第20讲 尺规作图 备战2020中考数学考点举一反三讲练(教师版)
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1、 1 第第 2020 讲讲 尺规作图尺规作图 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 基本作图】基本作图】 1. 作一条线段 OA 等于已知线段 a (1)作射线 OP;(2)在 OP 上截取 OAa,OA 即为所求线段 2.作AOB 的平分线 OP (1)以 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 OA,OB 于点 M,N; (2) 分别以点 M,N 为圆心,以大于1 2MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 P; (3)过点 O 作射线 OP,OP 即为AOB 的平分线 3.作线段 AB 的垂直平分线 MN (1)分别以点 A,B 为圆心,以大于1 2AB 长为半径,在 AB 两
2、侧作弧,分别交 于点 M 和点 N; (2)过点 M,N 作直线 MN,直线 MN 即为线段 AB 的垂直平分线 4.作一个角 AOB等于 (1)在上以 O 为圆心, 以任意长为半径作弧, 交的两边于点 P, Q;(2)作射线 OA;(3)以 O为圆心,OP 长为半径作弧,交 OA于点 M;(4)以点 M 为圆心,PQ 长为 半径作弧交(3)中所作的弧于点 N; 5.作直线 l 的垂线 一、过直线 l 上一点 O 作直线 l 的垂线 MN (1)以点 O 为圆心,任意长为半径向点 O 两侧作弧,分别交直线 l 于 A,B 两点; (2)分别以点 A,B 为圆心,以大于1 2AB 的长为半径向直
3、线两侧作弧,两弧分别交于点 M,N,过点 M,N 作直 线 MN,则直线 MN 即为所求垂线 2 二、过直线 l 外一点 P 作直线 l 的垂线 PN (1)在直线另一侧取点 M; (2)以点 P 为圆心,PM 为半径画弧,分别交直线 l 于 A,B 两点; (3)分别以 A,B 为圆心,以大于1 2AB 的长为半径画弧,交 M 同侧于点 N; (4)过点 P,N 作直线 PN,则直线 PN 即为所求垂线 【考点【考点 2 2 复杂作图】复杂作图】 1.作圆的内接正方形 在O 中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,将O 四等分,从而作出正方形 2.作圆的内接正六边形 (1)画O 的任意一条直径
4、AB (2)以点 A,B 为圆心,以O 的半径 R 为半径画弧,与O 相交于点 C,D 和 E,F; (3)顺次连接点 A,C,E,B,F,D 即可得到正六边形 ACEBFD 二、考点分析 【考点【考点 1 1 基本作图】基本作图】 【解题技巧】尺规作图为河北近几年的必考点,题型多为选择题,在解答题中也有涉及,设问方式主要为 判断作法的正误及作图痕迹所代表的作图步骤涉及到的考查点有作线段的垂直平分线、作平行线、作矩 形和正方形 【例 1】 (2019 北京中考)已知锐角AOB,如图, (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为
5、圆心,CD长为半径作弧,交于点M,N; 3 (3)连接OM,MN 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( ) ACOMCOD B若OMMN则AOB20 CMNCD DMN3CD 【答案】D 【分析】由作图知CMCDDN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得 【解答】解:由作图知CMCDDN, COMCOD,故A选项正确; OMONMN, OMN是等边三角形, MON60, CMCDDN, MOAAOBBONMON20,故B选项正确; 设MOAAOBBON, 则OCDOCM, MCD180, 又CMNOCN, MCD+CMN180, MNCD,故C选项正确; 4 MC+CD+DNM
6、N,且CMCDDN, 3CDMN,故D选项错误; 故选:D 【举一反三举一反三1-1】 (2019新疆)如图,在ABC中,C90,A30,以点B为圆心,适当长为半 径画弧,分别交BA,BC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P, 作射线BP交AC于点D则下列说法中不正确的是( ) ABP是ABC的平分线 BADBD CSCBD:SABD1:3 DCDBD 【答案】C 【分析】利用基本作图可对A选项进行判断;计算出ABD30A,则可对B选项进行判断;利用 CBDABC30得到BD2CD,则可对D选项进行判断;由于AD2CD,则可根据三角形面积公式对C 选项进行判
7、断 【解答】解:由作法得BD平分ABC,所以A选项的结论正确; C90,A30, ABC60, ABD30A, ADBD,所以B选项的结论正确; CBDABC30, BD2CD,所以D选项的结论正确; AD2CD, SABD2SCBD,所以C选项的结论错误 故选:C 5 【举一反三举一反三1-2】 (2019宁夏) 如图, 在 RtABC中, C90, 以顶点B为圆心, 适当长度为半径画弧, 分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP 交AC于点D若A30,则 【答案】 【分析】利用基本作图得BD平分ABC,再计算出ABDCBD30,所
