第22讲 与圆有关的位置关系(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 2222 讲讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1点和圆的位置关系(设 d 为点 P 到圆心的距离,r 为圆的半径): (1)点 P 在圆上dr; (2)点 P 在圆内dr 2直线和圆的位置关系 (1)设 r 是O 的半径,d 是圆心 O 到直线 l 的距离 直线和圆的 位置关系 图形 公共 点个 数 圆心到直线的距离 d 与 半径 r 的关系 公共 点名 称 直线 名称 相交 2 dr 交点 割线 相切 1 dr 切点 切线 相离 0 dr 无 无 (2)切线的性质: 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 推论 2:
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (4)切线长:经过圆外一点作圆的一条切线;这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线 2 的夹角 3三角形的外接圆和内切圆 名称 图形 内、外心 性质 三角形的外接圆 三边垂直平分线的交 点称为三角形的外心 三角形的外心到三角 形三个顶点的距离相 等 三角形的内切圆 三条角平分线的交点 称为三角形的内心 三角形的内心到三角 形三条边的距离相等 考点 1:圆的切线的判定与性质 【例题 1】如图,
3、AB 是O 的直径,且长为 10,点 P 是 AB 下方的半圆上不与点 A,B 重合的一个动点,点 C 为 AP 的中点,延长 CO 交O 于点 D,连接 AD,过点 D 作O 的切线交 PB 的延长线于点 E,连 CE. (1)若ADC30,求BD 的长; (2)求证:DACECP; (3)在点 P 运动过程中,若 tanDCE1 2,求 AD 的长 归纳:1.切线的判定:在判定直线与圆相切时,若直线与圆的公共点已知,证明方法是“连半径,证垂直” ; 若直线与圆的公共点未知,证明方法是“作垂线,证半径” 这两种情况可概括为一句话: “有交点,连半 径,无交点,作垂线” 3 2求线段长度时通常
4、在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾 股定理求解,有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形,根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求 解 考点 2:圆的切线综合应用 【例题 2】 (甘肃兰州,27,10 分)如图,三角形 ABC 是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,ODAB 于点 O,分别交 AC、CF 于点 E、D,且 DE=DC (1)求证:CF 是O 的切线; (2)若O 的半径为 5,BC=10,求 DE 的长 归纳:当C 与 AB 相切时,只有一个交点,同时要注意 AB 是线段,当圆的半径 R 在一定范围内时,斜边 AB 与C 相交且只有一个
5、公共点 考点 3:圆与其它知识的综合应用 【例题 3】 【例 1】 如图,点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上一点,直线 AC 与过 B 点的切线相交于 D,点 E 是 BD 的中点,直线 CE 交直线 AB 于点 F. (1)求证:CF 是O 的切线; (2)若 ED3,cosF4 5,求O 的半径 4 一、选择题: 1. 矩形 ABCD 中,AB8,BC3 5,点 P 在边 AB 上,且 BP3AP,如果圆 P 是以点 P 为圆心,PD 为半径的 圆,那么下列判断正确的是( ) A点 B,C 均在圆 P 外 B点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 C点 B 在圆 P 内、点 C 在
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