第22讲 与圆有关的位置关系(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升
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1、 1 第第 2222 讲讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1点和圆的位置关系(设 d 为点 P 到圆心的距离,r 为圆的半径): (1)点 P 在圆上dr; (2)点 P 在圆内dr 2直线和圆的位置关系 (1)设 r 是O 的半径,d 是圆心 O 到直线 l 的距离 直线和圆的 位置关系 图形 公共 点个 数 圆心到直线的距离 d 与 半径 r 的关系 公共 点名 称 直线 名称 相交 2 dr 交点 割线 相切 1 dr 切点 切线 相离 0 dr 无 无 (2)切线的性质: 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 推论 2:
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (4)切线长:经过圆外一点作圆的一条切线;这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线 2 的夹角 3三角形的外接圆和内切圆 名称 图形 内、外心 性质 三角形的外接圆 三边垂直平分线的交 点称为三角形的外心 三角形的外心到三角 形三个顶点的距离相 等 三角形的内切圆 三条角平分线的交点 称为三角形的内心 三角形的内心到三角 形三条边的距离相等 考点 1:圆的切线的判定与性质 【例题 1】如图,
3、AB 是O 的直径,且长为 10,点 P 是 AB 下方的半圆上不与点 A,B 重合的一个动点,点 C 为 AP 的中点,延长 CO 交O 于点 D,连接 AD,过点 D 作O 的切线交 PB 的延长线于点 E,连 CE. (1)若ADC30,求BD 的长; (2)求证:DACECP; (3)在点 P 运动过程中,若 tanDCE1 2,求 AD 的长 【点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系,可求得DOB60,利用弧长公式求BD 的长; (2)先证得四边形 DCPE 是矩形,从而证明DACECP;(3)可以利用 tanDCE 在 RtDAC 中获得三边的 数量关系,在 RtAOC
4、 中建立方程求解 【解答】 解:(1)ADC30,OAOD,OAD30. 3 DOB60. lBD 605 180 5 3 . (2)证明:连接 OP. AOOP,点 C 是 AP 的中点,DCP90. DE 是O 的切线,CDE90. AB 是O 的直径,APB90.四边形 DCPE 是矩形DCEP. 又ACCP,ACDCPE90,DACECP(SAS) (3)由(2)知,四边形 DCPE 是矩形,DACECP, ADCCEPDCE. tanDCE1 2,tanADC 1 2. 设 ACx,则 DC2x,AD 5x. 在 RtAOC 中,OC2x5,AO 2AC2OC2, 5 2x2(2x5
5、)2,解得 x 10(舍去),x24. AD4 5. 归纳:1.切线的判定:在判定直线与圆相切时,若直线与圆的公共点已知,证明方法是“连半径,证垂直” ; 若直线与圆的公共点未知,证明方法是“作垂线,证半径” 这两种情况可概括为一句话: “有交点,连半 径,无交点,作垂线” 2求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾 股定理求解,有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形,根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求 解 考点 2:圆的切线综合应用 【例题 2】 (甘肃兰州,27,10 分)如图,三角形 ABC 是O 的内接三角形,AB 是O 的直径
6、,ODAB 于点 O,分别交 AC、CF 于点 E、D,且 DE=DC (1)求证:CF 是O 的切线; 4 (2)若O 的半径为 5,BC=10,求 DE 的长 【提示】 (1)第一步:连接 OC,易知A=OCA,由 ODAB 证得AAEO=90; 第二步:根据“等边对等角”有DEC=DCE,代换得OCE+DCE=90,从而证得结论; (2) 第一步: 作 DHEC, 根据 “等角的余角相等” 可得EDH=A, EDC 中根据三线合一得 EH =HC= 1 2 EC, 于是 AB=10,由勾股定理可得 AC=3 10;第三步:由AEOABC 得 AOAE ACAB ,代入数据求得 AE,进
