专题11 图形运动中的有关函数关系问题 -突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

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1、 1 【类型综述】 图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题 计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行 计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似 比的平方 前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单 【方法揭秘】 一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何值时） ，S 取得最 大值或最小值 关于面积的最值问题，有许多经典的结论 例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大 例 2，面积一定的矩形，当

2、正方形时，周长最小 例 3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆 例 4，如图 1，锐角ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y，ADx，当点 D 是 AB 的中点时，面积 y 最大 例 5，如图 2，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点，当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时，PAB 的面积 最大 例 6，如图 3，ABC 中，A 和对边 BC 是确定的，当 ABAC 时，ABC 的面积最大 图 1 图 2 图 3 【典例分析】 例 1 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析

3、式及顶点 M 的坐标； 来源:Z.X.X.K （2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 2 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1， y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运 动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两

4、点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、 x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不 存在，请说明理由 图 1 图 2 思路点拨 1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注意平移过程中梯 形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此 本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题

5、的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹 角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴 的上方 满分解答 3 当 S=36 时， 21 21 14, 2. xx xx 解得 1 2 6, 8. x x 此时点 A1的坐标为（6，3） 图 3 图 4 考点伸展 第 （3） 题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4， 假如存在， 说理过程相同， 求得的 t 的值也是相同的 事 实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3 例 2 如图 1，抛

6、物线 yax2bxc（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 1 (,) 16 a两点， 点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2) （1）求 a、b、c 的值； （2）求证：在点 P运动的过程中，P 始终与 x 轴相交； （3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标 图 1 4 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长 MN4 是定值 2等腰三角形 AMN 存在三种情况，其中 MAMN 和 NANM 两种情况时，点 P 的纵坐标是相等的

7、满分解答 （3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN 在 RtPMH 中， 224 1 4 16 PMPAx， 224 11 () 416 PHxx，所以 MH24 所以 MH2因此 MN4，为定值 等腰AMN 存在三种情况： 如图 3，当 AMAN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中，OA2，AM4，所以 OM2 3 此时 xOH2 32所以点 P 的纵坐标为 222 11 (2 32)( 31)42 3 44 x 如图 5，当 NANM 时，点 P 的纵坐标为也为42 3 5 图

8、4 图 5 考点伸展 例 3 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度， 沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过 程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶

9、点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 6 思路点拨 1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题 2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动时，高是定值 4，最 大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能 3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况 满分解答 （ 2 ） 如 图 2 ， 当 P 在 OC 上 运 动 时 ， 0t 4 由 8 APRACPPORCORA SSSS 梯形 ， 得 111 3+7

10、) 44 (4)(7)8 222 tttt （整理，得 2 8120tt解得 t2 或 t6（舍去） 如图 3， 当 P 在 CA 上运动时，APR 的最大面积为 6 因此，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8 图 2 图 3 图 4 我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4 如图 1，在AOB 中，B45 ，AOB45 ，OB7，4 2AB ，所以 OBAB因此OABAOB B 如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ，所以 PQ/x 轴 因此AQP45 保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQAQP 的情况 此时点 A 在 PQ 的垂直平

11、分线上，OR2CA6所以 BR1，t1 我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t7 在APQ 中， 3 cos 5 A为定值，7APt， 5520 333 AQOAOQOAORt 如图 5，当 APAQ 时，解方程 520 7 33 tt ，得 41 8 t 7 如图 6，当 QPQA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程7 2(7)(4)ttt ，得 5t 如 7， 当 PAPQ 时， 那么 1 2 cos AQ A AP 因此 2cosAQAPA 解方程 5203 2(7) 335 tt， 得 226 43 t 综上所述，t1 或 41 8 或 5 或 2

12、26 43 时，APQ 是等腰三角形 图 5 图 6 图 7 考点伸展 当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用 2cosAPAQA来求解 例 4 如图 1，在 RtABC 中，ACB90 ，AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ， 联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 SCEFSCAF的值； （2）设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长 图 1 思路点拨 1第（1）题中的CEF 和CAF

13、是同高三角形，面积比等于底边的比 2第（2）题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形 3第（3）题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论 满分解答 （1）如图 2，由 CE/AB，得 3 13 EFCE AFBA 8 图 2 由于CEF 与CAF 是同高三角形， 所以 SCEFSCAF313 （2）如图 3，延长 AG 交射线 CD 于 M 由 CM/AB，得2 CMCG ABBG 所以 CM2AB26 由 CM/AB，得EMABAM 又因为 AM 平分BAE，所以BAMEAM 所以EMAEAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4 所以FAGB所以GABB所以 GAGB 作 GHA

