2020-2021学年湖北省武汉市汉阳区八年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2计算的结果是（ ） A4 B8 C4 D2 3给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A3，4，5 B8，6，15 C13，12，25 D7，2，3 4三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条 A1 B2 C3 D4 5用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能

2、得到CODCOD的依据是（ ） ASAA BSSS CASA DAAS 6如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ABADDC，BAD40，则C 为（ ） A25 B35 C40 D50 7如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，将点 D 分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，并连接 AE、 AF根据图中标示的角度，可得EAF 的度数为（ ） A108 B115 C122 D130 8如图，ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，且 AB 6cm，则DEB 的周长为（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 9如图，

3、ABC 和ECD 都是等边三角形，且点 B、C、D 在一条直线上，连结 BE、AD，点 M、N 分别 是线段 BE、AD 上的两点，且 BMBE，ANAD，则CMN 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D不等边三角形 10如图，方格中ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点上） ，这样的三角形叫做格点三角形，图 中可以画出与ABC 全等的格点三角形（不含ABC）共有（ ） A21 个 B22 个 C23 个 D24 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是（2，1）

4、 ，则点 P 的坐标是 12如图中的两个三角形全等，图中的字母 a，b，c 表示三角形的边长，则1 的大小是 13一个多边形的内角和是外角和的 4 倍，则此多边形的边数是 14如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 A 的坐标为（7，3） ，点 C 的坐标为（2，0） ，则 点 B 的坐标是 15 如图， BD 为ABC 的角平分线， 且 BDBC， E 为 BD 延长线上一点， BEBA， 过 E 作 EFAB 于 F， 下列结论： BCE+BDC180；ADAEEC； ABCE；BA+BC2BF 其中正确的序号是 16如图，在四边形 ABCD 中，AC 是对角线，ABCD，DAC+B

5、CA180，BAC+ACD90， 四边形 ABCD 的面积是 18，则 CD 的长是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程组及不等式组 （1）； （2） 18 （8 分）用一条长为 18cm 细绳围成一个等腰三角形 （1）如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为 4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 19 （8 分）如图，已知 ACDF，AD，BECF求证：ABCDEF 20 （8 分）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（1，1） ，B（5，1） ， C（4，4） ，D（2，3）都

6、是格点用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说 明理由 （1）在图 1 中画出CAEACB（其中点 A 的对应点为点 C） ； （2）在图 2 中画出 AF，使 AFBC； （3）如图 3，在线段 AB 上画点 G，使得AGDBGC 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，E 在线段 AC 上，D 在 AB 的延长线，连 DE 交 BC 于 F，过点 E 作 EGBC 于 G （1）若A50，D30，求GEF 的度数； （2）若 BDCE，求证：FGBF+CG 22 （10 分）某商店需要购进甲、乙两种商品共 200 件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件）

7、14 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利 1680 元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金小于 5320 元，且销售完这批商品后获利大于 1660 元，请问有几种购货方案？ 并求出其中获利最大的购货方案 23 （10 分）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等若一个多边形的每个内角角平分线都交于一 点 O，点 O 叫做该多边形的内心，点 O 到其中一边的距离叫做 r 问题解决：如图 1，在面积为 S 的ABC 中，BCa，ACb，ABc，内心 O 到边 AC 的距离为 r，试 说明 r 类比推理：如图 2，存在内心 O 的四边

8、形 ABCD 面积为 S，周长为 l，用含有 S 与 l 的式子表示内心 O 到 边 AB 的距离 r ； 理解应用：如图 3，在四边形 ABCD 中，ABDC，AB21，CD11，ADBC13，对角线 BD20， 点 O1与 O2分别为ABD 与BCD 的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为 r1和 r2，求的值 24 （12 分） 如图， 在等边ABC 中， D 是直线 BC 上一点， E 是边 AC 上一动点， 以 DE 为边作等边DEF， 连接 CF （提示：含 30的直角三角形三边之比为 1：2） （1）如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； （2）如图 2，若

9、点 D 在 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量关系？并说明 理由； （3）图 2 中，若 EDAC2，点 E 从 A 运动到 C 停止，求出此过程中点 F 运动的路径长 2020-2021 学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解