7、一步求出 EC、EH;第四步:由等角的正弦相等得 sinA= sinEDH,从而 BCEH ACDE ,进而求得 DE 的 长 【解答】解: (1)证明:连接 OC,则A=OCA, ODAB,AOE=90,AAEO=90, DE =DC,DEC=DCE,AEO=DEC, AEO= DCE,OCE+DCE=90,CF 是O 的切 线 (2) 作 DHEC, 则EDH=A, DE =DC, EH =HC= 1 2 EC, O 的半径为 5, BC= 10AB=10, AC=3 10, AEOABC, AOAE ACAB , AE= 5105 10 33 10 ,EC=AC-AE= 5 10 3 1
8、0 3 = 4 10 3 , EH= 1 2 EC= 2 10 3 , EDH=A,sinA= sinEDH,即 BCEH ACDE , 5 DE= 归纳:当C 与 AB 相切时,只有一个交点,同时要注意 AB 是线段,当圆的半径 R 在一定范围内时,斜边 AB 与C 相交且只有一个公共点 考点 3:圆与其它知识的综合应用 【例题 3】 【例 1】 如图,点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上一点,直线 AC 与过 B 点的切线相交于 D,点 E 是 BD 的中点,直线 CE 交直线 AB 于点 F. (1)求证:CF 是O 的切线; (2)若 ED3,cosF4 5,求O 的半径 【分析】
9、(1)要判断 CF 是切线,根据切线的判定“有切点,连半径”,连接 CB、OC,根据圆周角定理得 ACB90,即BCD90,则根据直角三角形斜边上的中线性质得 CEBE,所以BCECBE,根据 角之间的等量代换证得OCE90,进而证得 CF 是切线;(2)由题意得 CEBEDE3,在 RtBFE 中, 利用 cosFBF EF和 tanF 可计算出 BF,再利用勾股定理可得 EF,由 CFCEEF 得 CF,最后在 RtOCF 中,利用正切函数可计算出 OC. 【解析】(1)证明:如图,连接 CB、OC, BD 为O 的切线,DBAB, ABD90,AB 是直径, ACB90, BCD90,
10、E 为 BD 的中点, CEBE,BCECBE,而OCBOBC, OBCCBEOCBBCE90, 6 OCCF,CF 是O 的切线; (2)解:CEBEDE3, 在 RtBFE 中,cosF4 5,tanF BE BF 3 4, BF4,EF BE 2BF25, CFCEEF8,在 RtOCF 中,tanFOC CF 3 4, OC6.即O 的半径为 6 一、选择题: 1. 矩形 ABCD 中,AB8,BC3 5,点 P 在边 AB 上,且 BP3AP,如果圆 P 是以点 P 为圆心,PD 为半径的 圆,那么下列判断正确的是( ) A点 B,C 均在圆 P 外 B点 B 在圆 P 外、点 C
11、在圆 P 内 C点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D点 B,C 均在圆 P 内 【答案】C 【解析】 :画出矩形后求解出 DP 的长度即圆的半径,然后求出 BP,CP 的长度与 DP 的长度作比较就可以发 现答案在 RtADP 中,DP AD 2AP27,在 RtBCP 中,BP6,PC BC2BP29. PCDP,BPDP,点 B 在圆 P 内,点 C 在圆 P 外 答案:C 2. 在ABC 中,C90,AC3 cm,BC4 cm,若A,B 的半径分别为 1 cm,4 cm,则A,B 的 位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D外离 【答案】A 【解析】 :如图所示,由勾股定理
12、可得 AB AC 2BC2 3 2425(cm), 7 A,B 的半径分别为 1 cm,4 cm, 圆心距 dRr,A,B 的位置关系是外切 答案:A 3. (20182018重庆市重庆市 B B 卷)卷) (4.00 分)如图,ABC 中,A=30,点 O 是边 AB 上一点,以点 O 为圆心,以 OB 为半径作圆,O 恰好与 AC 相切于点 D,连接 BD若 BD 平分ABC,AD=2,则线段 CD 的长是( ) A2 B C D 【答案】B 【解答】解:连接 OD OD 是O 的半径,AC 是O 的切线,点 D 是切点, ODAC 在 RtAOD 中,A=30,AD=2, OD=OB=2
13、,AO=4, ODB=OBD,又BD 平分ABC, OBD=CBD ODB=CBD ODCB, 即 CD= 故选:B 8 4. (2019黑龙江哈尔滨3 分)如图,PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点,点 C 为O 上一点,连接 AC.BC, 若P50,则ACB 的度数为( ) A60 B75 C70 D65 【答案】D 【解答】解:连接 OA.OB, PA.PB 分别与O 相切于 A.B 两点, OAPA,OBPB, OAPOBP90, AOB180P18050130, ACBAOB13065 故选:D 5. (2019 湖北仙桃)(3 分)如图,AB 为O 的直径,BC 为O 的切线
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