14、H，那么 BHAH13 2 在 RtGBH 中，由 cosB BH BG ，得 BG13 2 12 13 169 24 9 图 5 图 6 考点伸展 又因为CPE180 (13)，所以132(45)所以124 所以24B所以GABB所以 GAGB 图 7 图 8 来源: 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 22 15 32 44 mm yxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和 点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上 （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，

15、使得 EDPE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随 之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向 10 点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的 垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三 角形 QMN（当点 Q 运动时，点 M、

16、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一 条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值 图 1 思路点拨 1这个题目最大的障碍，莫过于无图了 2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t 的式子表示这些线段的长 3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长 4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于 t 的方程就可以求解了 满分解答 如图 3， 当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上， PQC 是等腰直角三角形， PQPD 此时1034tt 解 得 10 7 t 11 图 1 图 2

17、 图 3 考点伸展 在本题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t 的值 如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切， 10 3 t 如图 6，当两圆外切时， 3020 2t 图 4 图 5 图 6 【变式训练】 一、解答题（本大题共 20 题） 1如图所示，已知抛物线 yx2+bx+c与 x 轴相交于 A、B两点，且点 A的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C，对称轴直线 x2 与 x 轴相交于点 D，点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒 1 个单位长度的速度 从抛物线的顶点 E 向下运动，设点 P运动的时间为 t（s） （1）点 B 的坐标为 ，

18、抛物线的解析式是 ； （2）求当 t为何值时，PAC 的周长最小？ （3）当 t为何值时，PAC是以 AC 为腰的等腰三角形？ 12 【答案】 （1） （3，0） ，yx2+4x3； （2）t2； （3）t4或 4+或 4. 【解析】 【分析】 （1）把 A点坐标与对称轴 x=1代入解析式即可求出 b，c的值，即可求出解析式,故求出 B 点坐标； （2）由 图可知，AC是定长，故只要求出 PA+PC最小时，则PAC的周长最小，又点 A关于对称轴 x=2的对称点是 点 B，故连接 BC与抛物线对称轴的交点即为 P 点，此时 PA+PC 最小，则求出直线 BC 的解析式与 x=2的交 点即为 P

19、点坐标继而求出 t的值；（3） 根据 AC为腰可分两种情况， CPAC，可作图， 根据 ACCP， CF2，利用勾股定理可求出 PF的长，继而求出时间 t，注意还要要分两种情况，ACAP，可作图，利 用 RtOACRtDAP，得出 DP=CO=3，故而求出 EP 的长，即可求出时间 t. 【详解】 （2）如图： 13 当 x2 时，y1 点 P（2，1） t2 （3）若 CPAC时，如图：过点 C 作 CFED于点 F 14 DP3 EP4 t1 4+，t2 4 若点 ACAP时，如图 点 A（1，0） ，点 D（2，0） OAAD1，且 ACAP RtOACRtDAP（HL） OCDP3 E

20、P4 来源:Z （2）写出时,y与 x 之间的关系式； 31 （3）当 y=12 时，求 x的值； （4）当 P 在线段 BC上运动时，是否存在点 P 使得APD 的周长最小，若存在，求出此时APD的度数， 若不存在，请说明理由 【答案】 （1）AB=6cm，BC=12cm； （2）y=12x； （3）x=1或 11； （4）存在，此时APD =90 【解析】分析： （1）根据函数图象可得从 A 到 B 共用了 3 秒，从 B 到 C 用了 6 秒，速度为 2cm/s,则可计算 出 AB、BC 的长度； （2）由三角形面积公式可得: ，APD的面积=和 AP2x 可得出 y与 x 之间的关系式

21、； （3）分情况讨论，当点 P 在 AB 和 CD 上时，求得 x 的值即可; （4）作 A 关于直线 BC 的对称点 A，连接 AD 与 BC 交于点 P，根据两边之和大于第三边可知 AD 最小， 即APD 的周长最小，求出APD=A+BAP=90 详解： （2）如图所示： 当时,点 P 在线段 AB 上，AP2x, SADP=. （3）如图所示： 分两种情况： 当 P 在 AB 上时，如图所示，当 y=3 时，3=3x，x=1， 当 P 在 CD 上时，如图所示，则 AB+BC+CP=t， 32 PD=3+3+6-t=12-t， y= PDAD= 6 （12-t）=3（12-t） ， 当