10、【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 2计算的结果是（ ） A4 B8 C4 D2 【分析】根据算术平方根概念即可求出结果 【解答】解：表示 16 的算术平方根， 4 故选：C 3给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A3，4，5 B8，6，15 C13，12，25 D7，2，3 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断 【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+475，能组成三角形； B 中，8+61415，不能组成三角形； C 中，13+

11、1225，不能够组成三角形； D 中，2+357，不能组成三角形 故选：A 4三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条 A1 B2 C3 D4 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作 对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条 【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有 532 条对角线，所以至少要钉上 2 根木条 故选：B 5用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到CODCOD的依据是（ ） ASAA BSSS CASA DAAS 【分析】利用作法课文确定 ODODOCOC，CDCD，然后根据全等三角形

12、的判定方法 可判断CODCOD 【解答】解：由作法得 ODODOCOC，CDCD， 所以可根据“SSS”证明CODCOD 故选：B 6如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ABADDC，BAD40，则C 为（ ） A25 B35 C40 D50 【分析】先根据 ABAD，利用三角形内角和定理求出B 和ADB 的度数，再根据三角形外角的性质 即可求出C 的大小 【解答】解：ABAD， BADB， 由BAD40得B70ADB， ADDC， CDAC， CADB35 故选：B 7如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，将点 D 分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，并连接 A

13、E、 AF根据图中标示的角度，可得EAF 的度数为（ ） A108 B115 C122 D130 【分析】连接 AD，利用轴对称的性质解答即可 【解答】解：连接 AD， D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F， EABBAD，FACCAD， B61，C54， BACBAD+DAC180615465， EAF2BAC130， 故选：D 8如图，ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，且 AB 6cm，则DEB 的周长为（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 【分析】 先利用 AAS 判定ACDAED 得出 ACAE， C

14、DDE； 再对构成DEB 的几条边进行变换， 可得到其周长等于 AB 的长 【解答】解：AD 平分CAB 交 BC 于点 D CADEAD DEAB AEDC90 ADAD ACDAED （AAS） ACAE，CDDE C90，ACBC B45 DEBE ACBC，AB6cm， 2BC2AB2，即 BC3， BEABAEABAC63， BC+BE3+636cm， DEB 的周长DE+DB+BEBC+BE6（cm） 另法：证明三角形全等后， ACAE，CDDE ACBC， BCAE DEB 的周长DB+DE+EBDB+CD+EBCB+BEAE+BE6cm 故选：B 9如图，ABC 和ECD 都是

15、等边三角形，且点 B、C、D 在一条直线上，连结 BE、AD，点 M、N 分别 是线段 BE、AD 上的两点，且 BMBE，ANAD，则CMN 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D不等边三角形 【分析】根据等边三角形的性质得出 BCAC，ECCD，进而利用 SAS 证明BCE 与ACD 全等，进 而利用全等三角形的性质解答即可 【解答】解：ABC 和ECD 都是等边三角形， BCAC，ECCD，BCAECD60， BCA+ACEECD+ACE， 即BCEACD， 在BCE 与ACD 中 ， BCEACD（SAS） ， MBCNAC，BEAD， BMBE，ANAD， BM

16、AN， 在MBC 与NAC 中 ， MBCNAC（SAS） ， MCNC，BCMACN， BCM+MCA60， NCA+MCA60， MCN60， MCN 是等边三角形， 故选：C 10如图，方格中ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点上） ，这样的三角形叫做格点三角形，图 中可以画出与ABC 全等的格点三角形（不含ABC）共有（ ） A21 个 B22 个 C23 个 D24 个 【分析】用 SSS 判定两三角形全等认真观察图形可得答案 【解答】解：用 SSS 判定两三角形全等，所以共有 24 个全等三角形， 除去ABC 外有 23 个与ABC 全等的三角形 故选：C 二、填空题（共二

17、、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是（2，1） ，则点 P 的坐标是 （2，1） 【分析】根据关于 x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案 【解答】解：点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是（2，1） ，则点 P 的坐标是（2，1） ， 故答案为： （2，1） 12如图中的两个三角形全等，图中的字母 a，b，c 表示三角形的边长，则1 的大小是 50 【分析】根据三角形内角和定理求出2，根据全等三角形的性质解答即可 【解答】解：由三角形内角和定理可得，2180607050， 两个

