第06讲 一次方程(组)及其应用备战2020中考数学考点举一反三讲练(教师版)
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1、 1 第第 0 06 6 讲讲 一次方程(组)及其应用一次方程(组)及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 一元一次方程的概念及解法】一元一次方程的概念及解法】 1.方程、方程的解与解方程 方程:含有未知数的等式叫方程 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 解方程:求方程解的过程叫解方程 2.等式的基本性质 性质 1 1 等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子,所得的结果仍相等如果 ab,那么 acb c. 性质 2 2 等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为 0), 所得结果仍相等如果 ab, 那么 acbc, a c b c(c 0). 3.一元一次方
2、程:含有一个未知数且未知数的次数是 1,这样的方程叫做一元一次方程 4.解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为 1. 【考点【考点 2 2 一元一次方程的应用】一元一次方程的应用】 列方程解应用题的一般步骤 (1) 审:审清题意,分清题中的已知量、未知量; (2) 设:设未知数,设其中某个量为未知数,并注意单位,对含有两个未知数的问题,需设两个未知数; (3) 列:弄清题意,找出相等关系,根据相等关系列方程(组); (4) 解:解方程验:检验结果是否符合题意 (6)答:答题(包括单位) 【考点【考点 3 3 方程组及其应用】方程组及
3、其应用】 1.二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 2.二元一次方程组:两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组. 3.解二元一次方程组的基本思想是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程。 4掌握两个解二元一次方程组的方法: (1)代入法:将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来,再代入另一个方程 中,消去一个未知数,得到一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简 称代入法. 方程组中有一个方程的一个未知数的系数是 1 时,用代入法较简便. 2 (2) 加减法: 通过将方程组中两
4、个方程加减, 消去一个未知数, 得到一元一次方程, 最后求得方程组的解, 这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法. 当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等时,用加减法较简便. 二、考点分析 【考点【考点 1 1 一元一次方程的概念及解法】一元一次方程的概念及解法】 【解题技巧】一次方程用到的思想方法: (1)整体思想:在解方程时结合方程的结构特点,灵活采取整体思想,使整个过程简捷; (2)转化思想:解一元一次方程最终要转化成 axb. (3)数形结合思想:利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题; (4)方程思想:利用其他知识构造方程解决问题 【例 1】 (2019 辽宁中考)已
5、知关于 x 的方程 4x-3m=2 的解是 x=m,则 m 的值是 A 2. B -2. C 2.7. D -2.7 【答案】A 【分析】 根据方程的定义,把 m 当做未知数 【解答】把 x=m 代入 4x-3m=2,得 4m-3m=2, m=2. 故选 A. 【举一反三举一反三 1-1】 (2018 河北中考)有三种不同质量的物体“” “” “” ,其中,同一种物体的质量 都相等,现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( ) A B C D 【答案】A 【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案 【解答】解:设的质量为x,的质量为
6、y,的质量为:a, 假设A正确,则,x1.5y,此时B,C,D选项中都是x2y, 故A选项错误,符合题意 故选:A 3 【举一反三举一反三 1-2】 (2019 福建中考) 增删算法统宗记载: “有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添 一倍多,问若每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部孟子 ,每天阅读的字数是前 一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知孟子一书共有 34685 个字,设他第一天读x个字,则下面 所列方程正确的是( ) Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x34685 【答案】A 【分析】设他第一天读x个字
7、,根据题意列出方程解答即可 【解答】解:设他第一天读x个字,根据题意可得:x+2x+4x34685, 故选:A 【举一反三举一反三 1-3】 (2019 山东济南中考)代数式与代数式 32x的和为 4,则x 【答案】1 【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值 【解答】解:根据题意得:+32x4, 去分母得:2x1+96x12, 移项合并得:4x4, 解得:x1, 故答案为:1 【举一反三举一反三 1-4】 (2019 河北沧州中考模拟)解方程: (1)2 (2)1 【分析】按着解一元一次方程的一般步骤,解决每题即可 【解答】解: (1)去分母,得 5(y1)202(y+2) ,