22、y=3 时，3=3（12-t） ， t=11， 综上所述，当 y=3 时，x 的值是 1 秒或 11 秒； APD=A+BAP=90 11如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，A(3，0)，B(2，0)，C为 y轴正半轴上一点，且 BC=4. (1)求OBC的度数； (2)如图 2，点 P 从点 A出发，沿射线 AB 方向运动，同时点 Q在边 BC上从点 B 向点 C运动，在运动过程 中： 33 若点 P 的速度为每秒 2个单位长度，点 Q 的速度为每秒 1个单位长度，运动时间为 t秒，已知PQB是直 角三角形，求 t的值； 若点 P，Q的运动路程分别是 a，b，已知PQB是等腰三角形时，求

23、a与 b 满足的数量关系. 【答案】 （1）OBC=60 ； （2） 或 2；当 a5 时，a+b=5；当 a5 时，ab=5 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形性质可得OBC=60 ；(2)分三种情况分析图形可能的结果，再根据直角三角形 的特殊边关系推出结果(300角所对直角边等于斜边的一半)； （3）分两种情况分析图形可能的结果，再根据 等腰三角形的特殊边关系推出结果（等腰三角形两腰相等）. 【详解】 （1）如图 1： 在 OA上取一点 D，使得 OD=OB，连接 CD，则 BD=2OB=4， COBD， CD=CB=4， CD=CB=BD， DBC是等边三角形， OBC=60 ； 3

24、4 ）当QPB=90 时，如图 3： OBC=60 ， BQP=30 ， PB=， ，解得：t=2； 如图 4： 当 a5 时， AP=a，BQ=b， BP=5a， PQB是等腰三角形，OBC=60 ， PQB是等边三角形，b=5a，即 a+b=5， 如图 5：当 a5 时， AP=a，BQ=b， BP=a5， 35 PQB是等腰三角形，QBP=120 ， BP=BQ， a5=b，即 ab=5. 故正确答案为： （1）OBC=60 ； （2） 或 2；当 a5时，a+b=5；当 a5时，ab=5. 12如图，在 RtABC 中，C=90 ，A=30 ，AB=8，点 P 从点 A 出发，沿折线

25、ABBC 向终点 C 运动， 在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C 出发， 沿 CA 方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止设点 P 运 动的时间为 t 秒 （1）求线段 AQ 的长； （用含 t 的代数式表示） （2）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值； （3）设APQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值 【答案】 （1）4t； （2）当点 P 在 AB 边上运

26、动时，PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 或 ； （3）S 与 t 的函数关系式为：S= ； （4）t 的值为 或 【解析】分析： （1）根据勾股定理求出 AC 的长，然后由 AQ=AC-CQ 求解即可； （2）当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与ABC 的一边垂直，有三种情况：当 Q 在 C 处，P 在 A 处时，PQ BC；当 PQAB 时；当 PQAC 时；分别求解即可； （3）当 P 在 AB 边上时，即 0t1，作 PGAC 于 G，或当 P 在边 BC 上时，即 1t3，分别根据三角形 36 的面积求函数的解析式即可； （4） 当APQ是以PQ为腰的等腰三角形

27、时， 有两种情况： 当P 在边AB上时， 作PGAC于G， 则AG=GQ， 列方程求解；当 P 在边 AC 上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解. 详解： （1）如图 1， （2）当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与ABC 的一边垂直，有三种情况： 当 Q 在 C 处，P 在 A 处时，PQBC，此时 t=0； 当 PQAB 时，如图 2， AQ=4t，AP=8t，A=30 ， cos30 =， ， t=； 当 PQAC 时，如图 3， 37 （3）分两种情况： 当 P 在 AB 边上时，即 0t1，如图 4，作 PGAC 于 G， A=30 ，AP=8t，AGP=90 ， PG=4t，

28、SAPQ= AQPG= （4 t）4t=2t2+8t； 当 P 在边 BC 上时，即 1t3，如图 5， 38 （4）当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况： 当 P 在边 AB 上时，如图 6， AP=PQ，作 PGAC 于 G，则 AG=GQ， A=30 ，AP=8t，AGP=90 ， PG=4t， AG=4t， 由 AQ=2AG 得：4t=8t，t= ， 当 P 在边 AC 上时，如图 7，AQ=PQ， 39 13 （本题满分 10 分） 如图， 矩形 AOCB 的顶点 A、 C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上， 线段 OA、 OC 的长度满足方程|x-15|+=0(