18、三角形全等， 1250， 故答案为：50 13一个多边形的内角和是外角和的 4 倍，则此多边形的边数是 10 【分析】任何多边形的外角和是 360 度，内角和是外角和的 4 倍，则内角和是 4360 度n 边形的内角 和是（n2） 180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多 边形的边数 【解答】解：设边数为 n，则 （n2） 1804360， 解得：n10 则多边形的边数是 10 14如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 A 的坐标为（7，3） ，点 C 的坐标为（2，0） ，则 点 B 的坐标是 （1，5） 【分析】 先证明ACDCBE， 然后即

19、可得到 ADCE， DCEB， 然后再根据点 A 的坐标为 （7， 3） ， 点 C 的坐标为（2，0） ，即可得到点 B 的坐标 【解答】解：作 ADx 轴于点 D，作 BEx 轴于点 E，如右图所示， 则ADCCEB90， ACD+CAD90， ACB90， ACD+BCE90， CADBCE， 在ACD 和CBE 中， ， ACDCBE（AAS） ， ADCE，DCEB， 点 A 的坐标为（7，3） ，点 C 的坐标为（2，0） ， OD7，AD3，OC2， CE3，BEODOC725， OECEOC321， 点 B 的坐标为（1，5） ， 故答案为： （1，5） 15 如图， BD 为

20、ABC 的角平分线， 且 BDBC， E 为 BD 延长线上一点， BEBA， 过 E 作 EFAB 于 F， 下列结论： BCE+BDC180；ADAEEC； ABCE；BA+BC2BF 其中正确的序号是 【分析】根据 SAS 易证ABDEBC，可得BCEBDA，ADEC 可得正确，再根据角平分线 的性质可求得DAEDCE，即ADAEEC 正确，先判断出 RtBEGRtBEF（HL） ，得出 BG BF，进而判断出 RtCEGRtAEF，即可判断出正确 【解答】解：BD 为ABC 的角平分线， ABDCBD， 又ABBE，BDBC， ABDEBC（SAS） ， BCEBDA， BCE+BDC

21、BDA+BDC180，即正确； 在ABE 中，ABBE， BEA（180ABE） ， 在BCD 中，BCBD， BDC（180CBD） ， ABDCBD， BDCAEB， BCEBDA，BCEBCD+DCE，BDADAE+BEA， DCEDAE， ACE 为等腰三角形， AEEC， ABDEBC， ADEC， ADAEEC，即正确； 根据已知条件，可得 ABCE 不一定成立，故错误； 如图，过 E 作 EGBC 于 G 点， E 是 BD 上的点， EFEG， 在 RtBEG 和 RtBEF 中， ， RtBEGRtBEF（HL） ， BGBF， 在 RtCEG 和 RtAEF 中， ， Rt

22、CEGRtAEF（HL） ， AFCG， BA+BCBF+FA+BGCGBF+BG2BF，即正确 故答案为： 16如图，在四边形 ABCD 中，AC 是对角线，ABCD，DAC+BCA180，BAC+ACD90， 四边形 ABCD 的面积是 18，则 CD 的长是 6 【分析】由DAC+BCA180，ACE+BCA180得DACECA，证明ADCCEA，再 根据全等的性质， BAC+ACD90可得ABE 是等腰直角三角形， 最后由图形的等积变换和三角形 的面积公式求出 CD 的长为 6 【解答】解：在 BC 的延长线作 CEAD，如图所示： ，DAC+BCA180， ACE+BCA180， D

23、ACECA， 在ADC 和CEA 中， ， ADCCEA（SAS） ， ACDCAE，CDAE， 又BAC+ACD90， BAC+CAE90， 又BAC+CAEBAE90， ABCD， ABE 是等腰直角三角形，且 ABAECD， S四边形ABCDSBAE， ABAE18， 解得：CD6， 故答案为 6 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程组及不等式组 （1）； （2） 【分析】 （1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 了确定不等式组的解集 【解答】解：

24、（1）， 2+，得：11x22， 解得 x2， 将 x2 代入，得：6y5， 解得 y1， 方程组的解为； （2）解不等式 2x+3x+2，得：x1， 解不等式12x，得：x0.8， 则不等式组的解集为1x0.8 18 （8 分）用一条长为 18cm 细绳围成一个等腰三角形 （1）如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为 4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 【分析】 （1）设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的 长； （2）题中没有指明 4cm 所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检

