第28讲 图形的相似与位似(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 2828 讲讲 图形的相似与位似图形的相似与位似 1比例线段 (1)比例线段:已知四条线段 a,b,c,d,若a b c d或 abcd,那么 a,b,c,d 叫做成比例线段,a,d 叫做比例外,b,c 叫做比例内项;若有a b b c,则 b 叫做 a,c 的比例中项 (2)比例的基本性质及定理 a b c dadbc; a b c d ab b cd d ; a b c d m n(bdn0) acm bdn a b. 4相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比 等于相似比,面积
2、比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等,两三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; 三边对应成比例,两三角形相似; 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似; 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 5射影定理 如图,ABC 中,ACB90,CD 是斜边 AB 上的高,则有下列结论 (1)AC 2ADAB; (2)BC2BDAB; (3)CD2ADBD; (4)AC2BC2ADBD; (5)ABCDACBC. 2 6相似三角形的实际应用
3、(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤: 将实际问题所求线段长放在三角形中; 根据已知条件找出一对可能相似的三角形; 证明所找两三角形相似; 根据相似三角形的性质,表示出相应的量;并求解 (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题 如利用光的反射定律求物体的高度,利用影子计算建筑物的高度同一时刻,物高与影长成正比,即身高 影长 建筑物的高度 建筑物的影长. 7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等,对应边成比例 (2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方 8图形的位似 (1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点
4、,这样的图形叫做位似图形这个点 叫做位似中心 (2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 (3)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标比等于 k 或k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小,其步骤为:确定位似中心;确定原图形中各顶点关于位似中 心的对应点;依次连接各对应点描出新图形 考点 1: 相似三角形的性质 【例题 1】 (2019 湖南常德 3 分)如图,在等腰三角形ABC 中,ABAC,图中所有三角形均相似,其中最 小的三角形面积为 1,ABC 的面积为 42,则四边形 DBCE 的面积是( ) 3 A20 B
5、22 C24 D26 【答案】D 利用AFHADE 得到,所以 SAFH9x,SADE16x,则 16x9x7,解得 x1, 从而得到 SADE16,然后计算两个三角形的面积差得到四边形 DBCE 的面积 【解答】解:如图, 根据题意得AFHADE, 设 SAFH9x,则 SADE16x, 16x9x7,解得 x1, SADE16, 四边形 DBCE 的面积421626 故选:D 归纳:1.在三角形问题中计算线段的长度时,若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系,则 考虑证明三角形相似,通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五 种基本思路:(1)若已知平
6、行线,可采用相似三角形的基本定理; (2)若已知一对等角,可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例; (3)若已知两边对应成比例,可找夹 角相等; (4)若已知一对直角,可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例; (5)若已知等腰三 角形,可找顶角相等,或找一对底角相等,或找底和腰对应成比例 考点 2: 相似三角形的判定 【例题 2】在正方形 ABCD 中,AB4,点 P,Q 分别在直线 CB 与射线 DC 上(点 P 不与点 C,点 B 重合),且 保持APQ90,CQ1,求线段 BP 的长 解:分三种情况:设 BPx. 4 当 P 在线段 BC 上时,如图 1,四边形 ABCD 是正
7、方形, BC90. BAPAPB90. APQ90,APBCPQ90. BAPCPQ, ABPPCQ. AB BP PC CQ, 4 x 4x 1 , x1x22. BP2; 当 P 在 CB 的延长线上时,如图 2,同理,得 BP2 22; 当 P 在 BC 的延长线上时,如图 3,同理,得 BP22 2. 归纳:基本图形 (1)斜边高图形 有以下基本结论: BADC,BDAC; ADBCDACAB. (2)一线三等角 有以下基本结论: BC,BDEDFC; 5 BDECFD. 特殊地:若点 D 为 BC 中点,则有BDECFDDFE. 考点 3:相似三角形的综合应用 【例题 3】(2017
8、河北模拟)修建某高速公路,需要通过一座山,指挥部决定从 E,D 两点开挖一个涵洞工 程师从地面选取三个点 A,B,C,且 A,B,D 三点在一条直线上,A,C,E 也在同一条直线上,若已知 AB 27 米,AD500 米,AC15 米,AE900 米,且测得 BC22.5 米 (1)求 DE 的长; (2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力,且质量相当,指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情 况,获得如下信息: 信息一:甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用 25 天; 信息二:乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的 1.5 倍; 信息三:甲工程队每天需要收费 3 500
9、 元,乙工程队每天需要收费 4 000 元 若仅从费用角度考虑问题,试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算 【解析】 :(1)连接 DE. AB27 米,AD500 米, AC15 米,AE900 米, AB AE AC AD 3 100. 又AA, ABCAED. BC DE 22.5 DE 3 100,即 DE750 米 (2)设甲工程队每天开挖涵洞 x 米,则乙工程队每天开挖涵洞 1.5x 米,依据题意,得 750 x 750 1.5x25,解得 x10. 经检验,x10 是原方程的解 6 则 1.5x15. 甲工程队打通这个涵洞的时间为750 10 75(天), 甲工程队打通这个涵洞所需的
10、费用为 753 500262 500(元); 乙工程队打通这个涵洞的时间为 750 1.5x 750 15 50(天), 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 504 000200 000. 200 000262 500, 选用乙工程队较合算 一、选择题: 1. (2018玉林)两三角形的相似比是 2:3,则其面积之比是( ) A: B2:3 C4:9 D8:27 【答案】C 【解答】解:两三角形的相似比是 2:3, 其面积之比是 4:9, 故选:C 2. (2018临沂) 如图 利用标杆 BE 测量建筑物的高度 已知标杆 BE 高 1.2m, 测得 AB=1.6m BC=12.4m 则 建筑物
11、CD 的高是( ) A9.3m B10.5m C12.4m D14m 【答案】B 【解答】解:EBCD, ABEACD, 7 =,即=, CD=10.5(米) 故选:B 3. (2019,四川巴中,4 分)如图ABCD,F 为 BC 中点,延长 AD 至 E,使 DE:AD1:3,连结 EF 交 DC 于 点 G,则 SDEG:SCFG( ) A2:3 B3:2 C9:4 D4:9 【答案】D 【解答】解:设 DEx, DE:AD1:3, AD3x, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,BCAD3x, 点 F 是 BC 的中点, CFBCx, ADBC, DEGCFG, () 2( )
12、 2 , 故选:D 4. (2019贵州毕节3 分) 如图, 在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板 (RtACB) 上截取一个正方形 CDEF, 点 D 在边 BC 上,点 E 在斜边 AB 上,点 F 在边 AC 上,若 AF:AC1:3,则这块木板截取正方形 CDEF 后, 剩余部分的面积为( ) 8 A100cm 2 B150cm 2 C170cm 2 D200cm 2 【答案】A 【解答】解:设 AFx,则 AC3x, 四边形 CDEF 为正方形, EFCF2x,EFBC, AEFABC, EF BC AF AC 1 3 , BC6x, 在 RtABC 中,AB 2AC2+BC2,
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