第08讲 一元二次方程及其应用备战2020中考数学考点举一反三讲练(教师版)
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1、 1 第第 0808 讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 一元二次方程的概念及解法】一元二次方程的概念及解法】 1.一元二次方程的概念:只含有 1 个未知数, 未知数的最高次数是 2, 像这样的整式方程叫一元二次方程 其 一般形式是 ax 2bxc0(a0) 2.一元二次方程的解法: 直接开平方法:这种方法适合于左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的一元二次方程,即形如(x m) 2n(n0)的方程. 配方法:配方法一般适用于解二次项系数为 1,一次项系数为偶数的这类一元二次方程,配方的关键是把方 程左边化为含有未知数的完全平方式,右边是
2、一个非负常数 公式法:求根公式为 xb b 24ac 2a (b 24ac0),适用于所有的一元二次方程. 因式分解法:因式分解法的步骤:(1)将方程右边化为 0;(2)将方程左边分解为一次因式的乘积;(3)令每 个因式等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解. 【考点【考点 2 2 一元二次方程根的情况】一元二次方程根的情况】 1根的判别式:一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的根的情况可由 b24ac 来判定,我们 b24a 将称为 根的判别式 2判别式与根的关系: (1)b 24ac0 方程有两个不相等的实数根; (2)b 24ac0; 【解析
3、】【解析】关于 x 的一元二次方程(k1)x 2+2x2=0 有不相等实数根, =2 24(k1)(2)0, 解得 k ;且 k10,k1 故选:C 5. (2019广西) 扬帆中学有一块长 30m, 宽 20m的矩形空地, 计划在这块空地上划出四分之一的区域种花, 小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度设花带的宽度为xm,则可列方程为( ) A (30 x) (20 x)2030 B (302x) (20 x)2030 C30 x+220 x2030 D (302x) (20 x)2030 【答案】D 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得 13 【解答】解:设花带的宽度为xm,则可列
4、方程为(302x) (20 x)2030, 故选:D 6.(2019 河北中考) (2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元, 则平均每次降价的百分率为( ) A20% B40% C18% D36% 【答案】D 【分析】设降价得百分率为x,根据降低率的公式a(1x) 2b 建立方程,求解即可 【解答】解:设降价的百分率为x 根据题意可列方程为 25(1x) 216 解方程得,(舍) 每次降价得百分率为 20% 故选:A 7.(2019 河北中考)小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0(a0)时,只抄对了 a1,b4,解出其中一 个根是x1他核对时发
5、现所抄的c比原方程的c值小 2则原方程的根的情况是( ) A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是x1 D有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值,再解方程求出答案 【解答】解:小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0(a0)时,只抄对了 a1,b4,解出其中一个根是 x1, (1) 24+c0, 解得:c3, 故原方程中c5, 则b 24ac1641540, 则原方程的根的情况是不存在实数根 故选:A 8. (2016 河北中考) )a,b,c为常数, 且 (ac) 2a2+c2, 则关于 x的方程ax 2+bx+c0 根的情况是 ( ) A有两个
6、相等的实数根 B有两个不相等的实数根 14 C无实数根 D有一根为 0 【答案】B 【分析】利用完全平方的展开式将(ac) 2展开,即可得出 ac0,再结合方程ax 2+bx+c0 根的判别式 b 24ac,即可得出0,由此即可得出结论 【解答】解:(ac) 2a2+c22aca2+c2, ac0 在方程ax 2+bx+c0 中, b 24ac4ac0, 方程ax 2+bx+c0 有两个不相等的实数根 故选:B (二)(二)填空题填空题 1.(2019 江苏南京中考)已知 2+是关于x的方程x 24x+m0 的一个根,则 m 【答案】1 【分析】把x2+代入方程得到关于m的方程,然后解关于m的
7、方程即可 【解答】解:把x2+代入方程得(2+) 24(2+ )+m0, 解得m1 故答案为 1 2. (2019 宁夏中考) 已知一元二次方程3x 2+4xk0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围 【答案】k 【分析】方程有两个不相等的实数根,则0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围 【解答】解:方程 3x 2+4xk0 有两个不相等的实数根, 0,即 4 243(k)0, 解得k, 故答案为:k 3.(2019威海)一元二次方程 3x 242x 的解是 【答案】x1,x2 【分析】直接利用公式法解方程得出答案 【解答】解:3x 242x 15 3x 2+2x40, 则b 24ac44