25、验 【解答】解： （1）设底边长为 xcm， 腰长是底边的 2 倍， 腰长为 2xcm， 2x+2x+x18，解得，xcm， 2x2cm， 各边长为：cm，cm，cm （2）当 4cm 为底时，腰长7cm； 当 4cm 为腰时，底边184410cm， 4+410， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为 4cm 的等腰三角形，另两边长为 7cm，7cm 19 （8 分）如图，已知 ACDF，AD，BECF求证：ABCDEF 【分析】由平行线的性质得出ACBDFE，证得 BCEF，根据 AAS 可证明ABCDEF 【解答】证明：ACDF， ACBDFE， BECF， BE+ECCF+EC，

26、即 BCEF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（AAS） 20 （8 分）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（1，1） ，B（5，1） ， C（4，4） ，D（2，3）都是格点用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说 明理由 （1）在图 1 中画出CAEACB（其中点 A 的对应点为点 C） ； （2）在图 2 中画出 AF，使 AFBC； （3）如图 3，在线段 AB 上画点 G，使得AGDBGC 【分析】 （1）构造平行四边形 ABCE 即可 （2）取格点 F，作直线 AF 即可 （3）作点 D 关于直线 AB 的对称点 D，

27、连接 CD交 AB 于点 G，连接 DG，点 G 即为所求 【解答】解： （1）如图 1 中，ACE 即为所求 （2）如图 2 中，直线 AF 即为所求 （3）点 G 即为所求 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，E 在线段 AC 上，D 在 AB 的延长线，连 DE 交 BC 于 F，过点 E 作 EGBC 于 G （1）若A50，D30，求GEF 的度数； （2）若 BDCE，求证：FGBF+CG 【分析】 （1）根据等腰三角形两底角相等求出C，再根据直角三角形两锐角互余求出CEG，然后根 据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CEF，然后计算即可得解； （2）过点

28、E 作 EHAB 交 BC 于 H，根据两直线平行，同位角相等可得ABCEHC，内错角相等可 得DFEH，然后求出EHCC，再根据等角对等边可得 ECEH，然后求出 BDEH，再利用 “角角边”证明BDF 和HEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BFFH，根据等腰三角形三线 合一的性质可得 CGHG，即可得证 【解答】 （1）解：A50， C（180A）（18050）65， EGBC， CEG90C906525， A50，D30， CEFA+D50+3080， GEFCEFCEG802555； （2）证明：过点 E 作 EHAB 交 BC 于 H， 则ABCEHC，DFEH， ABAC，

29、 ABCC， EHCC， ECEH， BDCE， BDEH， 在BDF 和HEF 中， ， BDFHEF（AAS） ， BFFH， 又ECEH，EGBC， CGHG， FGFH+HGBF+CG 22 （10 分）某商店需要购进甲、乙两种商品共 200 件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利 1680 元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金小于 5320 元，且销售完这批商品后获利大于 1660 元，请问有几种购货方案？ 并求出其中获利最大的购货方案 【分析】 （1）设甲种商品购进

30、 x 件，乙种商品购进 y 件，根据该商品购进两种商品共 200 件且销售完这 批商品后能获利 1680 元，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种商品购进 m 件，则乙种商品购进（200m）件，根据“该商店计划投入资金小于 5320 元， 且销售完这批商品后获利大于 1660 元” ，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值 范围，结合 m 为非负整数即可得出购货方案的数量，设销售完这批商品后获利 w 元，根据总利润每件 的利润销售数量（购进数量） ，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最 值问题 【解答】

31、解： （1）设甲种商品购进 x 件，乙种商品购进 y 件， 依题意得：， 解得： 答：甲种商品购进 80 件，乙种商品购进 120 件 （2）设甲种商品购进 m 件，则乙种商品购进（200m）件， 依题意得：， 解得：80m85， 又m 为非负整数， m 可以为 81，82，83，84， 该商店共有 4 种购货方案 设销售完这批商品后获利 w 元，则 w（2014）m+（4535） （200m）4m+2000， 40， w 随 m 的增大而减小， 当 m81 时，w 取得最大值， 即甲种商品购进 81 件、乙种商品购进 119 件时，该商店销售完这批商品后获利最大 23 （10 分）问题背景：