29、OB OC)，直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点，连接 BN将BCN 沿直线 BN 折叠，点 C 恰好落 在直线 MN 上的点 D 处，且 tanCBD=. 求点 B 的坐标 求直线 BN 的解析式 将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移， 求直线 BN 扫过矩形 A OCB 的面积 S 关于运动 的时间 t（0t13）的函数关系式. 【答案】 （1）B（15，13） ； （2）直线 BN 的解析式为 y=x+8； （3）S= 【解析】 试题分析： （1）由非负数的性质可求得 x、y 的值，则可求得 B 点坐标； （2） 过 D 作 EFOA 于

30、点 E， 交 CB 于点 F， 由条件可求得 D 点坐标， 且可求得， 结合 DEON， 利用平行线分线段成比例可求得 OM 和 ON 的长，则可求得 N 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BN 的 解析式； （3） 设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N，交 AB 于点 B，当点 N在 x 轴上方时， 可知 S 即为BNNB的面积， 当 N在 y 轴的负半轴上时，可用 t 表示出直线 BN的解析式，设交 x 轴于点 G，可用 t 表示出 G 点坐标， 由 S=S四边形BNNBSOGN，可分别得到 S 与 t 的函数关系式 40 （2）如图 1，过 D 作 EFOA 于点 E，交 CB 于点

31、F， 由折叠的性质可知 BD=BC=15，BDN=BCN=90 ， tanCBD=， ，且 BF2+DF2=BD2=152，解得 BF=12，DF=9， CF=OE=1512=3，DE=EFDF=139=4， CND+CBD=360 90 90 =180 ，且ONM+CND=180 ， ONM=CBD， ， 41 （3）设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N，交 AB 于点 B， 当点 N在 x 轴上方，即 0t8 时，如图 2， 由题意可知四边形 BNNB为平行四边形，且 NN=t， S=NNOA=15t； 当点 N在 y 轴负半轴上，即 8t13 时，设直线 BN交 x 轴于点 G，如图

32、3， NN=t， 可设直线 BN解析式为 y=x+8t， 42 考点：一次函数综合题 14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点， 点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明 理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 【答案】 （1）抛物线解析式为 y=x23x4； （2）存在满足条件的 P 点，其坐标为（ 317 2 ，2） （3）

33、P 点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8 【解析】 试题分析： （1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点 P 在线 段 OC 的垂直平分线上，则可求得 P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标； （3）过 P 作 PEx 轴， 43 抛物线解析式为 y=x23x4； （2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1， （3）点 P 在抛物线上，可设 P（t，t23t4） ， 过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2， B（4，0） ，C（0，4） ，直线 BC

34、 解析式为 y=x4，F（t，t4） ， 44 考点：二次函数综合题 15.如图，M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析 式为：y=x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点 D（2，0）和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线 l 是M 的切线； （3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样 的点 P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值；若不存在，请说明 理由 【答

35、案】 （1）y= 2 9 x2 4 9 x+16 9 （2）证明见解析（3） 5041 5120 【解析】 2 9 x2 4 9 x+16 9 ），则 F（x， 1 2 x+4）然后可得到 PF 与 x 的函数关系式，最后利用二次函数的性质 求解即可 45 试题解析： （1）设抛物线的解析式为 y=a（x2） （x+4），将点 M 的坐标代入得：9a=2，解得：a= 2 9 抛物线的解析式为 y= 2 9 x2 4 9 x+ 16 9 （2）连接 AM，过点 M 作 MGAD，垂足为 G （3）PFE+FPE=90 ，FBD+PFE=90 ，来源:Z*xx*k.Com FPE=FBD tanF

36、PE= 1 2 PF：PE：EF= 5：2：1 46 P（ 1 8 ， 55 32 ） PEF 的面积的最小值为= 1 5 （ 71 32 ）2= 5041 5120 考点：二次函数综合题 16.如图在平面直角坐标系中，直线 3 3 4 yx 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P、Q 同时从点 A 出 发，运动时间为 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每 秒 5 个单位长度.以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作Q. （1）求证：直线 AB 是Q 的切线； （2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0）,作直线 A

37、B 的垂线 CM，垂足为 M，若 CM 与Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与Q 同时相切，若存在，请直接写出 此时点 C 的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析（2）m=4 35 4 t 或 m=4 5 4 t（3）存在， （ 3 8 ，0）或（ 27 8 ，0）或（ 27 2 ， 0）或（ 3 2 ，0） 【解析】 47 （3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件 试题解析： （1）如图 1 中，连接 QP 来源:Zxxk.Com 在 RtAOB 中，OA=

