专题22 正方形（教师版） 备战2020中考数学复习点拨（共34讲）

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1、 1 专题专题 22 正方形正方形 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴； （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的 小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它

2、是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b ，S正方形= 2 2 2 b a 【例题【例题 1】（2019 湖南郴州）湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正 方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90 ，BD4，CF6，则正方形 ADOF 的边长是（ ） A2 B2 C3 D4 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设正方形 ADOF 的边长为 x，

3、由题意得：BEBD4，CECF6， BCBE+CEBD+CF10， 在 RtABC 中，AC2+AB2BC2， 即（6+x）2+（x+4）2102， 整理得，x2+10 x240， 解得：x2，或 x12（舍去） ， x2， 即正方形 ADOF 的边长是 2 【例题【例题 2】 （】 （2019四川省凉山州）四川省凉山州）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 OC 上一点，连 接 EB过点 A 作 AMBE，垂足为 M，AM 与 BD 相交于点 F求证：OEOF 【答案】见解析。 【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 OBOA，根据 AMBE，即可得出M

4、EA+MAE 90 AFO+MAE，从而证出 RtBOERtAOF，得到 OEOF 证明：四边形 ABCD 是正方形 BOEAOF90 ，OBOA 又AMBE， MEA+MAE90 AFO+MAE， MEAAFO BOEAOF（AAS） OEOF 3 一、选择题一、选择题 1 （ （2019 内蒙古包头）内蒙古包头）如图，在正方形 ABCD 中，AB1，点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，AEAF， EAF60 ，则 CF 的长是（ ） A B C1 D 【答案】C 【解析】四边形 ABCD 是正方形， BDBAD90 ，ABBCCDAD1， 在 RtABE 和 RtADF 中， RtA

5、BERtADF（HL） ， BAEDAF， EAF60 ， BAE+DAF30 ， DAF15 ， 在 AD 上取一点 G，使GFADAF15 ，如图所示： AGFG，DGF30 ， DFFGAG，DGDF， 设 DFx，则 DGx，AGFG2x， AG+DGAD， 2x+x1， 解得：x2， 专题典型训练题 专题典型训练题 4 DF2， CFCDDF1（2）1； 故选：C 2 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺 时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA

6、2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（ ） A （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 【答案】A. 【解析】解：四边形 OABC 是正方形，且 OA1， A（0，1） ， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1， A1（，） ，A2（1，0） ，A3（，） ， 发现是 8 次一循环，所以 2019 8252余 3， 点 A2019的坐标为（，） 故选：A 5 3.（2019四川省广安市）四川省广安市）把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 ( )A 6 1 ( )B 3 1 ( )C

7、5 1 ()D 4 1 【答案】A 【解析】阴影部分面积=13 2 2 1 = 6 1 4. （2019贵州省铜仁市）贵州省铜仁市） 如图， 正方形 ABCD 中， AB6， E 为 AB 的中点， 将ADE 沿 DE 翻折得到FDE， 延长 EF 交 BC 于 G，FHBC，垂足为 H，连接 BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG； FHBEAD；tanGEB；SBFG2.6；其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解答】正方形 ABCD 中，AB6，E 为 AB 的中点 ADDCBCAB6，AEBE3，ACABC90 ADE 沿 DE 翻折得到FDE AEDFED

8、，ADFD6，AEEF3，ADFE90 BEEF3，DFGC90 EBFEFB AED+FEDEBF+EFB DEFEFB BFED 故结论正确； ADDFDC6，DFGC90 ，DGDG RtDFGRtDCG 1 2 6 结论正确； FHBC，ABC90 ABFH，FHBA90 EBFBFHAED FHBEAD 结论正确； RtDFGRtDCG FGCG 设 FGCGx，则 BG6x，EG3+x 在 RtBEG 中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2 解得：x2 BG4 tanGEB 故结论正确； FHBEAD，且 BH2FH 设 FHa，则 HG42a 在 RtFHG 中，由勾股定

