专题31 轴对称、 图形的平移和旋转（教师版） 备战2020中考数学复习点拨（共34讲）

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1、 1 专题专题 31 轴对称、图形的平移和旋转轴对称、图形的平移和旋转 一、轴对称一、轴对称 1对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对 称，该直线叫做对称轴。 2对称轴图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对 称图形；这条直线叫做对称轴。 3轴对称的性质： （1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 （4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等

2、。 二、平移二、平移 1平移：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大 小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 2对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对 应点。 3平移的性质： （1）平移前后两个图形的形状、大小完全相同。 （2）平移前后两个图形的对应点连接线段平行（或在同一直线上）且相等。 三、旋转三、旋转 1旋转：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定 点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距

3、离相等，对应线段相等，对应角相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图 专题知识回顾专题知识回顾 2 形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于 0 ，大于 360 ） 。 4中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形 成中心对称。这个点就是它的对称中心。 5中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个

4、图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 6中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中 心对称图形。这个点就是它的对称中心。 【例题【例题 1】（2019 山东东营）山东东营）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） 【答案】【答案】D 【解析】【解析】观察图形，选项 D 中图形是轴对称图形，有 3 条对称轴，其他图形都不是轴对称图形故选 D 【例题 2】 （2019湖南邵阳）一次函数 y1k1x+b1的图象 l1如图所示，将直线 l1向下平移若干个单位后得直 线 l2，l2的函数表达式为 y2k2x+b2下列说法中错误的是（ ） Ak1k2

5、 Bb1b2 Cb1b2 D当 x5 时，y1y2 【答案】B 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 【解析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上 某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减平移后解析 式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系 根据两函数图象平行 k 相同，以及向下平移减即可判断 将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2， 直线 l1直线 l2， k1k2， 直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2， b1b2， 当 x5 时，y1y2。 【例

6、题【例题 3】(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)下列图形中,属于中心对称图形的是( ) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】绕某点旋转 180 能和原图形重合,则这个图形称为中心对称图形,其中,A 是轴对称图形,B 旋转 120 的整数倍可以重合,D 选项旋转 72 的整数倍可以重合,故选 C. 【例题【例题 4】 （】 （2019 辽宁本溪）辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】【答案】B. 【解析】【解析】A 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； B 选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确； C 选项，是中心对称图形，但

7、不是轴对称图形，故错误； 4 D 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误， 故选 B 【例题【例题 5】 （】 （2019 山东枣庄）山东枣庄）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 到ABF 的位置若四边形 AECF 的面积为 20，DE2，则 AE 的长为（ ） A4 B2 C6 D2 【答案】D 【解析】利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积，进而可求出正方形的边长， 再利用勾股定理得出答案 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 到ABF 的位置 四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积

8、等于 20， ADDC2， DE2， RtADE 中，AE2 一、选择题一、选择题 1.（2019江苏泰州江苏泰州）如图图形中的轴对称图形是（ ） ABCD 【答案】B 【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根 据轴对称图形的概念判断即可 专题典型训练题 专题典型训练题 5 A.不是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.不是轴对称图形。 2.（2019 湖北宜昌）湖北宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

9、重合根 据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 A.不是轴对称图形，故本选项错误； B.不是轴对称图形，故本选项错误； C.不是轴对称图形，故本选项错误； D.是轴对称图形，故本选项正确 3.（2019湖南怀化湖南怀化）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的 图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确； D.是轴对称图

10、形，但不是中心对称图形，故此选项错误 4.（2019 山东枣庄）山东枣庄）下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】B 6 【解析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是中心对称图形，故本选项符合题意； C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意 5.（2019 山东枣庄）山东枣庄）在平面直角坐标系中，将点 A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位 长度，得到点 A，则点 A的坐标是（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，2） D （1，2

11、） 【答案】A 【解析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可 将点 A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A， 点 A的横坐标为 121，纵坐标为2+31， A的坐标为（1，1） 6.（2019 山东枣庄）山东枣庄）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积为 16， 阴影部分三角形的面积 9若 AA1，则 AD 等于（ ） A2 B3 C4 D 【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形 的判定与性质等知识点 由 SABC16.SAEF9 且 AD

