第10讲平面直角坐标系及函数初步 备战2020中考数学考点举一反三讲练(教师版)
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1、 1 第第 1010 讲讲 平面直角坐标系及函数初步平面直角坐标系及函数初步 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 平面直角坐标系及点的坐标】平面直角坐标系及点的坐标】 1有序实数对:坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示;反过来,任意一对有序实数都可 以表示坐标平面上唯一一个点 2平面直角坐标系中点的坐标特征 (1)各象限点的坐标的符号特征:第一象限(,);第二象限(,);第三象限(,);第四象限 (,) (2)坐标轴上点的坐标特征:x 轴上的点的纵坐标为 0,y 轴上的点的横坐标为 0,原点的坐标为(0,0) (3)各象限角平分线上点的坐标特征:第一、三象限角平分线上的横、纵坐
2、标相等;第二、四象限角平分 线上的横、纵坐标互为相反数 【考点【考点 2 2 函数的表示方法及其图像】函数的表示方法及其图像】 1变量:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量 2常量:在一个变化过程中,数值保持不变的量叫做常量 3函数:一般地,在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y.如果给定 x 的一个值,就能相应地确定 y 的一个 值,那么,我们就说 y 是 x 的函数其中,x 叫做自变量 4函数的表示方法:数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式,它们分别表现出具体、形象 直观和便于抽象应用的特点 5图像的画法:知道函数的表达式,一般用描点法按下列步骤画出函数的图像 (1)
3、取值根据函数的表达式,取自变量的一些值,得出函数的对应值,按这些对应值列表; (2)描点根据自变量和函数的数值表,在直角坐标系中描点; (3)连线用平滑的曲线将这些点连接起来,即得到函数的图像 6已知函数表达式,判断点 P(x,y)是否在函数图像上的方法:若点 P(x,y)的坐标适合函数表达式,则 点 P(x,y)在其图像上;若点 P(x,y)的坐标不适合函数表达式,则点 P(x,y)不在其图像上 二、考点分析 【考点【考点 1 1 平面直角坐标系及点的坐标】平面直角坐标系及点的坐标】 【解题技巧】1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:到x轴的距离与纵坐 标有关,到y轴
4、的距离与横坐标有关;距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要 加上恰当的符号一般地,点 P(a,b)到 x 轴的距离为|b|,到 y 轴的距离为|a|,到原点的距离为 a 2b2. 2、由图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题 的基本方法和规律 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题 2 【例 1】 (2019 海南中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1) ,点B(3,1) ,平移线段AB, 使点A落在点A1(2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为( ) A (1,1)
5、 B (1,0) C (1,0) D (3,0) 【答案】C 【分析】由点A(2,1)平移后A1(2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B的对应点B1的坐标 【解答】解:由点A(2,1)平移后A1(2,2)可得坐标的变化规律是:左移 4 个单位,上移 1 个单位, 点B的对应点B1的坐标(1,0) 故选:C 【举一反三举一反三 1-1】 (2019 湖北黄石中考)如图,在平面直角坐标系中,边长为 2 的正方形ABCD的边AB在x 轴上,AB边的中点是坐标原点O, 将正方形绕点C按逆时针方向旋转90后, 点B的对应点B的坐标是 ( ) A (1,2) B (1,4) C (3,2) D (1,0
6、) 【答案】C 【分析】根据旋转可得:CBCB2,BCB90,可得B的坐标 【解答】解:如图所示, 由旋转得:CBCB2,BCB90, 四边形ABCD是正方形,且O是AB的中点, OB1, 3 B(2+1,2) ,即B(3,2) , 故选:C 【举一反三举一反三 1-2】 (2019 湖北孝感中考)如图,在平面直角坐标系中,将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转 90得到点P,则P的坐标为( ) A (3,2) B (3,1) C (2,3) D (3,2) 【答案】D 【分析】作PQy轴于Q,如图,把点P(2,3)绕原点O顺时针旋转 90得到点P看作把OPQ绕原点O 顺时针旋转 90得到OPQ,
7、利用旋转的性质得到PQO90,QOQ90,PQPQ2, OQOQ3,从而可确定P点的坐标 【解答】解:作PQy轴于Q,如图, P(2,3) , PQ2,OQ3, 点P(2, 3) 绕原点O顺时针旋转 90得到点P相当于把OPQ绕原点O顺时针旋转 90得到OPQ, PQO90,QOQ90,PQPQ2,OQOQ3, 点P的坐标为(3,2) 故选:D 【举一反三举一反三 1-3】 (2019 浙江杭州中考)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称, 则( ) Am3,n2 Bm3,n2 Cm2,n3 Dm2,n3 【答案】B 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案 4 【
