专题34 动态问题(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)
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1、 1 专题专题 34 动态问题动态问题 一、动态问题概述 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、 定值问题和存在性问题等。2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题,有点动、线动、面动三大类。3.就 图形变化而言,有轴对称(翻折) 、平移、旋转(中心对称、滚动)等。4.动态问题一般分两类,一类是代 数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题,在梯 形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问 题是中考数学当中的重中之重,只完全掌握才能拿高分。另一类就是几何综合题,
2、在梯形,矩形,三角形 中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中 的重中之重,只完全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型:1.三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中 的常量与变量之间的关系,判断函数图 2.四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。 3.圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。4.直线、双 曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系, 判断函数图象。 三、图形运动
3、与函数图象问题常见的三种类型: 1.线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与 变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题 中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。3.多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定 方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的 常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型: 1.三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究
4、构成的新图形与原图形的边或角 的关系。 2.四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它 专题知识回顾专题知识回顾 2 们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三 角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤: (1)用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段,同一个量的数学表达方式会发生变化,所以需要分 类讨论。有时符合试题要求的情况不止一种,这时也需要分类讨论。 (2)画出符合题意的示
5、意图。 (3)根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。 【例题【例题 1 1】 (点动题)】 (点动题)如图,在矩形 ABCD 中,AB6,BC8,点 E 是 BC 中点,点 F 是边 CD 上的任意 一点,当AEF 的周长最小时,则 DF 的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如图,作点 E 关于直线 CD 的对称点 E,连接 AE,交 CD 于点 F. 在矩形 ABCD 中,AB6,BC8,点 E 是 BC 中点, 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 BECECE4. ABBC,CDBC, CFAB,CEFBEA. CE/BE=CF
6、/AB 4/(8+4)=CF/6 解得 CF2. DFCDCF624. 热点二:线动 【例题【例题 2 2】 (线动题)】 (线动题)如图 ,量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合,其中量角器 0 刻度线的端 点 N 与点 A 重合,射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3的速度旋转,CP 与量角器的半圆弧交 于点 E,第 24 秒,点 E 在量角器上对应的读数是_ 【答案】144 【解析】连接 OE,ACB90, A,B,C 在以点 O 为圆心,AB 为直径的圆上 点 E,A,B,C 共圆 ACE32472, AOE2ACE144. 点 E 在量角器上对应的读数是 1
7、44. 【例题【例题 3 3】 (面动题)】 (面动题)如图 Z10-4,将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2,宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起,构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转至 CEFD,旋转角 为. (1)当点 D恰好落在 EF 边上时,求旋转角的值; 4 (2)如图 Z10-5,G 为 BC 中点,且 090,求证:GDED; (3)小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转一周的过程中, DCD与CBD能否全等?若能,直接写出旋 转角的值;若不能,请说明理由 【答案】见解析。 【解析】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图
8、形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中 心所连线段的夹角等于旋转角也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全 等的判定与性质 (1)长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD, CDCD2. 在 RtCED中,CD2,CE1,CDE30. CDEF,30. (2)证明:G 为 BC 中点,CG1.CGCE. 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD, DCEDCE90,CECECG. GCDECD90. (3)能理由如下: 四边形 ABCD 为正方形,CBCD. CDCD, 5 BCD 与 DCD为腰相等的两个等腰三角形 当BCDDCD时,BCDDCD. 当BCD与D
9、CD为钝角三角形时, 当BCD与DCD为锐角三角形时, 综上所述,当旋转角 a 的值为 135或 315时,DCD与CBD全等 一一. .选择题选择题 1.(2019四川省达州市)四川省达州市)如图,边长都为 4 的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置,AB 与 EF 在一条直 线上, 点 A 与点 F 重合 现将 EFG 沿 AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动, 当点 F 与 B 重合时停止 在 这个运动过程中,正方形 ABCD 和 EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 根据题意和函数图象可以写出各段对应的
10、函数解析式, 从而可以判断哪个选项中的图象符合题意, 本题得以解决 当 0t2 时,S,即 S 与 t 是二次函数关系,有最小值(0,0) ,开口向上, 专题典型训练题 专题典型训练题 6 当 2t4 时,S,即 S 与 t 是二 次函数关系,开口向下, 由上可得,选项 C 符合题意。 2 ( (2019山东泰安山东泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD2,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,连接 PB,则 PB 的最小值是( ) A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点 P 的运动轨迹是线段 P1P2,再根据垂线段最短可得当 BPP