12、 为 BC 边的中线知 SADESAEF，SABDSABC8，根据DAE DAB 知（）2，据此求解可得 SABC16.SAEF9，且 AD 为 BC 边的中线， 7 SADESAEF，SABDSABC8， 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC， AEAB， DAEDAB， 则（）2，即（）2， 解得 AD3 或 AD（舍） 。 7.（2019海南海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，1） ，点 B（3，1） ，平移线段 AB，使点 A 落 在点 A1（2，2）处，则点 B 的对应点 B1的坐标为（ ） A （1，1） B （1，0） C （1，0） D （3，0）

13、【答案】C 【解析】由点 A（2，1）平移后 A1（2，2）可得坐标的变化规律是：左移 4 个单位，上移 1 个单位， 点 B 的对应点 B1的坐标（1，0） 8.（2019南京南京）如图，ABC是由ABC 经过平移得到的，ABC 还可以看作是ABC 经过怎样的图形变 化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称其中所有正确结 论的序号是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行， 8 或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角

14、等 于旋转角 依据旋转变换以及轴对称变换，即可使ABC 与ABC重合 先将ABC 绕着 BC 的中点旋转 180 ，再将所得的三角形绕着 BC的中点旋转 180 ，即可得到ABC； 先将ABC 沿着 BC 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 BC的垂直平分线翻折，即可得到ABC。 9.（2019湖北孝感湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90 得到点 P，则 P的坐标为（ ） A （3，2） B （3，1） C （2，3） D （3，2） 【答案】D 【解析】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求 出旋转

15、后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30 ，45 ，60 ，90 ，180 作 PQy 轴于 Q，如图，把点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90 得到点 P看作把OPQ 绕原点 O 顺时针 旋转 90 得到OPQ，利用旋转的性质得到PQO90 ，QOQ90 ，PQPQ2，OQOQ3，从 而可确定 P点的坐标 作 PQy 轴于 Q，如图， P（2，3） ， PQ2，OQ3， 点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90 得到点 P相当于把OPQ 绕原点 O 顺时针旋转 90 得到OPQ， PQO90 ，QOQ90 ，PQPQ2，OQOQ3， 点 P的坐标为（3，2） 10.（2019山东省

16、聊城市）山东省聊城市）如图，在 RtABO 中，OBA90 ，A（4，4） ，点 C 在边 AB 上，且， 9 点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的 坐标为（ ） A （2，2） B （，） C （，） D （3，3） 【答案】C 【解析】根据已知条件得到 ABOB4，AOB45 ，求得 BC3，ODBD2，得到 D（0，2） ，C（4， 3） ，作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P，则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2） ，求 得直线 EC 的解析式为 yx+2，

17、解方程组可得到结论 在 RtABO 中，OBA90 ，A（4，4） ， ABOB4，AOB45 ， ，点 D 为 OB 的中点， BC3，ODBD2， D（0，2） ，C（4，3） ， 作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P， 则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2） ， 直线 OA 的解析式为 yx， 设直线 EC 的解析式为 ykx+b， ， 解得：， 直线 EC 的解析式为 yx+2， 解得， 10 P（，） ， 故选：C 11.（2019河南河南）如图，在OAB 中，顶点 O（0，0） ，A（3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形 ABCD

18、组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90 ，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ） A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 【答案】D 【解析】先求出 AB6，再利用正方形的性质确定 D（3，10） ，由于 704 17+2，所以第 70 次旋转结束 时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 90 ，此时旋转前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标 A（3，4） ，B（3，4） ， AB3+36， 四边形 ABCD 为正方形， ADAB6， D（3，10

19、） ， 704 17+2， 每 4 次一个循环， 第 70 次旋转结束时， 相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次， 每次旋转 90 ， 11 点 D 的坐标为（3，10） 二、填空题二、填空题 12 （ （2019山东临沂山东临沂）在平面直角坐标系中，点 P（4，2）关于直线 x1 的对称点的坐标是 【答案】 （2，2） 【解析】先求出点 P 到直线 x1 的距离，再根据对称性求出对称点 P到直线 x1 的距离，从而得到点 P 的横坐标，即可得解 点 P（4，2） ， 点 P 到直线 x1 的距离为 413，点 P 关于直线 x1 的对称点 P到直线 x1