8、以DADB,利用BD2CD得到 AD2CD,然后根据三角形面积公式可得到的值 【解答】解:由作法得BD平分ABC, C90,A30, ABC60, ABDCBD30, DADB, 在 RtBCD中,BD2CD, AD2CD, 故答案为 【举一反三举一反三1-3】 (2019 广东中考)如图,在ABC中,点D是AB边上的一点 6 (1)请用尺规作图法,在ABC内,求作ADE,使ADEB,DE交AC于E; (不要求写作法,保留作图 痕迹) (2)在(1)的条件下,若2,求的值 【答案】2 【分析】 (1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出ADEB; (2)先利用作法得到ADEB,则可判断DEB
9、C,然后根据平行线分线段成比例定理求解 【解答】解: (1)如图,ADE为所作; (2)ADEB DEBC, 2 故答案为 2 【考点【考点 2 2 复杂作图】复杂作图】 【解题技巧】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方 法 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图, 逐步操作 【例 2】 (2019长春)如图,在ABC中,ACB为钝角用直尺和圆规在边AB上确定一点D使ADC2 B,则符合要求的作图痕迹是( ) A B 7 C D 【答案】B 【分析】由ADC2B且ADCB+BCD知BBCD,据此得D
10、BDC,由线段的中垂线的性质可得 答案 【解答】解:ADC2B且ADCB+BCD, BBCD, DBDC, 点D是线段BC中垂线与AB的交点, 故选:B 【举一反三举一反三2-1】 (2019 河南中考)如图,在四边形ABCD中,ADBC,D90,AD4,BC3分别 以点A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O若点O 是AC的中点,则CD的长为( ) A2 B4 C3 D 【答案】A 【分析】连接FC,根据基本作图,可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AFFC再根据ASA证 明FOABOC, 那么AFBC3, 等量代换得到FCAF3, 利用
11、线段的和差关系求出FDADAF1 然 后在直角FDC中利用勾股定理求出CD的长 【解答】解:如图,连接FC,则AFFC ADBC, FAOBCO 在FOA与BOC中, 8 , FOABOC(ASA) , AFBC3, FCAF3,FDADAF431 在FDC中,D90, CD 2+DF2FC2, CD 2+1232, CD2 故选:A 【举一反三举一反三2-2】 (2019 甘肃中考)如图,在ABC中,点P是AC上一点,连接BP,求作一点M,使得点 M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等 (不写作法,保留作图痕迹) 【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可 【
12、解答】解:如图,点M即为所求, 【举一反三举一反三2-3】 (2019 陕西中考)如图,在ABC中,ABAC,AD是BC边上的高请用尺规作图法,求 作ABC的外接圆 (保留作图痕迹,不写作法) 9 【分析】作线段AB的垂直平分线,交AD于点O,以O为圆心,OB为半径作O,O即为所求 【解答】解:如图所示:O即为所求 三、 【达标测试】 (一)选择题(一)选择题 1.(2019深圳)如图,已知ABAC,AB5,BC3,以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画圆弧, 两弧相交于点M,N,连接MN与AC相交于点D,则BDC的周长为( ) A8 B10 C11 D13 【答案】A 【分析】利用基本作图
13、得到MN垂直平分AB,利用线段垂直平分线的定义得到DADB,然后利用等线段代 换得到BDC的周长AC+BC 【解答】解:由作法得MN垂直平分AB, DADB, BDC的周长DB+DC+BCDA+DC+BCAC+BC5+38 故选:A 2.(2019广西)如图,在ABC中,ACBC,A40,观察图中尺规作图的痕迹,可知BCG的度数为 10 ( ) A40 B45 C50 D60 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CGAB,则CG平分ACB,利用AB和三角形内角和 计算出ACB,从而得到BCG的度数 【解答】解:由作法得CGAB, ACBC, CG平分ACB,AB, ACB18
14、04040100, BCGACB50 故选:C 3.(2019台湾)如图的ABC中,ABACBC,且D为BC上一点今打算在AB上找一点P,在AC上找一 点Q,使得APQ与PDQ全等,以下是甲、乙两人的作法: (甲)连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点,则P、Q两点即为所求 (乙)过D作与AC平行的直线交AB于P点,过D作与AB平行的直线交AC于Q点,则P、Q两点即为所求 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( ) A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确,乙错误 D甲错误,乙正确 【答案】A 【分析】如图 1,根据线段垂直平分线的性质得到PAPD,QAQD,则根据“SSS”可判
