专题32 尺规作图(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)
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1、 1 专题专题 32 尺规作图问题尺规作图问题 1.尺规作图的定义:只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作,完成画图的一种作图方法尺规作图可以 要求写作图步骤,也可以要求不一定要写作图步骤,但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况: (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作已知线段的垂直平分线; (4)作已知角的角平分线; (5)过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法: 写出已知,求作,作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。 4.中考要求: (1)能完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂 直平分线
2、. (2)能利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三 角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形. (3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. (4)了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明). 【例题【例题 1】(】(2019湖南长沙)湖南长沙)如图,RtABC 中,C90 ,B30 ,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为半径作弧, 两弧相交于 M、 N 两点, 作直线 MN, 交 BC 于点 D, 连接 AD, 则CAD 的度数是 ( ) 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及
3、解析 2 A20 B30 C45 D60 【答案】B 【解析】根据内角和定理求得BAC60 ,由中垂线性质知 DADB,即DABB30 ,从而得出答 案 在ABC 中,B30 ,C90 , BAC180 BC60 , 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线, DADB, DABB30 , CADBACDAB30 。 【例题【例题 2】(】(2019 山东枣庄)山东枣庄)如图,BD 是菱形 ABCD 的对角线,CBD75 , (1)请用尺规作图法,作 AB 的垂直平分线 EF,垂足为 E,交 AD 于 F; (不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)条件下,连接 BF,求DBF 的度数 【答案
4、】见解析。 【解析】(1)分别以 A.B 为圆心,大于AB 长为半径画弧,过两弧的交点作直线即可。 如图所示,直线 EF 即为所求; (2)根据DBFABDABF 计算即可。 3 四边形 ABCD 是菱形, ABDDBCABC75 ,DCAB,AC ABC150 ,ABC+C180 , CA30 , EF 垂直平分线段 AB, AFFB, AFBA30 , DBFABDFBE45 【例题【例题 3】(2019 年贵州安顺模拟题年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出AOB=AOB 的 依据是( ) A(SAS) B (SSS) C (ASA) D (AAS) 【答案】B
5、【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析,作图时满足了三条边对应相等,于是我们可以判定是运 用 SSS,答案可得 作图的步骤: 以 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA、OB 于点 C、D; 任意作一点 O,作射线 OA,以 O为圆心,OC 长为半径画弧,交 OA于点 C; 以 C为圆心,CD 长为半径画弧,交前弧于点 D; 过点 D作射线 OB 所以AOB就是与AOB 相等的角; 作图完毕 在OCD 与OCD, , OCDOCD(SSS), 4 AOB=AOB, 显然运用的判定方法是 SSS 【例题【例题 4】(】(2019山东青岛)山东青岛)请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作
6、图痕迹 已知:,直线 l 及 l 上两点 A,B 求作:RtABC,使点 C 在直线 l 的上方,且ABC90 ,BAC 【答案】见解析。 【解析】本题考查了作图复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作 先作DAB,再过 B 点作 BEAB,则 AD 与 BE 的交点为 C 点 如图,ABC 为所作 一、选择题一、选择题 1.(2019广西北部湾广西北部湾)如图, 在ABC 中,AC=BC, A=400 ,观察图中尺规作图的痕迹,可知BCG
7、 的度 数为( ) A 400 B 450 C500 D600 【答案】C 【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到 CGAB,则 CG 平分ACB,利用A=B 和三角形内角 专题典型训练题 专题典型训练题 5 和计算出ACB,从而得到BCG 的度数 本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知 线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)也考查了等腰三角形的性质 由作法得 CGAB, AB=AC, CG 平分ACB,A=B, ACB=180 -40 -40 =100 , BCG=ACB=50 2. (2019 贵州贵阳)贵
8、州贵阳) 如图, 在ABC 中, ABAC, 以点 C 为圆心, CB 长为半径画弧, 交 AB 于点 B 和点 D, 再分别以点 B,D 为圆心,大于BD 长为半径画弧,两弧相交于点 M,作射线 CM 交 AB 于点 E若 AE 2,BE1,则 EC 的长度是( ) A2 B3 C D 【答案】D 【解析】利用基本作图得到 CEAB,再根据等腰三角形的性质得到 AC3,然后利用勾股定理计算 CE 的 长 由作法得 CEAB,则AEC90 , ACABBE+AE2+13, 在 RtACE 中,CE 3.(2019河北省)河北省)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) 6 A
9、B C D 【答案】C 【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线,从而可 用直尺成功找到三角形外心 4(2019山东潍坊)山东潍坊)如图,已知AOB按照以下步骤作图: 以点 O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C,D 两点,连接 CD 分别以点 C,D 为圆心,以大于线段 OC 的长为半径作弧,两弧在AOB 内交于点 E,连接 CE,DE 连接 OE 交 CD 于点 M 下列结论中错误的是( ) ACEODEO BCMMD COCDECD DS四边形OCEDCDOE 【答案】C 【解析】利用基本作图得出角平分线的作图,进而解
10、答即可 由作图步骤可得:OE 是AOB 的角平分线, CEODEO,CMMD,S四边形OCEDCDOE, 但不能得出OCDECD 5(2019湖北宜昌湖北宜昌)通过如下尺规作图,能确定点 D 是 BC 边中点的是( ) A B C D 【答案】A 7 【解析】作线段 BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点 作线段 BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点由此可知,选项 A 符合条件,故选 A 6.(经典题)(经典题)作一条线段等于已知线段。 已知:如图,线段 a . 求作:线段 AB,使 AB = a . 【答案】见解析。 【解析】作法: 作射线 AP; 在射线 AP 上截取 AB=a .