9、理得：a2+（42a）222 解得：a2（舍去）或 a SBFG 4 2.4 故结论错误。 5 （2019 黑龙江省绥化）黑龙江省绥化）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，P 是正方形四边上 的任意一点，且 AB4，EF2，设 AEx当PEF 是等腰三角形时，下列关于 P 点个数的说法中，一定 正确的是（ ） 当 x0（即 E、A 两点重合）时，P 点有 6 个 当 0 x4 22 时，P 点最多有 9 个 当 P 点有 8 个时，x2 22 7 当PEF 是等边三角形时，P 点有 4 个 A B C D 【答案】B 【解析】当 x0（即 E、A 两点重合）时，

10、如下图， 分别以 A、F 为圆心，2 为半径画圆，各 2 个 P 点， 以 AF 为直径作圆，有 2 个 P 点，共 6 个， 所以，正确。 当 0 x4 22 时，P 点最多有 8 个， 故错误。 8 二、填空题二、填空题 6 （ （2019 湖南邵阳）湖南邵阳）公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图， 设勾 a=6，弦 c=10，则小正方形 ABCD 的面积是 . 【答案】4 【解析】勾 a6，弦 c10， 股8， 小正方形的边长862， 小正方形的面积224. 故答案是：4. 7 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）如图：正方形 ABCD 的边长为

11、1，点 E，F 分别为 BC，CD 边的中点， 连接 AE，BF 交于点 P，连接 PD，则 tanAPD 【答案】2 【解析】解：连接 AF， 9 E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， CFBE， 在ABE 和BCF 中， ， RtABERtBCF（SAS） ， BAECBF， 又BAE+BEA90 ， CBF+BEA90 ， BPEAPF90 ， ADF90 ， ADF+APF180 ， A、P、F、D 四点共圆， AFDAPD， tanAPDtanAFD2， 故答案为：2 8.（2019湖北省随州市湖北省随州市）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 a，E 为 CD

12、边上一点（不与端点重合），将 ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF给出下列判断： EAG=45 ； 若 DE= a，则 AGCF； 10 若 E 为 CD 的中点，则GFC 的面积为a2； 若 CF=FG，则 DE=（-1）a； BGDE+AFGE=a2 其中正确的是_（写出所有正确判断的序号） 【答案】 【解析】四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=AD=a， 将ADE 沿 AE 对折至AFE ， AFE=ADE=ABG=90 ，AF=AD=AB，EF=DE，DAE=FAE， 在 RtABG 和 RtAFG 中， RtABGRtAFG（HL）

13、， BAG=FAG， GAE=GAF+EAF=90 =45 ，故正确； BG=GF，BGA=FGA， 设 BG=GF=x，DE=a，EF=a，CG=a-x， 在 RtEGC 中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2， 解得 x=a，此时 BG=CG=a， GC=GF=a，GFC=GCF，且BGF=GFC+GCF=2GCF， 2AGB=2GCF，AGB=GCF，AGCF，正确； 若 E 为 CD 的中点，则 DE=CE=EF=， 设 BG=GF=y，则 CG=a-y，CG2+CE2=EG2， 即，解得，y=a， 11 BG=GF=，CG=a- ， ，故错误； 当 C

14、F=FG，则FGC=FCG， FGC+FEC=FCG+FCE=90 ，FEC=FCE，EF=CF=GF， BG=GF=EF=DE，EG=2DE，CG=CE=a-DE，即， DE=（-1）a，故正确； 设 BG=GF=b，DE=EF=c，则 CG=a-b，CE=a-c， 由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得 bc=a2-ab-ac， =，即 SCEG=BGDE， SABG=SAFG，SAEF=SADE， ， S五边形ABGED+SCEG=S 正方形ABCD，BGDE+AFEG=a2，故正确故答案为： 由折叠得 AD=AF=AB，再由 HL 定理证明 RtABGRtAFG

15、 便可判定正误； 设 BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得 BG=a，进而得 GC=GF，得GFC= GCF，再证明AGB=GCF，便可判断正误； 设 BG=GF=y，则 CG=a-y，由勾股定理得 y 的方程求得 BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比 等于底边之比，求得CGF 的面积，便可判断正误； 证明FEC=FCE，得 EF=CF=GF，进而得 EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角 边的关系式便可得结论，进而判断正误； 设 BG=GF=b， DE=EF=c， 则 CG=a-b， CE=a-c， 由勾股定理得 bc=a2-a