8、解答】解:点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称, m3,n2 故选:B 【考点【考点 2 2 函数的表示方法及其图像】函数的表示方法及其图像】 【解题技巧】判断符合题意的函数图像的方法 (1) 与实际问题结合:判断符合实际问题的函数图像时,需遵循以下几点: 找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图像中找相对应点;找特殊点:即指交 点或转折点,说明图像在此点处将发生变化;判断图像趋势:判断出函数的增减性;看是否与坐标轴 相交:即此时另外一个量为 0. (2)与几何图形(含动点)结合:以几何图形为背景判断函数图像的题目,一般的解题思路为设时间为 t,找 因变量与 t 之间存在
9、的函数关系,用含 t 的式子表示,再找相对应的函数图像,要注意的是是否需要分类 讨论自变量的取值范围 (3)分析函数图像判断结论正误: 分清图像的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围, 同时也要注意: 分段函数要分段讨论;转折点:判断函数图像的倾斜方向或增减性发生变化的关键点;平行线:函 数值随自变量的增大而保持不变再结合题干推导出实际问题的运动过程,从而判断结论的正误 【例 2】 (2019 湖北孝感中考)一个装有进水管和出水管的空容器,从某时刻开始 4min内只进水不出水, 容器内存水 8L; 在随后的 8min内既进水又出水, 容器内存水 12L; 接着关闭进水管直到容器内的水放完
10、若 每分钟进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的函数关系的 图象大致的是( ) A B C D 【答案】A 【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可 【解答】解:从某时刻开始 4min内只进水不出水,容器内存水 8L; 此时容器内的水量随时间的增加而增加, 随后的 8min内既进水又出水,容器内存水 12L, 5 此时水量继续增加,只是增速放缓, 接着关闭进水管直到容器内的水放完, 水量逐渐减少为 0, 综上,A选项符合, 故选:A 【举一反三举一反三 2-1】 (2019 辽宁大连中考)在平面直角坐标系中,将点P(3,1)向下平移 2 个
11、单位长度,得 到的点P的坐标为( ) A (3,1) B (3,3) C (1,1) D (5,1) 【答案】A 【分析】根据向下平移,横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解 【解答】解:将点P(3,1)向下平移 2 个单位长度,得到的点P的坐标为(3,12) ,即(3,1) , 故选:A 【举一反三举一反三 2-2】 (2019 上海中考)下列函数中,函数值y随自变量x的值增大而增大的是( ) Ay By Cy Dy 【答案】A 【分析】一次函数当a0 时,函数值y总是随自变量x增大而增大,反比例函数当k0 时,在每一个象 限内,y随自变量x增大而增大 【解答】解:A、该函数图象是直线,位于
12、第一、三象限,y随x的增大而增大,故本选项正确 B、该函数图象是直线,位于第二、四象限,y随x的增大而减小,故本选项错误 C、该函数图象是双曲线,位于第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小,故本选项错误 D、该函数图象是双曲线,位于第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,故本选项错误 故选:A 【举一反三举一反三 2-3】 (2019 北京中考) 如图,P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点,C是上一动点, 连接PC交弦AB于点D 小腾根据学习函数的经验,对线段PC,PD,AD的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程,请 补充完整: (1)对于点C在上的不同位置,画图、测
13、量,得到了线段PC,PD,AD的长度的几组值,如下表: 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 6 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC,PD,AD的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这个自 变量的函数; (2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象; (3)结合函
14、数图象,解决问题:当PC2PD时,AD的长度约为 cm 【答案】 (1)AD、PC、PD; (2)略(3)AD的长度为 2.3 和 4.0 【分析】 (1)按照变量的定义,根据函数的定义,PC、PD不可能为自变量,只能是AD为自变量,即可求解; (2)描点画出如图图象; (3)PC2PD,即PDPC,画出yx,交曲线AD的值为所求,即可求解 【解答】解: (1)根据函数的定义,PC、PD不可能为自变量,只能是AD为自变量 故答案为:AD、PC、PD; (2)描点画出如图图象; 7 (3)PC2PD, 从图和表格可以看出位置 4 和位置 6 符合要求, 即AD的长度为 2.3 和 4.0 三、
15、【达标测试】 (一)选择题(一)选择题 1.(2019日照)如图,在单位为 1 的方格纸上,A1A2A3,A3A4A5,A5A6A7,都是斜边在x轴上,斜 边长分别为 2,4,6,的等直角三角形,若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0) ,A2(1,1) ,A3(0,0) , 则依图中所示规律,A2019的坐标为( ) A (1008,0) B (1006,0) C (2,504) D (1,505) 【答案】A 【分析】观察图形可以看出A1A4;A5A8;每 4 个为一组,由于 201945043,A2019在x轴负 半轴上,纵坐标为 0,再根据横坐标变化找到规律即可解答 【解答】解:观
