第13讲 二次函数及其应用(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 1313 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 1二次函数的概念及解析式 (1)概念:形如 yax 2bxc(其中 a,b,c 是常数,且 a0)的函数叫做二次函数,利用配方可以把二次 函数 yax 2bxc 表示成 ya(xb 2a) 24acb 2 4a . (2)二次函数解析式的三种形式: 一般式 yax 2bxc(a,b,c 是常数,a0); 交点式 ya(xx1)(xx2)(a,x1,x2是常数,a0)(x1,0)、(x2,0)是函数与 x 轴的交点坐标; 顶点式 ya(xh) 2k(a,h,k 是常数,a0),其顶点坐标为 三种解析式之间的关系: 顶点式 配方 一般式
2、 因式分解交点式 解析式的求法: 确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,由于二次函数解析式有三个待定系数 a,b,c(或 a,h,k 或 a,x1,x2),因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件: a已知抛物线上任意三个点的坐标时,选用一般式 b已知抛物线的顶点坐标时,选用顶点式 c已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(或横坐标 x1,x2)时,选用交点式 2二次函数的图象和性质 二次函数 yax 2bxc(其中 a,b,c 是常数,且 a0)的图象是抛物线 (1)当 a0 时,抛物线的开口向上;对称轴是直线 ; 当 x b 2a时,y 有最小值,为 4acb 2 4a ; 在对称轴左边
3、(即 x b 2a)时,y 随 x 的增大而减小; 在对称轴右边(即 x b 2a)时,y 随 x 的增大而增大; 顶点( b 2a, 4acb 2 4a )是抛物线上位置最低的点; (2)当 a0 时,抛物线的开口向下;对称轴是直线 x b 2a; 2 当 x b 2a时,y 有最大值,为 4acb 2 4a ,在对称轴左边(即 x b 2a)时, y 随 x 的增大而减小;顶点( b 2a, 4acb 2 4a )是抛物线上位置最高的点 4二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移: 二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移,即解决这类问题先把二次函数化为顶点式,由顶 点坐标的平移
4、确定函数的平移 平移规律:将抛物线 ya(xh) 2k 向左移 m 个单位得 ya(xhm)2k;向右平移 m 个单位得 ; 向上平移 m 个单位得 ya(xh) 2km;向下平移 m 个单位得 简记为“h:左加右减,k:上 加下减” (2)二次函数图象的对称: 两抛物线关于 x 轴对称,此时顶点关于 x 轴对称,a 的符号相反; 两抛物线关于 y 轴对称,此时顶点关于 y 轴对称,a 的符号不变; (3)二次函数图象的旋转:开口反向(或旋转 180),此时顶点坐标不变,只是 a 的符号相反 5二次函数与一元二次方程之间的关系 方程 ax 2bxc0 的解是二次函数 yax2bxc 与 x 轴
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