20、的距离为 3， 点 P的横坐标为 132， 对称点 P的坐标为（2，2） 故答案为： （2，2） 13.（2019海南省）海南省）如图，将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0 90 ）得到 AE，直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ）得到 AF，连结 EF若 AB3，AC2，且 +B，则 EF 【答案】 【解析】由旋转的性质可得 AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求 EF 的长 由旋转的性质可得 AEAB3，ACAF2， B+BAC90 ，且 +B， BAC+90 EAF90 12 EF 14.（2019河河南南）如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa，点E 在

21、边 BC 上，且 BE 3 5 a连接AE，将ABE 沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的 值为_ 【答案】 5 3 或 5 3 【解析】 本题考查了折叠的性质： 折叠是一种对称变换， 它属于轴对称， 折叠前后图形 的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定 理，相似三角形的判定与性质进行分 类讨论与数形结合是解题的关键 分两种情况：点B落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得 ABBE，即可 求出a的值；点B落在CD边上，证明ADBBCE，据相似三角形对应边成比例即可求出a的值 分两种情况： 当点B落在AD边上时，如图 1 四边形ABCD是

22、矩形， BADB90 ， 将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上， BAEBAE 1 2 BAD45 ， ABBE， 3 5 a1，a 5 3 ； 当点B落在CD边上时，如图 2 四边形ABCD是矩形， BADBCD90 ，ADBCa 将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上， BABE90 ，ABAB1，EBEB 3 5 a， 13 DB 22 B AAD 2 1 a，ECBCBEa 3 5 a 2 5 a 在ADB与BCE 中， 0 0 90 90 B ADEB CAB I DC ， ADBBCE， DBAB CEB E ，即 2 11 23 55 a aa ， 解得 a1

23、5 3 ，a20（舍去） 综上，所求 a 的值为 5 3 或 5 3 15.（重点题）（重点题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在 AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 . 【答案】 13 49 【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，则BF=13. 又易知AFHBFA，所以 AHAF BABF ，即AH= 13 60 ，AH=2AH= 13 120 ，由勾股定理得AE=13， GE=AE-AG= 13 49 16.（2019湖南邵阳湖南邵阳）如图，将等边AOB

24、放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 在第一象 限，将等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180 得到AOB，则点 B的坐标是 14 【答案】故答案为（2，2） 【解析】作 BHy 轴于 H，如图， OAB 为等边三角形， OHAH2，BOA60 ， BHOH2， B 点坐标为（2，2） ， 等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180 得到AOB， 点 B的坐标是（2，2） 故答案为（2，2） 17.(2019 山西）山西） 如图， 在ABC 中， BAC=90 ， AB=AC=10cm， 点 D 为ABC 内一点， BAD=15 ， AD=6cm， 连接 BD，将ABD 绕

25、点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE 交 AC 于 点 F，则 CF 的长为 cm. 【答案】6210 【解析】过点 A 作 AGDE 于点 G，由旋转可知：AD=AE，DAE=90 ，CAE=BAD=15 AED=45 ；在AEF 中：AFD=AED+CAE=60 15 在 RtADG 中：AG=DG=3 2 2 AD 在 RtAFG 中：6,22 6 3 AG GFAFFG 102 6CFACAF 故答案为：6210 18.（2019 山东淄博）山东淄博）如图，在正方形网格中，格点ABC 绕某点顺时针旋转角 （0180 ）得到格点 A1B

26、1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1是对应点，则 度 【答案】90 【解析】作 CC1，AA1的垂直平分线交于点 E，可得点 E 是旋转中心，即AEA190 如图，连接 CC1，AA1，作 CC1，AA1的垂直平分线交于点 E，连接 AE，A1E CC1，AA1的垂直平分线交于点 E， 点 E 是旋转中心， AEA190 旋转角 90 16 19.（2019广西池河）广西池河）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，1） ，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90 而得，则 AC 所在直线的解析式是 【答案】 y2x4 【解析】过点 C 作 CDx 轴

27、于点 D，易知ACDBAO（AAS） ，已知 A（2，0） ，B（0，1） ，从而求得点 C 坐标，设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入求得 k 和 b，从而得解 A（2，0） ，B（0，1） OA2，OB1 过点 C 作 CDx 轴于点 D， 则易知ACDBAO（AAS） ADOB1，CDOA2 C（3，2） 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入得 直线 AC 的解析式为 y2x4 20.（2019黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC，其中点 A与 A 是对应点，点 B 与 B 是对应点，点 B落在