8、去括号,得 5y5202y4, 移项,得 5y+2y204+5, 整理,得 7y21, 解得,y3 4 (2)方程可变形为1 去分母,得 2(10 x30)3(20 x+1)6, 去括号,得 20 x6060 x36, 移项并整理,得40 x57 解得,x 【考点【考点 2 2 一元一次方程的应用】一元一次方程的应用】 【解题技巧】 (一)一元一次方程解应用题的类型有: (1)探索规律型问题; (2)数字问题; (3)销售问题(利润售价进价,利润率100%) ; (4)工程问题(工作量人均效率人数 时间;如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和工作总量) ; (5)行程问题(路程速度
9、时间) ; (6)等值变换问题; (7)和,差,倍,分问题; (8)分配问题; (9)比赛积分问题; (10)水流航行问题(顺水速度静水速度+水流速度;逆水速度静水速度水流速度) (二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求 的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求 解、作答,即设、列、解、答 【例 2】 (2019 浙江杭州中考)已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵,男生每人种 3 棵树,女生每人种 2 棵 树,设男生有x人,则( ) A2x+3(72x)30 B3x+2(72x)30
10、 C2x+3(30 x)72 D3x+2(30 x)72 【答案】D 【分析】直接根据题意表示出女生人数,进而利用 30 位学生种树 72 棵,得出等式求出答案 【解答】解:设男生有x人,则女生(30 x)人,根据题意可得: 3x+2(30 x)72 5 故选:D 【举一反三举一反三 2-1】 (2019长春) 九章算术是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共 买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六问人数鸡价各几何?译文:今有人合伙买鸡,每人出九钱, 会多出 11 钱;每人出 6 钱,又差 16 钱问人数、买鸡的钱数各是多少?设人数为x,买鸡的钱数为y,可 列方程组为( ) A
11、B C D 【答案】D 【分析】直接利用每人出九钱,会多出 11 钱;每人出 6 钱,又差 16 钱,分别得出方程求出答案 【解答】解:设人数为x,买鸡的钱数为y,可列方程组为: 故选:D 【举一反三举一反三 2-2】 (2019 福建中考) (2019南通) 九章算术是中国传统数学最重要的著作之一书中记 载: “今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六问人数几何?”意思是: “有若干人共同出钱 买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱问:共有几个人?”设共 有x个人共同出钱买鸡,根据题意,可列一元一次方程为 【答案】9x116x+16 【分析】设有x个人共同
12、买鸡,根据买鸡需要的总钱数不变,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解 【解答】解:设有x个人共同买鸡,根据题意得: 9x116x+16 故答案为:9x116x+16 【举一反三举一反三 2-3】 (2019 安徽中考)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定 修建一条高速公路其中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立 工作 2 天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了 1 天,这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比乙工 程队多掘进 2 米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天? 【分析】设甲工程队每天掘
13、进x米,则乙工程队每天掘进(x2)米根据“甲工程队独立工作 2 天后, 乙工程队加入,两工程队又联合工作了 1 天,这 3 天共掘进 26 米”列出方程,然后求工作时间 【解答】解:设甲工程队每天掘进x米,则乙工程队每天掘进(x2)米, 6 由题意,得 2x+(x+x2)26, 解得x7, 所以乙工程队每天掘进 5 米, (天) 答:甲乙两个工程队还需联合工作 10 天 【举一反三举一反三 2-4】 (2019 湖北黄石中考) “今有善行者行一百步,不善行者行六十步 ” (出自九章算术 ) 意思是:同样时间段内,走路快的人能走 100 步,走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等,据此回答
14、以下问题: (1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走 路慢的人先走 100 步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走 600 步时,请问谁在前面,两人相隔多少 步? (2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走 200 步,请问走路快的人 走多少步才能追上走路慢的人? 【分析】 (1)设当走路慢的人再走 600 步时,走路快的人的走x步,根据同样时间段内,走路快的人能走 100 步,走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可; (2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,根据同样时间段内,走路快的人能走 100 步