16、察图形可以看出A1A4;A5A8;每 4 个为一组, 201945043 A2019在x轴负半轴上,纵坐标为 0, A3、A7、A11的横坐标分别为 0,2,4, A2019的横坐标为(20193)1008 8 A2019的坐标为(1008,0) 故选:A 2.(2019青海)大家知道乌鸦喝水的故事,如图,它看到一个水位较低的瓶子,喝不着水,沉思一会后聪 明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,乌鸦喝到了水从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时, 设时间变量为x,水位高度变量为y,下列图象中最符合故事情景的大致图象是( ) A B C D 【答案】D 【分析】由于原来水位较低,乌鸦沉思一会后才想
17、出办法,说明将在沉思的这段时间内水位没有变化,乌 鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位将会上升,乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位,由此即可作出 判断 【解答】解:乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化, 排除C, 乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位将会上升, 排除A, 乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位, 排除B, D正确 故选:D 3.(2019呼和浩特)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排列,若A点的 坐标为(2,) ,则B点与D点的坐标分别为( ) 9 A (2,) , (2,) B (,2) , (,2) C (,2) , (2,) D (,) () 【答案】
18、B 【分析】连接OA、OD,过点A作 AFx轴于点F,过点D作DEx轴于点E,易证AFOOED(AAS) , 则OEAF,DEOF2,D(,2) ,因为B、D关于原点对称,所以B(,2) 【解答】解:如图,连接OA、OD,过点A作 AFx轴于点F,过点D作DEx轴于点E, 易证AFOOED(AAS) , OEAF,DEOF2, D(,2) , B、D关于原点对称, B(,2) , 故选:B 4.(2019兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四边形 A1B1C1D1,已知A(3,5) ,B(4,3) ,A1(3,3) ,则B1的坐标为( ) A (1,
19、2) B (2,1) C (1,4) D (4,1) 【答案】B 【分析】 根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位, 再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1, 10 则B的平移方法与A点相同,即可得到答案 【解答】解:由A(3,5) ,A1(3,3)可知四边形ABCD先向下平移 2 个单位,再向右平移 6 个单位得到 四边形A1B1C1D1, B(4,3) , B1的坐标为(2,1) , 故选:B 5. (2019威海) 如图, P与x轴交于点A(5, 0) ,B(1, 0) , 与y轴的正半轴交于点C 若ACB60, 则点C的纵坐标为( ) A+ B2+ C4 D2+2
20、 【答案】B 【分析】连接PA,PB,PC,过P作PDAB于D,PEOC于E,根据圆周角定理得到APB120,根据等 腰三角形的性质得到PABPBA30,由垂径定理得到ADBD3,解直角三角形得到PD,PA PBPC2,根据勾股定理得到CE2,于是得到结论 【解答】解:连接PA,PB,PC,过P作PDAB于D,PEOC于E, ACB60, APB120, PAPB, PABPBA30, A(5,0) ,B(1,0) , AB6, ADBD3, PD,PAPBPC2, PDAB,PEOC,AOC90, 四边形PEOD是矩形, OEPD,PEOD2, 11 CE2, OCCE+OE2+, 点C的纵
21、坐标为 2+, 故选:B 6.(2019武汉) “漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水 从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度人们根据壶中水面的位置计算时间,用x表示漏水时间,y表示壶底 到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是( ) A B C D 【答案】A 【分析】根据题意,可知y随的增大而减小,符合一次函数图象,从而可以解答本题 【解答】解:不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,x表示漏水时间,y表示壶底到水 面的高度, y随x的增大而减小,符合一次函数图象, 故选:A 7.(2019南通)如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位:m
22、)与时间t(单位:min)的函数图象,其中 曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是( ) 12 A25min50min,王阿姨步行的路程为 800m B线段CD的函数解析式为s32t+400(25t50) C5min20min,王阿姨步行速度由慢到快 D曲线段AB的函数解析式为s3(t20) 2+1200(5t20) 【答案】C 【分析】根据函数图象中的信息,利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可 【解答】解:A、25min50min,王阿姨步行的路程为 20001200800m,故A没错; B、设线段CD的函数解析式为skt+b, 把(25,1200) , (50,2000
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