第21讲 圆的基本性质(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 2121 讲讲 圆的基本性质圆的基本性质 1圆的基本概念及性质 (1)基本概念 圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心,定长叫半径,以 O 为圆心的 圆记作O. 弧和弦:圆上任意两点间的部分叫弧,连接圆上任意两点的线段叫弦,经过圆心的弦叫直径,直径 是最长的弦 圆心角:顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角 圆周角:顶点在圆上,角的两边与圆相交的角叫圆周角 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧 (2)性质: 对称性:圆是轴对称图形,其对称轴是过圆心的任一条直线;圆是中心对称图形,对称中心是圆心 旋转不变性:圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图
2、形重合 2垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ,并且平分弦所对的两条弧; 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 3弦、弧、圆心角的关系定理及推论 弦、弧、圆心角的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等 4圆周角定理及推论: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角定理的推论
3、: 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径 注意:圆周角定理运用在“同圆或等圆”中,一条弦对应两条弧,对应两个互补的圆周角;一条弧只对应 一个圆心角,对应无数圆周角 5四边形和圆 圆内接四边形的对角互补,如图,DB180,AC180. 考点 1:垂径定理 【例题 1】 (2018浙江衢州3 分)如图,AC 是O 的直径,弦 BDAO 于 E,连接 BC,过点 O 作 OFBC 于 F,若 BD=8cm,AE=2cm,则 OF 的长度是( ) A3cm B cm C2.5cm D cm 归纳:1 1垂径定
4、理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线,三个结论是平分弦,平分弦所对的优弧与劣弧 2 2圆中有关弦的证明与计算,通过作弦心距,利用垂径定理,可把与圆相关的三个量,即圆的半径,圆中 3 一条弦的一半,弦心距构成一个直角三角形,从而利用勾股定理,实现求解 3 3事实上,过点 E 任作一条弦,只要确定弦与 AB 的交角,就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条 弦长 考点 2:圆周角定理及其推论 【例题 2】 (2017临沂)如图,BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D,ABC 的平分线交 AD 于点 E. (1)求证:DEDB; (2)若BAC90,BD4,求ABC 外接圆的半径 归纳:利用圆周角
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