8、3(4)520, 故x, 解得:x1,x2 故答案为:x1,x2 4.(2019 河南兰考中考模拟)等腰ABC的一边长为 4,另外两边的长是关于x的方程x 210 x+m0 的两 个实数根,则等腰三角形底边的值是 【答案】4 或 6, 【分析】分为两种情况:腰长为 4,底边为 4,分别求出即可 【解答】解:设底边为a, 分为两种情况:当腰长是 4 时,则a+410, 解得:a6, 即此时底边为 6, 底边为 4,腰长为 1025, 即底边长为 4 或 6, 5. (2019 山东聊城中考模拟)一元二次方程x 22x0 的两根分别为 x1和x2,其中x1x2,则x1 22x 2 2的 值为 【答
9、案】8. 【分析】解方程得出方程的两根,代入计算可得 【解答】解:x 22x0, x(x2)0, x1x2, x10,x22, 则x1 22x 2 202228, 即:x1 22x 2 28. 6.(2019 甘肃兰州中考模拟)如图,RtABC中,AB6,BC8点P从点A出发,以 1 个单位/秒的速度 向B移动,同时,点Q从点B出发,以 2 个单位/秒的速度向点C移动,运动 秒后,PBQ面积为 5 个平方单位 16 【答案】1 【分析】由题意:PAt,BQ2t,则PB6t,利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题; 【解答】解:由题意:PAt,BQ2t,则PB6t, (6t)2t5, 解得t1
10、 或 5(舍弃) , 故答案为 1 7. (2019 河北沧州中考模拟) 已知x1,x2是方程x 2 x+0 的两根, 若实数a满足a+x1+x2x1x22018, 则a 【答案】2016 【考点】AB:根与系数的关系菁优网版权所有 【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2,x1x2,再利用整体代入的方法得a+2018,然 后解关于a的方程即可 【解答】解:根据题意得x1+x2,x1x2, a+x1+x2x1x22018, a+2018, a2016 故答案为 2016 8.(2019 河北张家口中考模拟) 已知:a、b、c均为非零实数, 关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0(a0) 其
11、中一个实数根为 2 (1)填空:abc,4a+2b+c 0,a 0,c 0(填“” , “”或“” ) ; (2)若关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0(a0)的两个实数根,满足一个根为另一个根的 2 倍,我们 就称这样的方程为“倍根方程” ,若原方程是倍根方程,则求a、c之间的关系 (3)若a1 时,设方程的另一根为m(m2) ,在两根之间(不包含两根)的所有整数的绝对值之和是 7, 17 求b的取值范围 【答案】 (1), (2)a=c或 a=c(3)1b2 【分析】 (1)由关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0 有两个实数根,其中一根为 2,根据方程解的知识,可 得 4a+2b+
12、c0,然后设方程ax 2+bx+c0 的另一根为 x1,由根与系数的关系可得:x1+2,2x1, 然后分别从若x1为正与若x1为负去分析求解即可求得答案; (2) 根据 “倍根方程” 的概念得到一元二次方程ax 2+bx+c0 (a0) 的两个根为 2 和 4 或两个根为 1 和 2 当 两个根为 2 和 4 时,当两个根为 2 和 1 时,解方程即可得到结论; (3)根据已知条件得到mb2,当m2 时,2 与m之间的和为 7 的整数是 3、4,当m2 时,m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3,解不等式即可得到结论 【解答】解: (1)关于x的一元二次方程ax 2+bx
13、+c0 有两个实数根,其中一根为 2, 将x2 代入ax 2+bx+c0 得:4a+2b+c0, 设方程ax 2+bx+c0 的另一根为 x1, x1+2,2x1, abc, 若x1为正,则a0,b0,c0(舍去) ; 若x1为负,则a0,c0; 故答案为:, (2) 根据 “倍根方程” 的概念得到一元二次方程ax 2+bx+c0 (a0) 的两个根为 2 和 4 或两个根为 1 和 2 当两个根为 2 和 4 时, 原方程可以改写为a(x2) (x4)0, ax 2+bx+cax26ax+8a, , a,c之间的关系是, 当两个根为 2 和 1 时, 同理a,c之间的关系是c, 综上所述,a
14、,c之间的关系是c或c; (3)若a1 时,ax 2+bx+c0, 18 mb2, 当m2 时,2 与m之间的和为 7 的整数是 3、4, 4m5, 得 4b25, 7b6; 当m2 时,m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3, 4m3, 当m2 时,m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3, 4m3, 得4b23, 1b2 (三)(三)解答题解答题 1. (2019 北京中考) 关于x的方程x 22x+2m10 有实数根, 且 m为正整数, 求m的值及此时方程的根 【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案 【解答】解:关于x的方程
15、x 22x+2m10 有实数根, b 24ac44(2m1)0, 解得:m1, m为正整数, m1, x 22x+10, 则(x1) 20, 解得:x1x21 2.(2019 河北衡水中考模拟)某县农场小刘承包了一片荒山,在山上种植了一部分优质核桃,今年已进入 第三年收获期今年收获核桃 2880 千克,已知小刘第一年收获的核桃重量为 2000 千克求去年和今年两 年核桃产量的年平均增长率,照此增长率,预计明年核桃的产量为多少千克? 【分析】 设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x, 根据题意列出方程, 求出方程的解即可得到结果 【解答】解:设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x, 根据
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