15、,走路慢的人 只能走 60 步,及追及问题可列方程求解 【解答】解: (1)设当走路慢的人再走 600 步时,走路快的人的走x步,由题意得 x:600100:60 x1000 1000600100300 答:当走路慢的人再走 600 步时,走路快的人在前面,两人相隔 300 步 (2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,由题意得 y200+y y500 答:走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【考点【考点 3 3 方程组及其应用】方程组及其应用】 【解题技巧】解二元、三元一次方程组的基本思路是消元 基本解法有:代入消元法和加减消元法. 7 二元一次方程组的解应写成 xa, yb 的形
16、式 (1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起 来,找出题目中的相等关系 (2)一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:方程两边表示的是同类量; 同类量的单位要统一;方程两边的数值要相符 (3)找等量关系是列方程组的关键和难点,有如下规律和方法: 确定应用题的类型,按其一般规律方法找等量关系将问题中给出的条件按意思分割成两个方面,有 “; ”时一般“; ”前后各一层,分别找出两个等量关系借助表格提供信息的,按横向或纵向去分别找 等量关系图形问题,分析图形的长、宽,从中找等量关系 【例 3】 (2019 天津中考)方程组的解
17、是( ) A B C D 【答案】D 【分析】运用加减消元分解答即可 【解答】解:, +得,x2, 把x2 代入得,6+2y7,解得, 故原方程组的解为: 故选:D 【举一反三举一反三 3-1】 (2019 湖北孝感中考)已知二元一次方程组,则的值是( ) A5 B5 C6 D6 【答案】D 【分析】解方程组求出x、y的值,再把所求式子化简后代入即可 【解答】解:, 2 得,2y7,解得, 8 把代入得,+y1,解得, 故选:C 【举一反三举一反三 3-2】 (2019 福建中考)解方程组 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解:, +得:3x9,即x3, 把x3 代入得:y2,
18、则方程组的解为 【举一反三举一反三 3-3】 ( (2019 海南中考) )时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选 购百香果,若购买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元,若购买 1 千克“红土”百香 果和 3 千克“黄金”百香果需付 115 元请问这两种百香果每千克各是多少元? 【分析】设“红土”百香果每千克x元, “黄金”百香果每千克y元,由题意列出方程组,解方程组即可 【解答】解:设“红土”百香果每千克x元, “黄金”百香果每千克y元, 由题意得:, 解得:; 答: “红土”百香果每千克 25 元, “黄金”百香果每千克 30 元 【举一反
19、三举一反三 3-4】 (2019 上海中考) 九章算术中有一道题的条件是: “今有大器五一容三斛,大器一小器 五容二斛 ”大致意思是:有大小两种盛米的桶,5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米,1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米, 依据该条件,1 大桶加 1 小桶共盛 斛米 (注:斛是古代一种容量单位) 【答案】 【分析】直接利用 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛米 3 斛,1 个大桶加上 5 个小桶可以盛米 2 斛,分别得出等 式组成方程组求出答案 【解答】解:设 1 个大桶可以盛米x斛,1 个小桶可以盛米y斛, 9 则, 故 5x+x+y+5y5, 则x+y 答:1 大桶加 1 小桶共盛斛米
20、故答案为: 三、【达标测试】 (一)选择题选择题 1.(2019兰州) 九章算术是中国古代数学著作之一,书中有这样的一个问题:五只雀,六只燕共重一 斤,雀重燕轻,互换一只,恰好一样重问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为x斤,一只 燕的重量为y斤,则可列方程组为( ) A B C D 【答案】C 【分析】根据题意,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题 【解答】解:由题意可得, , 故选:C 2.(2019南通)已知a,b满足方程组,则a+b的值为( ) A2 B4 C2 D4 【答案】A 【分析】方程组两方程相加求出所求即可 【解答】解:, +得:5a+5b10, 则a+b2, 故选
21、:A 3.(2019台湾)某旅行团到森林游乐区参观,如表为两种参观方式与所需的缆车费用已知旅行团的每个 10 人皆从这两种方式中选择一种,且去程有 15 人搭乘缆车,回程有 10 人搭乘缆车若他们缆车费用的总花 费为 4100 元,则此旅行团共有多少人?( ) 参观方式 缆车费用 去程及回程均搭乘缆车 300 元 单程搭乘缆车,单程步行 200 元 A16 B19 C22 D25 【答案】A 【分析】设此旅行团有x人单程搭乘缆车,单程步行,其中去程及回程均搭乘缆车的有y人,根据题意列 出二元一次方程,求出其解 【解答】解:设此旅行团有x人单程搭乘缆车,单程步行,其中去程及回程均搭乘缆车的有y人
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