专题17 等腰、等边三角形问题(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)
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1、 1 专题专题 17 等腰、等边三角形问题等腰、等边三角形问题 一、等腰三角形 1. 定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶 角,底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质 性质 1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角” ) 性质 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一” ) 3.等腰三角形的性质的作用 性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据 性质 2 用来证明线段相等,角相等,垂直关系等 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所
2、在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边” ). 要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为 边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形 1. 定义:三边都相等的三角形叫等边三角形 2. 性质 性质 1:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60; 性质 2:等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴,分别为三边的垂直平分线。 3.判定 (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形; (2) 有一个角是 6
3、0的等腰三角形是等边三角形; (3) 有两个角是 60的三角形是等边三角形。 专题知识回顾专题知识回顾 2 三、含 30 0 的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果有一个锐角等于 30,那么它对的等于的一半. 四、解题方法要领 1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在 等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利 用其定义和有关性质,快捷地证出结论。 2.常用的辅助线有: (1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。 (2)在三角形的中线问 题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问
4、题。 3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法,在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边 或角,要对已知的边和角进行讨论,分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。 【例题【例题 1 1】 (】 (20192019重庆)重庆)如图,在ABC中,ABAC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分ABC交AC于 点E,过点E作EFBC交AB于点F (1)若C36,求BAD的度数; (2)求证:FBFE 【答案】见解析。 【解析】 (1)ABAC,CABC, C36,ABC36, BDCD,ABAC, ADBC,ADB90,BAD903654 (2)证明:BE平分ABC, ABECBEABC
5、, 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 EFBC,FEBCBE, FBEFEB,FBFE 【例题【例题 2】 (】 (2019 黑龙江哈尔滨)黑龙江哈尔滨)如图,在四边形 ABCD 中,ABAD,BCDC,A60,点 E 为 AD 边上一点,连接 BD.CE,CE 与 BD 交于点 F,且 CEAB,若 AB8,CE6,则 BC 的长为 【答案】2 【解析】连接 AC 交 BD 于点 O,由题意可证 AC 垂直平分 BD,ABD 是等边三角形,可得BAODAO 30,ABADBD8,BOOD4,通过证明EDF 是等边三角形,可得 DEEFDF2,由勾股 定理可求 OC,BC 的长如图
6、,连接 AC 交 BD 于点 O ABAD,BCDC,A60, AC 垂直平分 BD,ABD 是等边三角形 BAODAO30,ABADBD8,BOOD4 4 CEAB BAOACE30,CEDBAD60 DAOACE30 AECE6,DEADAE2 CEDADB60 EDF 是等边三角形,DEEFDF2 CFCEEF4,OFODDF2 OC2 BC2 【例题【例题 3】 (】 (2019黄石)黄石)如图,在ABC 中,B50,CDAB 于点 D,BCD 和BDC 的角平分线相 交于点 E,F 为边 AC 的中点,CDCF,则ACD+CED( ) A125 B145 C175 D190 【答案】
7、C 【解析】 根据直角三角形的斜边上的中线的性质, 即可得到CDF 是等边三角形, 进而得到ACD60, 根据BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E, 即可得出CED115, 即可得到ACD+CED60+115 175 CDAB,F 为边 AC 的中点, DFACCF, 又CDCF, CDDFCF, CDF 是等边三角形, ACD60, B50, BCD+BDC130, BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E, 5 DCE+CDE65, CED115, ACD+CED60+115175, 故选:C 一、选择题一、选择题 1.1.(20192019 宁夏)宁夏) 如图,在ABC中,点D和E分
8、别在AB和AC上,且连接DE, 过点A的直线GH与DE平行,若,则的度数为( ) A B C D 【答案】C 【解析】 】平行线的性质、等腰三角形的性质 因为,所以(180)270BACC ,因为(180)270BACC ,所以 (180)255ADCBAD ,因为/GHDE,所以55GADADC,故本题正确选项为 C 2.(2019浙江衢州浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB 组成,两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动,C 点 固定,OC=CD=DE,点 D,E 可在槽中滑动,若B
9、DE=75 ,则CDE 的度数是( ) A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 ACBC ADAE 40CGAD 40455570 ACBC 专题典型训练题 专题典型训练题 6 【答案】 D 【解析】考点是三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质 。 OC=CD=DE, O=ODC,DCE=DEC, 设O=ODC=x, DCE=DEC=2x, CDE=180 -DCE-DEC=180 -4x, BDE=75 , ODC+CDE+BDE=180 , 即 x+180 -4x+75 =180 , 解得:x=25 , CDE=180 -4x=80 . 3.(2019湖南长沙湖南长沙
10、)如图,RtABC 中,C90,B30,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于AB 的长为半径作弧, 两弧相交于 M、 N 两点, 作直线 MN, 交 BC 于点 D, 连接 AD, 则CAD 的度数是 ( ) A20 B30 C45 D60 【答案】B 【解析】在ABC 中,B30,C90, BAC180BC60, 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线, DADB, DABB30, CADBACDAB30 4.(2019湖南长沙湖南长沙)如图,ABC 中,ABAC10,tanA2,BEAC 于点 E,D 是线段 BE 上的一个动 点,则 CD+BD 的最小值是( ) 7 A2 B4 C5 D1
11、0 【答案】B 【解析】如图,作 DHAB 于 H,CMAB 于 M由 tanA2,设 AEa,BE2a,利用勾股定理构 建方程求出 a,再证明 DHBD,推出 CD+BDCD+DH,由垂线段最短即可解决问题 如图,作 DHAB 于 H,CMAB 于 M BEAC,ABE90, tanA2,设 AEa,BE2a, 则有:100a2+4a2,a220, a2或2(舍弃) ,BE2a4, ABAC,BEAC,CMAC, CMBE4(等腰三角形两腰上的高相等) ) DBHABE,BHDBEA, sinDBH,DHBD, CD+BDCD+DH, CD+DHCM,CD+BD4, CD+BD 的最小值为
12、4 5.(2019湖南邵阳湖南邵阳)如图,在 RtABC 中,BAC90,B36,AD 是斜边 BC 上的中线,将ACD 8 沿 AD 对折,使点 C 落在点 F 处,线段 DF 与 AB 相交于点 E,则BED 等于( ) A120 B108 C72 D36 【答案】B 【解析】根据三角形内角和定理求出C90B54由直角三角形斜边上的中线的性质得出 AD BDCD,利用等腰三角形的性质求出BADB36,DACC54,利用三角形内角和定 理求出ADC180DACC72再根据折叠的性质得出ADFADC72,然后根据三 角形外角的性质得出BEDBAD+ADF108 在 RtABC 中,BAC90,
13、B36, C90B54 AD 是斜边 BC 上的中线, ADBDCD, BADB36,DACC54, ADC180DACC72 将ACD 沿 AD 对折,使点 C 落在点 F 处, ADFADC72, BEDBAD+ADF36+72108 二、填空题二、填空题 6.(2019湖南怀化湖南怀化)若等腰三角形的一个底角为 72,则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36 【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论 等腰三角形的一个底角为 72, 等腰三角形的顶角180727236 7.(2019湖南邵阳湖南邵阳)如图,将等边AOB 放在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(4,0) ,点
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