16、b-ac， 再得CEG 的面积为 BGDE， 再由五边形 ABGED 的面积加上CEG 的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误 9 （ （2019 福建）福建）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的O 的圆心重合，E、F 分别是 AD、BA 的延长与O 的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 12 【答案】1 【解析】延长 DC，CB 交O 于 M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论 延长 DC，CB 交O 于 M，N， 则图中阴影部分的面积 （S圆OS正方形ABCD） （44）1， 10.（2019四川省凉山州）四川省凉山州）如图，正方形 ABCD 中，

17、AB12，AEAB，点 P 在 BC 上运动（不与 B、C 重合） ，过点 P 作 PQEP，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 【答案】4 【解析】先证明BPECQP，得到与 CQ 有关的比例式，设 CQy，BPx，则 CP12x，代入解析 式，得到 y 与 x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值 BEP+BPE90 ，QPC+BPE90 ， BEPCPQ 又BC90 ， BPECQP 设 CQy，BPx，则 CP12x ，化简得 y（x212x） ， 整理得 y（x6）2+4， 所以当 x6 时，y 有最大值为 4 11. （2019广东广州广东广州）如图，正方形 ABCD 的

18、边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，DAM 13 45 ，点 F 在射线 AM 上，且 AFBE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ECF45 ； AEG 的周长为（1+）a； BE2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值a2 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】正确如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EH证明FAEEHC（SAS） ，即可解决问 题错误如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则CBECDH（SAS） ，再证明GCE GCH（SAS） ，即可解决问题 正确设 BEx

19、，则 AEax，AFx，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题 如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EH BEBH，EBH90 ， EHBE，AFBE， AFEH， DAMEHB45 ，BAD90 ， FAEEHC135 ， BABC，BEBH， AEHC， FAEEHC（SAS） ， EFEC，AEFECH， ECH+CEB90 ， AEF+CEB90 ， FEC90 ， ECFEFC45 ，故正确， 14 如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则CBECDH（SAS） ， ECBDCH， ECHBCD90 ， ECGGCH45 ， CGCG，CECH， GCE

20、GCH（SAS） ， EGGH， GHDG+DH，DHBE， EGBE+DG，故错误， AEG 的周长AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误， 设 BEx，则 AEax，AFx， SAEF（ax） xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2， 0， xa 时，AEF 的面积的最大值为a2故正确， 故答案为 12.（2019 广西贺州）广西贺州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分BAE 交 BC 于点 F， 将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得ABG，则 CF 的长为 15 【答案】62 【解析】作 F

21、MAD 于 M，FNAG 于 N，如图，易得四边形 CFMD 为矩形，则 FM4， 正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点， DE2， AE2， ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得ABG， AGAE2，BGDE2，34，GAE90 ，ABGD90 ， 而ABC90 ， 点 G 在 CB 的延长线上， AF 平分BAE 交 BC 于点 F， 12， 2+41+3，即 FA 平分GAD， FNFM4， ABGFFNAG， GF2， CFCGGF4+2262 故答案为 62 13 （ （2019山东青岛山东青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形纸

22、片折叠，点 B 落在线段 AE 上的点 G 处，折痕为 AF若 AD4cm，则 CF 的长为 cm 16 【答案】6 【解析】设 BFx，则 FGx，CF4x，在 RtGEF 中，利用勾股定理可得 EF2（4）2+x2，在 RtFCE 中，利用勾股定理可得 EF2（4x）2+22，从而得到关于 x 方程，求解 x，最后用 4x 即可 设 BFx，则 FGx，CF4x 在 RtADE 中，利用勾股定理可得 AE 根据折叠的性质可知 AGAB4，所以 GE4 在 RtGEF 中，利用勾股定理可得 EF2（4）2+x2， 在 RtFCE 中，利用勾股定理可得 EF2（4x）2+22， 所以（4）2+