28、边 AC 上，连接 AB，若ACB45 ，AC3，BC2，则 AB 的长为 17 【答案】 【解析】由旋转的性质可得 ACAC3，ACBACA45 ，可得ACB90 ，由勾股定理可求解 将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC， ACAC3，ACBACA45 ACB90 AB 三、解答题三、解答题 21. （2019广西北部湾广西北部湾）如图，在平面直角坐标系中， 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A（2， 1） 、 B（1， 2） 、C（3，3）. （1）将ABC 向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1; （2）请画出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2; （3）请写

29、出 A1、A2的坐标. 【答案】（1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； （3）A1（2，3），A2（-2，-1） 【解析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标 22.（2019 北京市）北京市）已知 30AOB，H 为射线 OA 上一定点， 31OH ，P 为射线 OB 上一点，M 为 线段 OH 上一动点，连接 PM，满足OMP为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转

30、150，得到线 段 PN，连接 ON （1）依题意补全图 1； 18 （2）求证：OMPOPN ； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON=QP，并 证明 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】本题考查的知识点有【解析】本题考查的知识点有尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30 锐角的性质、中心对称的 性质. （1）见下图。 （2）证明：30AOB 在OPM 中，=180150OMPPOMOPMOPM 又150MPN， 150OPNMPNOPMOPM OMPOPN . （3）如下图，过点 P 作 PKOA 于 K，过

31、点 N 作 NFOB 于 F 备用图备用图图图1 B A O HH OA B 19 OMP=OPN PMK=NPF 在NPF 和PMK 中， 90 NPFPMK NFOPKM PNPM NPFPMK （AAS） PF=MK，PNF=MPK，NF=PK 又ON=PQ 在 RtNOF 和 RtPKQ 中， ONPQ NFPK RtNOFRtPKQ （HL） KQ=OF 设 ,MKy PKx POA=30 ，PKOQ 2OPx 3 ,3OKx OMxy 2OFOPPFxy ， 313MHOHOMxy ， 313KHOHOKx . M 与 Q 关于 H 对称 MH=HQ KQ=KH+HQ 20 =31

32、3313xxy =2 322 3xy 又KQ=OF 2 322 32xyxy 2 3222 3x 1x ，即 PK=1 又30POA OP=2. 23.（2019广西贵港）广西贵港）已知：ABC 是等腰直角三角形，BAC90 ，将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转得到 ABC，记旋转角为 ，当 90 180 时，作 ADAC，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E （1）如图 1，当CAD15 时，作AEC 的平分线 EF 交 BC 于点 F 写出旋转角 的度数； 求证：EA+ECEF； （2）如图 2，在（1）的条件下，设 P 是直线 AD 上的一个动点，连接 PA，PF，若 AB，求线段 P

33、A+PF 的最小值 （结果保留根号） 【答案】见解析。 【解析】 （1）解直角三角形求出ACD 即可解决问题 连接 AF，设 EF 交 CA于点 O在 EF 时截取 EMEC，连接 CM首先证明CFA是等边三角形，再证 明FCMACE（SAS） ，即可解决问题 （2）如图 2 中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC 交 AC 的延长线于 M证明AEFAEB，推出 EF EB，推出 B，F 关于 AE 对称，推出 PFPB，推出 PA+PFPA+PBAB，求出 AB即可解决问题 【解答】 （1）解：旋转角为 105 理由：如图 1 中， 21 ADAC，ADC90 ， CAD15 ， ACD7

34、5 ，ACA105 ， 旋转角为 105 证明：连接 AF，设 EF 交 CA于点 O在 EF 时截取 EMEC，连接 CM CEDACE+CAE45 +15 60 ， CEA120 ， FE 平分CEA，CEFFEA60 ， FCO180 45 75 60 ， FCOAEO，FOCAOE， FOCAOE， ， ， COEFOA，COEFOA， FAOOEC60 ， AOF 是等边三角形，CFCAAF， EMEC，CEM60 ，CEM 是等边三角形， ECM60 ，CMCE， FCAMCE60 ，FCMACE， FCMACE（SAS） ，FMAE， CE+AEEM+FMEF （2）解：如图 2 中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC 交 AC 的延长线于 M 22 由可知，EAFEAB75 ，AEAE，AFAB， AEFAEB， EFEB， B，F 关于 AE 对称，PFPB， PA+PFPA+PBAB， 在 RtCBM 中，CBBCAB2，MCB30 ， BMCB1，CM， AB PA+PF 的最小值为