上(点 P 不与点 C,点 B 重合),且 保持APQ90,CQ1,求线段 BP 的长 考点 3:相似三角形的综合应用 【例题 3】(2017河北模拟)修建某高速公路,需要通过一座山,指挥部决定从 E,D 两点开挖一个涵洞工 程师从地面选取三个点 A,B,C,且 A,B,D 三点在一条直线上,A,C,E 也在同一条直线上,若已知 AB 27 米,AD500 米,AC15 米,AE900 米,且测得 BC22.5 米 (1)求 DE 的长; (2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力,且质量相当,指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情 况
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