第13讲 二次函数及其应用(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 13 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 1二次函数的概念及解析式 (1)概念:形如 yax2bxc(其中 a,b,c 是常数,且 a0) 的函数叫做二次函数,利用配方可以把二次函 数 yax2bxc 表示成 ya(x b 2a) 24acb 2 4a . (2)二次函数解析式的三种形式: 一般式 yax2bxc(a,b,c 是常数,a0); 交点式 ya(xx1)(xx2)(a,x1,x2是常数,a0)(x1,0)、(x2,0)是函数与 x 轴的交点坐标; 顶点式 ya(xh)2k(a,h,k 是常数,a0),其顶点坐标为 三种解析式之间的关系: 顶点式 配方 一般式 因式分
2、解交点式 解析式的求法: 确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,由于二次函数解析式有三个待定系数 a,b,c(或 a,h,k 或 a, x1,x2),因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件: a已知抛物线上任意三个点的坐标时,选用一般式 b已知抛物线的顶点坐标时,选用顶点式 c已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(或横坐标 x1,x2)时,选用交点式 2二次函数的图象和性质 二次函数 yax2bxc(其中 a,b,c 是常数,且 a0)的图象是抛物线 (1)当 a0 时,抛物线的开口向上;对称轴是直线 x b 2a; 当 x b 2a时,y 有最小值,为 4acb2 4a ; 在对称轴左
3、边(即 x b 2a)时,y 随 x 的增大而减小; 在对称轴右边(即 x b 2a)时,y 随 x 的增大而增大; 顶点( b 2a, 4acb2 4a )是抛物线上位置最低的点; (2)当 a0 时,抛物线的开口向下;对称轴是直线 x b 2a; 2 当 x b 2a时,y 有最大值,为 4acb2 4a ,在对称轴左边(即 x b 2a)时, y 随 x 的增大而减小;顶点( b 2a, 4acb2 4a )是抛物线上位置最高的点 4二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移: 二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移,即解决这类问题先把二次函数化为顶点式,由顶 点坐标的平移确定
4、函数的平移 平移规律: 将抛物线 ya(xh)2k 向左移 m 个单位得 ya(xhm)2k; 向右平移 m 个单位得 ya(x hm)2k;向上平移 m 个单位得 ya(xh)2km;向下平移 m 个单位得 ya(xh)2km简记 为“h:左加右减,k:上加下减” (2)二次函数图象的对称: 两抛物线关于 x 轴对称,此时顶点关于 x 轴对称,a 的符号相反; 两抛物线关于 y 轴对称,此时顶点关于 y 轴对称,a 的符号不变; (3)二次函数图象的旋转:开口反向(或旋转 180 ),此时顶点坐标不变,只是 a 的符号相反 5二次函数与一元二次方程之间的关系 方程 ax2bxc0 的解是二次
5、函数 yax2bxc 与 x 轴交点的横坐标解一元二次方程 ax2bxck 就是求二次函数 yax2bxc 与直线 yk 的交点的横坐标 (1)当 b24ac0 时,抛物线与 x 轴有两个交点,方程有两个不相等的实数根; (2)当 b24ac0 时,抛物线与 x 轴有一个交点,方程有两个相等的实数根; (3)当 b24ac0 时,抛物线与 x 轴没有交点,方程无实数根 6二次函数与一元二次不等式之间的关系 “一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y0, y0 或 y0,y0”,一元二次不等式的解集从图象 上看是指抛物线在 x 轴上方或 x 轴下方的部分对应 x 的取值范围 考点 1:
6、二次函数的图象与性质 【例题 1】 (2019广西河池3 分)如图,抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1,则下列结论中,错误的 是( ) 3 Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称 轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:A.由抛物线的开口向下知 a0,与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,可得 c0,因此 ac0,故 本选项正确,不符合题意; B.由抛物线与 x 轴有两个交点,可得 b24ac0,故本选项正确,不符合题意
7、; C.由对称轴为 x 2 b a 1,得 2ab,即 2a+b0,故本选项错误,符合题意; D.由对称轴为 x1 及抛物线过(3,0) ,可得抛物线与 x 轴的另外一个交点是(1,0) ,所以 ab+c0, 故本选项正确,不符合题意 故选:C 归纳:本题考查二次函数的图象性质:(1)a 的正负决定图象的开口方向,c 的正负决定图象与 y 轴的交点位 置,a 和 b 的正负决定图象对称轴的位置;(2)二次函数与方程的关系,即二次函数图象与坐标轴的交点情况 可转化为二次方程根的判别式的正负;(3)二次函数的开口方向与对称轴决定其增减性 考点 2: 二次函数的实际应用 【例题 2】 (2019湖北
