专题18 解直角三角形问题(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)
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1、 1 专题专题 18 解直角三角形问题解直角三角形问题 一、勾股定理一、勾股定理 1勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a 2b2=c2。 2勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a 2b2=c2。 ,那么这个三角形是直角三角形。 3.定理:经过证明被确认正确的命题叫做定理。 4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它 的逆命题。 (例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5. 直角三角形的性质: (1)直角三角形的两锐角互余; (2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方; (3)直角三角形中
2、 30角所对直角边等于斜边的一半; (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 6.直角三角形的判定: (1)有一个角等于 90的三角形是直角三角形 (2) 两锐角互余的三角形是直角三角形 (3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形 (4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 二、锐角三角函数二、锐角三角函数 1.各种锐角三角函数的定义 (1)正弦:在ABC 中,C=90把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做A 的正弦,记作 sinA A的对边 斜边 (2) 余弦: 在ABC 中, C=90, 把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做A 的余弦, 记作 cosA A的邻边 斜
3、边 (3) 正切: 在ABC中, C=90, 把锐角 A的对边与邻边的比值叫做A 的正切, 记作 tanA A的对边 A的邻边 2.特殊值的三角函数: 专题知识回顾专题知识回顾 2 sin cos tan cot 0 0 1 0 不存在 3030 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 4545 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 6060 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 9090 1 1 0 0 不存在 0 0 三、仰角、俯角、坡度概念三、仰角、俯角、坡度概念 1仰角仰角:视线在水平线上方的角; 2俯角俯角:视线在水平线下方的角。 3坡度坡度( (坡比
4、坡比) ):坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即 h i l 。把坡面与 水平面的夹角记作(叫做坡角),那么tan h i l 。 四、各锐角三角函数之间的关系四、各锐角三角函数之间的关系 (1)互余关系 sinA=cos(90A),cosA=sin(90A) tanA=cot(90A),cotA=tan(90A) (2)平方关系 1cossin 22 AA (3)倒数关系 tanAtan(90A)=1 (4)弦切关系 tanA= A A cos sin 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 :ih l h l 3 【例题【例题 1 1】 (】 (2019201
5、9湖北省鄂州市)湖北省鄂州市)如图,已知线段AB4,O是AB的中点,直线l经过点O,160,P 点是直线l上一点,当APB为直角三角形时,则BP 【答案】2 或 2或 2 【解析】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a 2+b2 c 2 分APB90、PAB90、PBA90三种情况,根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可 AOOB2, 当BP2 时,APB90, 当PAB90时,AOP60, APOAtanAOP2, BP2, 当PBA90时,AOP60, BPOBtan12, 故答案为:2 或 2或 2 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 4
6、 【例题【例题 2 2】 (】 (20192019湖南长沙)湖南长沙)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东 60方向,距离灯塔 60nmile的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东 45方向上的B处,这时轮船B与小岛A的 距离是( ) A30nmile B60nmile C120nmile D (30+30)nmile 【答案】D 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解 直角三角形的问题,解决的方法就是作高线 过点C作CDAB,则在RtACD中易得AD的长,再在直角BCD中求出BD,相加可得AB的长 过C作CDAB于D
7、点, ACD30,BCD45,AC60 在RtACD中,cosACD, CDACcosACD6030 在RtDCB中,BCDB45, CDBD30, ABAD+BD30+30 答:此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+30)nmile 【例题【例题 3 3】 (】 (20192019江苏连云港)江苏连云港)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为 25 海里在某时 5 刻, 哨所A与哨所B同时发现一走私船, 其位置C位于哨所A北偏东 53的方向上, 位于哨所B南偏东 37 的方向上 (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离; (2) 若观察哨所A发现走私船从C处以 16海里/