11、则线段 AB 就是所求作的图形。 7.(经典题)(经典题)已知三边作三角形。 已知:如图,线段 a,b,c. 求作:ABC,使 AB = c,AC = b,BC = a. 【答案】见解析。 【解析】作法: 作线段 AB = c; 以 A 为圆心 b 为半径作弧,以 B 为圆心 a 为半径作弧与前弧相交于 C; 连接 AC,BC。 则ABC 就是所求作的三角形。 8 8.(经典题)(经典题)已知两边及夹角作三角形。 已知:如图,线段 m,n, . 求作:ABC,使A=,AB=m,AC=n. 【答案】见解析。 【解析】作法: 作A=; 在 AB 上截取 AB=m ,AC=n; 连接 BC。 则AB
12、C 就是所求作的三角形。 9.(经典题)(经典题)做已知线段的中点 已知:如图,线段 MN. 求作:点 O,使 MO=NO(即 O 是 MN 的中点). 【答案】见解析。 【解析】作法: 分别以 M、N 为圆心,大于 1/2MN 的相同 线段为半径画弧,两弧相交于 P,Q; 连接 PQ 交 MN 于 O 则点 O 就是所求作的的中点。 9 10.(经典题)(经典题)作已知角的角平分线。 已知:如图,AOB, 求作:射线 OP, 使AOPBOP(即 OP 平分AOB)。 【答案】见解析。 【解析】作法: 以 O 为圆心,任意长度为半径画弧, 分别交 OA,OB 于 M,N; 分别以 M、为圆心,
13、大于 1/2MN 的相同线段为半径画弧,两弧交AOB 内于; 作射线 OP。则射线 OP 就是AOB 的角平分线。 11.(经典题)(经典题)已知两角及夹边作三角形。 已知:如图,线段 m . 求作:ABC,使A=,B=,AB=m. 【答案】见解析。 10 【解析】作法: 作线段 AB=m; 在 AB 的同旁作A=,作B=, A 与B 的另一边相交于 C。 则ABC 就是所求作的图形(三角形)。 12.(2019河北模拟题)河北模拟题)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在 BC 上确定一点 P,使 PA+PC=BC,则符 合要求的作图痕迹是( ) A B C D 【答案】D 【解析】要使 P
14、A+PC=BC,必有 PA=PB,所以选项中只有作 AB 的中垂线才能满足这个条件,故 D 正确 D 选项中作的是 AB 的中垂线, 11 PA=PB, PB+PC=BC, PA+PC=BC 13.(2019丽水模拟题)丽水模拟题)如图,小红在作线段 AB 的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点 A,B 为圆心, 大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧,相交于点 C,D,则直线 CD 即为所求连结 AC,BC,AD,BD, 根据她的作图方法可知,四边形 ADBC 一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形 ADBC 四边的关系
15、进而得出四边形一定是菱形。 分别以 A 和 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于 C、D, AC=AD=BD=BC, 四边形 ADBC 一定是菱形。 14.(2019湖南益阳湖南益阳)已知 M、N 是线段 AB 上的两点,AMMN2,NB1,以点 A 为圆心,AN 长为半径画 弧;再以点 B 为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 AC,BC,则ABC 一定是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】B 【解析】依据作图即可得到 ACAN4,BCBM3,AB2+2+15,进而得到 AC2+BC2AB2,即可得 出ABC 是直角三角形 如图所
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