专题12 二次函数(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)
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1、 1 专题专题 12 12 二次函数二次函数 1二次函数的概念:一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a0,a、b、 c 为常数), 则称 y 为 x 的二次函数。抛物线)0,( 2 acbacbxaxy是常数,叫做二次函数的一般式。 2.二次函数 y=ax 2 +bx+c(a0)的图像与性质 (1)对称轴: 2 b x a (2)顶点坐标: 2 4 (,) 24 bacb aa (3)与 y 轴交点坐标(0,c) (4)增减性: 当 a0 时,对称轴左边,y 随 x 增大而减小;对称轴右边,y 随 x 增大而增大; 当 a0 时,抛物线的开口向上;当 a
2、0 时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与 x 轴有两个交点; 2 4bac=0 时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与 x 轴有一个交点; 2 4bac0),点F(0,p),直线l:yp,已知抛物线上的点到点F的距离与到 直线 l 的距离相等,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AA1l,BB1l,垂足分别为 A1,B1,连接 A1F,B1F,A1O,B1O,若 A1Fa,B1Fb,则A1OB1的面积_(只用 a,b 表示). 【答案】【答案】 4 ab 【解析】【解析】先由边相等得到A1FB190,进而得到 A1B1的长度,由等面积法得到点 F 到 A1B1的
3、距离,进而得 到A1OB1的高,求出三角形面积. 设Ax,则B180 x,由题可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA1 180 2 x ,BFB1 2 x ,所以 A1FB190,所以A1FB1是直角三角形,A1B1 22 ab,所以点F到A1B1的距离为 22 ab ab ,因为点F(0,p), 直线 l:yp,A1OB1的高为 22 2 ab ab ,所以A1OB1的面积 1 2 22 ab 22 2 ab ab 4 ab 10.(2019 江苏镇江)江苏镇江)已知抛物线 yax24ax4a1(a0)过点 A(m,3),B(n,3)两点,若线段 AB 的 长不大于 4,则代数式 a2a1
4、 的最小值是 【答案答案】 7 4 【解析】【解析】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据线段 AB 的长不大于 4,求出 a 的取值范围,再利 用二次函数的增减性求代数式 a2a1 的最小值 yax24ax4a1a(x2)21, 该抛物线的顶点坐标为(2,1),对称轴为直线 x2 9 抛物线过点 A(m,3),B(n,3)两点, 当 y3 时,a(x2)213,(x2)2 2 a ,当 a0 时,x2 2 a A(2 2 a ,3),B(2 2 a ,3) AB2 2 a 线段 AB 的长不大于 4, 2 2 a 4 a 1 2 a2a1(a 1 2 )2 3 4 , 当 a 1 2 ,
5、(a2a1)min(a 1 2 )2 3 4 7 4 11.(2019 江苏镇江)江苏镇江)已知抛物线 2 441(0)yaxaxaa过点( ,3)A m,( ,3)B n两点,若线段AB的长不 大于 4,则代数式 2 1aa的最小值是 【答案】【答案】 7 4 【解析】【解析】抛物线 2 441(0)yaxaxaa过点( ,3)A m,( ,3)B n两点, 4 2 22 mna a 线段AB的长不大于 4, 41 3a 1 2 a 2 1aa的最小值为: 2 117 ( )1 224 ; 故答案为 7 4 12.(2019 内蒙古赤峰)内蒙古赤峰)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象
6、如图所示,下列结论:b0;ab+c 0;一元二次方程 ax2+bx+c+10(a0)有两个不相等的实数根;当 x1 或 x3 时,y0上述 结论中正确的是 (填上所有正确结论的序号) 10 【答案】【答案】 【解析】【解析】由图可知,对称轴 x1,与 x 轴的一个交点为(3,0) , b2a,与 x 轴另一个交点(1,0) , a0, b0; 错误; 当 x1 时,y0, ab+c0; 正确; 一元二次方程 ax2+bx+c+10 可以看作函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点, 由图象可知函数 yax2+bx+c 与 y1 有两个不同的交点, 一元二次方程 ax2+bx+c+10(a0)
7、有两个不相等的实数根; 正确; 由图象可知,y0 时,x1 或 x3 正确; 故答案为 三、解答题三、解答题 13.(2019 北京市)北京市)在平面直角坐标系xOy中,抛物线 2 1 yaxbx a =+- 与y轴交于点 A,将点 A 向右平移 2 个单位长度,得到点 B,点 B 在抛物线上 (1)求点 B 的坐标(用含a的式子表示) ; (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点 11 ( ,) 2 P a - , (2,2)Q 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围 11 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】先求出 A 点的坐标为 1 0, a ,由平移
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