23、x2（4x）2+22， 解得 x2 则 FC4x6 14.（2019 江苏镇江）江苏镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置（如图） ，使得 点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD （结果保留根号） 【答案】【答案】21 【解析】【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理由正方形的对角线与相 邻的边夹角为 45 ，得CFEECF45 ，而在 RtCEF 中，由勾股定理，得 CF2，从而 DF2 1，易知DHF 是等腰直角三角形，于是 DHDF21因此本题答案为21 15 （ （2019 辽宁

24、抚顺）辽宁抚顺）如图，在 2 6 的网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，网格中小正方形的 顶点叫格点，点 A，B，C 在格点上，连接 AB，BC，则 tanABC 17 故答案为： 【解析】连接 AD，根据网格利用勾股定理求出 AB，AD，BD 的长，利用勾股定理的逆 定理判断出三角形 ABD 为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可 连接 AD，由勾股定理得：AD，AB2，BD， （）2+（2）2（）2，即 AD2+AB2BD2， ABD 为BAD 是直角的直角三角形， tanABC 三、解答题三、解答题 16 （ （2019 湖南湘西州）湖南湘西州）如图，在正方形 ABC

25、D 中，点 E，F 分别在边 CD，AD 上，且 AF CE （1）求证：ABFCBE； （2）若 AB4，AF1，求四边形 BEDF 的面积 【答案】 （1）见解析； （2）12 【解答】 （1）在ABF 和CBE 中 ， ABFCBE（SAS） ； （2）由已知可得正方形 ABCD 面积为 16， ABF 面积CBE 面积 1 2 4 12 所以四边形 BEDF 的面积为 162 212 17. (2019 海南海南)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A,D 不重合), 18 射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q. (

26、1)求证:PDEQCE; (2)过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F,连接 AF,当 PBPQ 时,求证:四边形 AFEP 是平行四边形;请判断四边 形 AFEP 是否为菱形,并说明理由. 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】【解析】由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;通过证明全等得到 APEF,由平行线的传递性得到平 行,故四边形 AFEP 是平行四边形;列出方程得到 AP 的长,与 PE 比较,不能判定四边形 AFEP 是菱形. (1) 证明:四边形ABCD是正方形,DBCD90 ,ECQ90 D.E是CD的中点,DECE, 又DEPCEQ,PDEQCE; (2) (2)证

27、明:如图,由(1)得PDEQCE,PEQE 1 2 PQ,又EFBC,PFFB 1 2 PB,PBPQ, PFPE,12,四边形 ABCD 是正方形,BAD90 ,在 RtABP 中,F 是 PB 的中点,AF 1 2 BP FP,34,ADBC,EFBC,ADEF,14,23,又PFFP,APFEFP, APEF,又APEF,四边形 AFEP 是平行四边形. 四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PDx,则AP1x,由(1)可知PDEQCE,CQPDx,BQ BC+CQ1+x,点 E,F 分别是 PQ,PB 的中点,EF 是PBQ 的中位线,EF 1 2 BQ1+ 2 x .由可知 AP EF

28、,即 1x1+ 2 x ,解得 x 1 3 ,PD 1 3 ,AP 2 3 ,在 RtPDE 中,DE 1 2 ,PE 22 PDDE+ 13 6 , APPE,四边形 AFEP 不是菱形. 18 （ （2019 湖南株洲）湖南株洲）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，连 19 接 CE、DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM 1 2 ，求正方形 OEFG 的边长 【答案】 （1）见解析； （2）2 【解析】解： （1）正方形 ABCD 与正方形

29、OEFG，对角线 AC、BD DOOC DBAC，DOADOC90 GOE90 ，GOD+DOEDOE+COE90 GODCOE GOOE 在DOG 和COE 中 DOGCOE（SAS） （2）如图，过点 M 作 MHDO 交 DO 于点 H AM 1 2 ，DA2，DM MDB45 MHDHsin45DM，DOcos45DA HODODH 20 在 RtMHO 中，由勾股定理得 MO DGBD，MHDO，MHDG 易证OHMODG ，得 GO2 则正方形 OEFG 的边长为 2 19.（2019湖北省仙桃市）湖北省仙桃市）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，