15、断APQDPQ, 11 则可对甲进行判断; 如图 2,根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形,则根据平行四边形的性质得到PA DQ,PDAQ,则根据“SSS”可判断APQDQP,则可对乙进行判断 【解答】解:如图 1,PQ垂直平分AD, PAPD,QAQD, 而PQPQ, APQDPQ(SSS) ,所以甲正确; 如图 2,PDAQ,DQAP, 四边形APDQ为平行四边形, PADQ,PDAQ, 而PQQP, APQDQP(SSS) ,所以乙正确 故选:A 4.(2018 河北中考)尺规作图要求:、过直线外一点作这条直线的垂线;、作线段的垂直平分线; 、过直线上一点作这条直线的
16、垂线;、作角的平分线 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 12 则正确的配对是( ) A, B, C, D, 【答案】D 【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条 直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案 【解答】解:、过直线外一点作这条直线的垂线;、作线段的垂直平分线; 、过直线上一点作这条直线的垂线;、作角的平分线 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是:, 故选:D 5.(2019 河北中考)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) A B C D 【答案】C 13 【分析】根据三角形外心的定义,
17、三角形外心为三边的垂直平分线的交点,然后利用基本作图格选项进行 判断 【解答】解:三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线,从 而可用直尺成功找到三角形外心 故选:C 6.(2019 河北衡水中考模拟)如图,在ABC中,C90,B30,以点A为圆心,适当长为半径 画弧,分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M和N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P, 作射线AP交BC于点D则下列结论:AD是ABC的角平分线;点D在线段AB的垂直平分线上; ADC60;SADC:SABC1:3;AB2CD,其中正确结论的个数是( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5
18、 个 【答案】D 【分析】由题意可知AD平分CAB,求出DAB,CAD,利用直角三角形 30角的性质以及等腰三角形的 判定和性质一一判断即可 【解答】解:在 RtABC中,C90,B30, CAB903060, 由作图可知:AD平分CAB故正确, DABCAB30B, DADB, 点D在ZB的垂直平分线上,故正确, ADCDAB+B60,故正确, CAD30, ADBD2CD, CDBC, SADC:SABC1:3,故正确, 设CDa,则ADBD2a,BC3a, 14 AB2a2CD,故正确, 故选:D 7.(2019 山东济南中考模拟)如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,张老师要求学生
19、利用所学知识作 出一个菱形甲、乙两位同学的作法如下: 甲:如图 1,连接AC,作AC的中垂线交BC、AD于点E、F,则四边形AECF是菱形乙:如图 2,分别作 A与B的平分线AE、BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形 则关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( ) A仅甲正确 B仅乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误 【答案】C 【分析】首先证明AOMCON(ASA) ,可得MONO,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判 定判定四边形ANCM是平行四边形,再由ACMN,可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱 形;四边形ABCD是平行四边形,可根据
20、角平分线的定义和平行线的定义,求得ABAF,所以四边形ABEF 是菱形 【解答】解:甲的作法正确; 四边形ABCD是平行四边形, ADBC, DACACN, MN是AC的垂直平分线, AOCO, 在AOM和CON中, , AOMCON(ASA) , MONO, 15 四边形ANCM是平行四边形, ACMN, 四边形ANCM是菱形; 乙的作法正确; ADBC, 12,67, BF平分ABC,AE平分BAD, 23,56, 13,57, ABAF,ABBE, AFBE AFBE,且AFBE, 四边形ABEF是平行四边形, ABAF, 平行四边形ABEF是菱形; 故选:C 8.(2019 辽宁沈阳中
21、考模拟)如图,在 RtABC中,C90,B30,以点A为圆心,任意长为半 径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接 AP并延长交BC于点D, 则下列说法中: AD是BAC的平分线; 点D在线段AB的垂直平分线上; SDAC: SABC1:2正确的是( ) A B C D 16 【答案】A 【分析】连接NP,MP,根据SSS定理可得ANPAMP,故可得出结论; 先根据三角形内角和定理求出CAB的度数,再由AD是BAC的平分线得出BADCAD30,根据 BADB可知ADBD,故可得出结论; 先根据直角三角形的性质得出CAD30,CDAD,再
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