8、省鄂州市10 分)“互联网+”时代上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤,其 成本为每条 40 元, 当售价为每条 80 元时, 每月可销售 100 条 为了吸引更多顾客, 该网店采取降价措施 据 市场调查反映:销售单价每降 1 元,则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为 x 元(x 为正整数) ,每月 的销售量为 y 条 (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2) 设该网店每月获得的利润为 w 元, 当销售单价降低多少元时, 每月获得的利润最大, 最大利润是多少? (3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不 低于 4220
9、元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价? 【分析】 (1)直接利用销售单价每降 1 元,则每月可多销售 5 条得出 y 与 x 的函数关系式; 4 (2)利用销量 每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值; (3)利用总利润4220+200,求出 x 的值,进而得出答案 【解答】解: (1)由题意可得:y100+5(80 x)整理得 y5x+500; (2)由题意,得: w(x40) (5x+500) 5x2+700 x20000 5(x70)2+4500 a50w 有最大值 即当 x70 时,w最大值4500 应降价 807010(元) 答:当降价 10 元时,每月获得最大
10、利润为 4500 元; (3)由题意,得: 5(x70)2+45004220+200 解之,得:x166,x2 74, 抛物线开口向下,对称轴为直线 x70, 当 66x74 时,符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠,故 x66 当销售单价定为 66 元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠 归纳: 用待定系数法求二次函数解析式,需根据已知条件,灵活选择解析式:若已知图象上三个点的坐标, 可设一般式;若已知二次函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,可设交点式;若已知抛物线顶点坐标或对称 轴与最大(或小)值,可设顶点式 考点 3: 二次函数与几何图形的综合应用 【例题 3】(2018 唐山
11、乐亭县二模)如图,直线 yx2 与抛物线 yax2bx6 相交于 A(1 2, 5 2)和 B(4,m), 点 P 是线段 AB 上异于 A,B 的动点,过点 P 作 PCx 轴,交抛物线于点 C. (1)点 B 坐标为(4,6),并求抛物线的解析式; (2)求线段 PC 长的最大值 【点拨】 (1)点 B 坐标代入一次函数解析式可得 m6,将 A,B 坐标代入 yax2bx6,可求出抛物线 的解析式; (2)垂直于 x 轴的线段 PC 的长就是将二次函数的解析式减去一次函数的解析式, 整理后会发现仍 然是二次函数的形式,利用二次函数的性质可得最大值 5 【解答】 解:(1)A(1 2, 5
12、2),B(4,6)在抛物线 yax 2bx6 上, (1 2) 2a1 2b6 5 2, 42a4b66, 解得 a2, b8. 抛物线的解析式为 y2x28x6. (2)设动点 P 的坐标为(n,n2),则点 C 的坐标为(n,2n28n6) PC(n2)(2n28n6)2n29n42(n9 4) 249 8 . 20,1 2n y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 【答案】A 【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下,对称轴为直线 x1,顶点坐标(1,2 ) ,根据函数 增减性可以得到,当 x1 时,y 随 x 的增大而减小.因为11 y1 y2 .
13、故选 A. 6 2. (2018广西)将抛物线 y=x26x+21 向左平移 2 个单位后,得到新抛物线的解析式为( ) Ay=(x8)2+5 By=(x4)2+5 Cy=(x8)2+3 Dy=(x4)2+3 【答案】D 【解答】y=x26x+21 =(x212x)+21 = (x6)236+21 =(x6)2+3, 故 y=(x6)2+3,向左平移 2 个单位后, 得到新抛物线的解析式为:y=(x4)2+3 故选:D 3. (2019江苏连云港3 分)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD,其中C120 若新 建墙 BC 与 CD 总长为 12m,则该梯形储料场 ABCD 的最大
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