32、角平分线上的点到角两边的距离相等若一个多边形的每个内角角平分线都交于一 点 O，点 O 叫做该多边形的内心，点 O 到其中一边的距离叫做 r 问题解决：如图 1，在面积为 S 的ABC 中，BCa，ACb，ABc，内心 O 到边 AC 的距离为 r，试 说明 r 类比推理：如图 2，存在内心 O 的四边形 ABCD 面积为 S，周长为 l，用含有 S 与 l 的式子表示内心 O 到 边 AB 的距离 r ； 理解应用：如图 3，在四边形 ABCD 中，ABDC，AB21，CD11，ADBC13，对角线 BD20， 点 O1与 O2分别为ABD 与BCD 的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为

33、 r1和 r2，求的值 【分析】问题解决：连接 OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形利用三角形的面积公式求解即 可 类比推理：已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形， 且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似仿照证明过程，r 易得 理解应用：上面已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果但求内切圆半径需首先知道 三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点 D 作 AB 垂线，进一步易得 BD 的长，则 r1、r2、易得 【解答】解：问题解决：如图（1） ，在面积为 S 的ABC 中，BCa，ACb，ABc，

34、三条角平分线的 交点 O 到三边的距离为 r连接 OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形 SSOBC+SOAC+SOABBCr+ACr+ABr（a+b+c） r， r 类比推理：如图 2 中，连接 OA、OB、OC、OD， SSAOB+SBOC+SCOD+SAODar+br+cr+dr（a+b+c+d）r， r 故答案为： 理解应用：ABCD， SABD：SBCDAB：CD21：11； r1， r2， 24 （12 分） 如图， 在等边ABC 中， D 是直线 BC 上一点， E 是边 AC 上一动点， 以 DE 为边作等边DEF， 连接 CF （提示：含 30的直角三角形三边之比为

35、1：2） （1）如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； （2）如图 2，若点 D 在 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量关系？并说明 理由； （3）图 2 中，若 EDAC2，点 E 从 A 运动到 C 停止，求出此过程中点 F 运动的路径长 【分析】 （1）在 CD 上截取 CHCE，易证CEH 是等边三角形，得出 EHECCH，证明DEH FEC（SAS） ，得出 DHCF，即可得出结论； （2）过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，由平行线的性质易证GDCDGC60，得出 GCD 为等边三角形， 则 DGCDCG， 证明

36、EGDFCD （SAS） ， 得出 EGFC， 即可得出 FCCD+CE； （3）当点 E 与 A 重合时，CF 的值最小，最小值AC2，当 CECD 时，CF 的值最大，最大值 2+24，当点 E 与 C 重合时，CF 的值最小，最小值2，点 F 的运动路径从最小值 2增大到 4， 再减小到 2，由此可得结论 【解答】 （1）证明：在 CD 上截取 CHCE，如图 1 所示： ABC 是等边三角形， ECH60， CEH 是等边三角形， EHECCH，CEH60， DEF 是等边三角形， DEFE，DEF60， DEH+HEFFEC+HEF60， DEHFEC， 在DEH 和FEC 中， ，

37、 DEHFEC（SAS） ， DHCF， CDCH+DHCE+CF， CE+CFCD （2）解：线段 CE，CF 与 CD 之间的等量关系是 FCCD+CE理由如下： ABC 是等边三角形， AB60， 过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，如图 2 所示： GDAB， GDCB60，DGCA60， GDCDGC60， GCD 为等边三角形， DGCDCG，GDC60， EDF 为等边三角形， EDDF，EDFGDC60， EDGFDC， 在EGD 和FCD 中， ， EGDFCD（SAS） ， EGFC， FCEGCG+CECD+CE （3）当点 E 与 A 重合时，CF 的值最小，最小值AC2， 当 CECD 时，CF 的值最大，最大值2+24， 当点 E 与 C 重合时，CF 的值最小，最小值2， 点 F 的运动路径从最小值 2增大到 4，再减小到 2， 此过程中点 F 运动的路径长2（24）48