11、1P2时, PB 取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2,故 BP 的最小值为 BP1的长,由勾股定 理求解即可如图: 当点 F 与点 C 重合时,点 P 在 P1处,CP1DP1, 当点 F 与点 E 重合时,点 P 在 P2处,EP2DP2, P1P2CE 且 P1P2CE 当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时,有 DPFP 由中位线定理可知:P1PCE 且 P1PCF 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2, 当 BPP1P2时,PB 取得最小值 矩形 ABCD 中,AB4,AD2,E 为 AB 的中点, CBE、 ADE、 BCP1为等腰直角三角形,CP12
12、 ADECDECP1B45 ,DEC90 7 DP2P190 DP1P245 P2P1B90 ,即 BP1P1P2, BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中,CP1BC2 BP12 PB 的最小值是 2 3(2019山东潍坊山东潍坊) 如图, 在矩形 ABCD 中, AB2, BC3, 动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D 设 运动的路程为 x, ADP 的面积为 y,那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是( ) AB CD 【答案】D 【解析】由题意当 0 x3 时,y3,当 3x5 时,y 3 (5x)x+由此即可判断 由题意当 0 x3 时,y3, 当
13、 3x5 时,y 3 (5x)x+ 4 4. .(2012019 9 湖北武汉)湖北武汉)如图,AB是O的直径,M、N是(异于 A.B)上两点,C是上一动点,ACB的 角平分线交O于点D,BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时,则 C.E两点的运动路径 长的比是( ) 8 A B C D 【答案】A 【解析】本题考查弧长公式,圆周角定理,三角形的内心等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找点的 运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题 如图, 连接EB 设OAr 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上, 运动轨迹是, 点C的运动轨迹是, 由题意MON2GDF,设GDF,则MON2,利用弧长公
14、式计算即可解决问题 AB是直径,ACB90, E是ACB的内心,AEB135, ACDBCD, ,ADDBr,ADB90, 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是,点C的运动轨迹是, MON2GDF,设GDF,则MON2 5 5. .(2012019 9 湖南衡阳)湖南衡阳)如图,在直角三角形ABC中,C90,ACBC,E是AB的中点,过点E作AC和 9 BC的垂线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设 运动时间为t, 运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S 则S关于t的函数图象大致为 ( ) A B C D 【答案】C
15、【解析】本题考查动点问题的函数图象,正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是读懂题意,学会 分类讨论的思想,属于中考常考题型 根据已知条件得到ABC是等腰直角三角形,推出四边形EFCD是正方形,设正方形的边长为a,当移动的 距离a时,如图 1,S正方形的面积EEH的面积a 2 t 2;当移动的距离a 时,如图 2,SS ACH(2at) 2 t 22at+2a2,根据函数关系式即可得到结论; 在直角三角形ABC中,C90,ACBC, ABC是等腰直角三角形, EFBC,EDAC, 四边形EFCD是矩形, E是AB的中点, EFAC,DEBC, EFED, 四边形EFCD是正方形, 设正方形的
16、边长为a, 如图 1 当移动的距离a时,S正方形的面积EEH的面积a 2 t 2; 当移动的距离a时,如图 2,SSACH(2at) 2 t 22at+2a2, 10 S关于t的函数图象大致为C选项。 6 6. . (2012019 9 浙江衢州浙江衢州) 如图所示, 正方形ABCD的边长为 4, 点E是AB的中点, 点P从点E出发, 沿EADC 移动至终点C,设P点经过的路径长为x,CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是 ( ) A B C D 【答案】 C 【解析】动点问题的函数图象。结合题意分情况讨论:当点P在AE上时,当点P在AD上时,当点P 在DC上时,根据三角形面
17、积公式即可得出每段的y与x的函数表达式. 当点P在AE上时, 正方形边长为 4,E为AB中点, AE=2, P点经过的路径长为x, PE=x, y=SCPE= PEBC= x4=2x, 当点P在AD上时, 正方形边长为 4,E为AB中点, AE=2, P点经过的路径长为x, AP=x-2,DP=6-x, y=SCPE=S正方形ABCD-SBEC-SAPE-SPDC , 11 =44- 24- 2(x-2)- 4(6-x), =16-4-x+2-12+2x, =x+2, 当点P在DC上时, 正方形边长为 4,E为AB中点, AE=2, P点经过的路径长为x, PD=x-6,PC=10-x, y=
18、SCPE= PCBC= (10-x)4=-2x+20, 综上所述:y与x的函数表达式为: y= . 7 7. .(20192019甘肃武威)甘肃武威)如图,在矩形ABCD中,ABAD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发, 沿ABBCCD向点D运动 设点P的运动路程为x, AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图所示, 则AD边的长为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程,找到 分界点极值,结合图象得到相关线段的具体数值 当P点在AB上运动时,AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,AOP面积最
19、大为 3 AB3,即ABBC12 当P点在BC上运动时,AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,AOP面积为 0,此时结合图象可知P点 运动路径长为 7, AB+BC7 12 则BC7AB,代入ABBC12,得AB 27AB+120,解得 AB4 或 3, 因为ABAD,即ABBC, 所以AB3,BC4 8.(8.(20192019 甘肃省天水市甘肃省天水市) )已知点P为某个封闭图形边界上一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速 运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭 图形可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】y与
20、x的函数图象分三个部分,而B选项和C选项中的封闭图形都有 4 条线段,其图象要分四个部 分,所以 B.C选项不正确; A选项中的封闭图形为圆,开始y随x的增大而增大,然后y随x的减小而减小,所以A选项不正确; D选项为三角形,M点在三边上运动对应三段图象,且M点在P点的对边上运动时,PM的长有最小值 二、填空题二、填空题 9 9. .(2012019 9 浙江嘉兴浙江嘉兴)如图,一副含 30和 45角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,边AC与EF重合, AC12cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A 滑动到点C时,点D运动的路径长为 cm;连
21、接BD,则ABD的面积最大值为 cm 2 【答案】 (2412) , (24+3612) 【解析】本题考查了轨迹,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,角平分线的性质,三角形 面积公式等知识,确定点D的运动轨迹是本题的关键 13 AC12cm,A30,DEF45 BC4cm,AB8cm,EDDF6cm 如图当点E沿AC方向下滑时,得EDF,过点D作DNAC于点N,作DMBC于点M MDN90,且EDF90 EDNFDM,且DNEDMF90,EDDF DNEDMF(AAS) DNDM,且 DNAC,DMCM CD平分ACM 即点 E 沿 AC 方向下滑时,点 D在射线 CD 上移动, 当
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