30、且 BECF，过 点 E 作 EGBF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF求证： （1）AEBF； （2）四边形 BEGF 是平行四边形 【答案】见解析。 【解析】 由 SAS 证明ABEBCF 得出 AEBF， BAECBF， 由平行线的性质得出CBFCEG， 证出 AEEG，即可得出结论；延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，则 APCE，EBP90 ，证明 APEECG 得出 AEEG，证出 EGBF，即可得出结论 证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABCBCD90 ， 21 ABEBCF90 ， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF（SAS

31、） ， AEBF，BAECBF， EGBF，CBFCEG， BAE+BEA90 ，CEG+BEA90 ， AEEG，AEBF； （2）延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，如图所示： 则 APCE，EBP90 ，P45 ， CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，ECG45 ，PECG， 由（1）得BAECEG， 在APE 和ECG 中， APEECG（ASA） ，AEEG， AEBF，EGBF， EGBF，四边形 BEGF 是平行四边形 20 （ （2019山东泰安山东泰安）如图，四边形 ABCD 是正方形，EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且CEF 90 ，FGAD

32、，垂足为点 C （1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明； （2）若点 H 为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由 22 【答案】见解析。 【解析】过点 F 作 FMAB 交 BA 的延长线于点 M，可证四边形 AGFM 是矩形，可得 AGMF，AM FG，由“AAS”可证EFMCEB，可得 BEMF，MEBCAB，可得 BEMAMFAGFG； 延长 GH 交 CD 于点 N，由平行线分线段成比例可得，且 CHFH，可得 GHHN，NC FG，即可求 DGDN，由等腰三角形的性质可得 DHHG （1）AGFG， 理由如下：如图，过点 F 作 F

33、MAB 交 BA 的延长线于点 M 四边形 ABCD 是正方形 ABBC，B90 BAD FMAB，MAD90 ，FGAD 四边形 AGFM 是矩形 AGMF，AMFG， CEF90 ， FEM+BEC90 ，BEC+BCE90 FEMBCE，且MB90 ，EFEC EFMCEB（AAS） BEMF，MEBC MEABBC 23 BEMAMF AGFG， （2）DHHG 理由如下：如图，延长 GH 交 CD 于点 N， FGAD，CDAD FGCD ，且 CHFH， GHHN，NCFG，AGFGNC 又ADCD， GDDN，且 GHHN，DHGH 21 （ （2019 湖北襄阳）湖北襄阳） （

34、1）证明推断：如图（1） ，在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB 上，DQ AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GFAE 求证：DQAE； 推断：的值为 ； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形 ABCD 中，k（k 为常数） 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的 数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k时，若 tanCGP，GF2，求 CP 的长 24 【答案】见解析。 24

35、 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABDA，ABE90 DAQQAO+OAD90 AEDH，ADO+OAD90 QAOADO ABEDAQ（ASA） ，AEDQ 解：结论：1 理由：DQAE，FGAE，DQFG， FQDG，四边形 DQFG 是平行四边形，FGDQ， AEDQ，FGAE，1 故答案为 1 （2）解：结论：k 理由：如图 2 中，作 GMAB 于 M AEGF，AOFGMFABE90 ， BAE+AFO90 ，AFO+FGM90 ，BAEFGM， ABEGMF， ， AMGDDAM90 ， 25 四边形 AMGD 是矩形，GMAD， k （3）解：如图 21 中，作 PMBC 交 BC 的延长线于 M FBGC，FEGP，CGPBFE， tanCGPtanBFE， 可以假设 BE3k，BF4k，EFAF5k， ，FG2，AE3， （3k）2+（9k）2（3）2， K1 或1（舍弃） ，BE3，AB9， BC：AB2：3，BC6， BECE3，ADPEBC6， BEFFEPPME90 ， FEB+PEM90 ，PEM+EPM90 ，FEBEPM， FBEEMP， ，EM，PM， CMEMEC3， PC