8、小时的速度向正东方向逃窜, 并立即派缉私艇沿北偏东76 的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截 (结果保留根号) (参考数据:sin37cos53,cos37sin53,tan37,tan764) 【答案】 (1)观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为 15 海里; (2)当缉私艇的速度为 6海里/小时时,恰好在D处成功拦截 【解析】 (1)先根据三角形内角和定理求出ACB90,再解RtABC,利用正弦函数定义得出AC即可; 在ABC中,ACB180BBAC180375390 在RtABC中,sinB, ACABsin372515(海里) 答:观察哨所A与走私船所在的位置C
9、的距离为 15 海里; (2)过点C作CMAB于点M,易知,D.C.M在一条直线上解RtAMC,求出CM、AM解RtAMD中,求 出DM、AD,得出CD设缉私艇的速度为x海里/小时,根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可 过点C作CMAB于点M,由题意易知,D.C.M在一条直线上 在RtAMC中,CMACsinCAM1512, AMACcosCAM159 在RtAMD中,tanDAM, DMAMtan769436, AD9, 6 CDDMCM361224 设缉私艇的速度为x海里/小时,则有, 解得x6 经检验,x6是原方程的解 答:当缉私艇的速度为 6海
10、里/小时时,恰好在D处成功拦截 一、选择题一、选择题 1 1 ( (20192019渝北区)渝北区)如果下列各组数是三角形的三边,则能组成直角三角形的是( ) A1,2 B1,3,4 C2,3,6 D4,5,6 【答案】A 【解析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 A.1 2+( ) 222,故是直角三角形,故此选项正确; B.1 2+3242,故不是直角三角形,故此选项错误; C.2 2+3262,故不是直角三角形,故此选项错误; D.4 2+5262,故不是直角三角形,故此选项错误 2 2 ( (20192019巴南区)巴南区)下列各组数据中,能够成为直角三角
11、形三条边长的一组数据是( ) A, B3 2,42,52 C D0.3,0.4,0.5 【答案】D 【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形,再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可 A.() 2+( ) 2( ) 2,即三角形不是直角三角形,故本选项不符合题意; 专题典型训练题 专题典型训练题 7 B.(3 2)2+(42)2(52)2,即三角形不是直角三角形,故本选项不符合题意; C.() 2+( ) 2( ) 2,即三角形不是直角三角形,故本选项不符合题意; D.0.03 2+0.0420.052,即三角形是直角三角形,故本选项符合题意。 3.3.(20192019 广西省贵港市)
12、广西省贵港市)将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠,折痕为AB,重叠部分为ABC (图中阴影部分) ,若45ACB,则重叠部分的面积为( ) A 2 2 2cm B 2 2 3cm C 2 4cm D 2 4 2cm 【答案】【答案】A 【解析】【解析】过B作BDAC于D,则90BDC,依据勾股定理得出BC的长,进而得到重叠部分的面积 如图,过B作BDAC于D,则90BDC, 45ACB, 45CBD,2BDCDcm,Rt BCD中, 22 222 2()BCcm, 重叠部分的面积为 1 2 222 2() 2 cm,故选:A 4.4.(20192019 贵州省毕节市)贵州省毕节市)
13、如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB1,EC2,那么正方形ABCD的面 积为( ) A3 B3 C5 D5 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】勾股定理 四边形ABCD是正方形,B90,BC 2EC2EB222123, 正方形ABCD的面积BC 23故选:B 5 5 ( (20192019南岸区)南岸区)如图,在 RtABC中,A90,C30,BC的垂直平分线交AC于点D,并交BC 于点E,若ED3,则AC的长为( ) A3 B3 C6 D9 【答案】D 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DCDB,DEBC,求出BDDC2DE3,根据直角三角形的性质 计算即可 DE是线段BC的垂
14、直平分线, DCDB,DEBC, C30, BDDC2DE3, DBCC30, 在ABC中,A90,C30, ABC60, ABD603030, ADBD3, ACDC+AD9 6 6 ( (20192019西藏)西藏)如图,在O中,半径OC垂直弦AB于D,点E在O上,E22.5,AB2,则半径 OB等于( ) 9 A1 B C2 D2 【答案】B 【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出ODB是等腰直角三角形,进而得出答案 半径OC弦AB于点D, , EBOC22.5, BOD45, ODB是等腰直角三角形, AB2, DBOD1, 则半径OB等于: 7.7.(20192019江苏苏州
15、)江苏苏州)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水 平距离为18 3m的地面上,若测角仪的高度为1.5 m,测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o,则教学楼的高度是( ) A55.5 m B54m C19.5 m D18m 【答案】C 【解析】考察30o角的三角函数值,中等偏易题目 过D作DEAB交AB于E, 30 C D A B 18 3DEBC 10 在RtADEV中,tan30 AE DE o 3 18 318m 3 AE 18 1.519.5mAB 8.8.(20192019湖南长沙)湖南长沙)如图,ABC中,ABAC10,tanA2,BEAC于点E,
16、D是线段BE上的一个动点, 则CD+BD的最小值是( ) A2 B4 C5 D10 【答案】B 【解析】如图,作DHAB于H,CMAB于M由tanA2,设AEa,BE2a,利用勾股定理构建方 程求出a,再证明DHBD,推出CD+BDCD+DH,由垂线段最短即可解决问题 如图,作DHAB于H,CMAB于M BEAC, 30 C D A B E 11 ABE90, tanA2,设AEa,BE2a, 则有:100a 2+4a2, a 220, a2或2(舍弃) , BE2a4, ABAC,BEAC,CMAC, CMBE4(等腰三角形两腰上的高相等) ) DBHABE,BHDBEA, sinDBH,
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