38、4，OB=3， AB= 22 OBOA =5， AP=4t，AQ=5t， 4 5 APOA AQAB ， PAQ=BAO， PAQBAO， APQ=AOB=90 ， QPAB， AB 是O 的切线 （2）如图 2 中，当直线 CM 在O 的左侧与Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形 48 OC+AQCQ=4， m+5t15 4 t=4， m=4 5 4 t （3）存在理由如下： 如图 4 中，当Q 在 y 则的右侧与 y 轴相切时，3t+5t=4，t= 1 2 ， 由（2）可知，m= 3 8 或 27 8 49 综上所述，满足条件的点 C 的坐标为（ 3 8 ，0）或（ 27

39、 8 ，0）或（ 27 2 ，0）或（ 3 2 ，0） 考点：一次函数综合题 17.如图，直线 y= 3 3 x+ 3分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，ACB=90 ，抛物线 y=ax2+bx+ 3经过 A，B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3） 点 M 是直线BC上方抛物线上的一点， 过点 M作 MHBC 于点H， 作MDy轴交 BC 于点 D， 求DMH 周长的最大值 【答案】 （1）（1，0）（2）y= 3 3 x2+ 2 3 3 x+ 3 （3） 9 3+9 8 【解析】 50 性质可求得其最大值 （2）抛物线 y=ax

40、2+bx+ 3经过 A，B 两点， 30 9330 ab ab ，解得 3 3 2 3 3 a b ， 抛物线解析式为 y= 3 3 x2+ 2 3 3 x+ 3； 51 DM= 3 3 t2+ 2 3 3 t+ 3（ 3 3 t+ 3）= 3 3 t2+ 3t= 3 3 （t 3 2 ）2+ 3 3 4 ， 当 t= 3 2 时，DM 有最大值，最大值为 3 3 4 ， 此时 3+ 3 2 DM= 3+ 3 2 3 3 4 = 9 3+9 8 ， 即DMH 周长的最大值为 9 3+9 8 考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4 方程思想 18.如图，在平面直角坐

41、标系中，抛物线 2 yaxbxc（a0）与 y 轴交与点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x=1 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在 线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动， 设MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值； （3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使MBN 为直角三角形？若存在，求

42、出 t 值；若不存在， 请说明理由 52 【答案】 （1） 2 33 3 84 yxx ； （2）S= 2 99 105 tt，运动 1 秒使PBQ 的面积最大，最大面积是 9 10 ； （3）t= 24 17 或 t= 30 19 【解析】 （4，0） 、点 C（0，3） ，分别代入 2 yaxbxc（a0） ，得： 4230 16430 ab ab ，解得： 3 8 3 4 3 a b c ，所 以该抛物线的解析式为： 2 33 3 84 yxx ； （2）设运动时间为 t 秒，则 AM=3t，BN=t，MB=63t由题意得，点 C 的坐标为（0，3） 在 RtBOC 中， BC= 22

43、34 =5 如图 1， 过点 N 作 NHAB 于点 H， NHCO， BHNBOC， HNBN OCBC ， 即 35 HNt ，HN= 3 5 t，SMBN= 1 2 MBHN= 1 2 （63t） 3 5 t，即 S= 2 99 105 tt = 2 99 (1) 1010 t， 53 综上所述：t= 24 17 或 t= 30 19 时，MBN 为直角三角形 考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题 19.已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形， 4,3OAOC.动点P从点C出 发，沿射线CB方向以每秒 2 个单位长度的速

44、度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每 秒 1 个单位长度的速度运动.设点P、点Q的运动时间为 t s. （1）当1ts时，求经过点, ,O P A 三点的抛物线的解析式； （2）当2ts时，求tanQPA的值； （3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且2BMAM时，求 t s的值； （4）连接CQ，当点,P Q在运动过程中，记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与的函数关 54 系式 【答案】 （1） 2 3 3 4 yxx （2） 2 3 （3）t=3（4） 3 (02 24 =324(2 24 (4 tt St t t t ） t4) ） 【解析】 P 点的坐标为（

45、2，3） 设经过 O、P、A 三点的抛物线的解析式为 y=ax（x-4） 将 P（2，3）代入解析式中，则有 2 （2-4）a=3 a=- 3 4 2 33 (4)3 44 yx xxx 依题意有 CP=2t，OQ=t BP=2t-4，AQ=4-t 55 CBOA BMPAMQ 2 BPBM AQAM BP=2AM，即 2t-4=2（4-t） 解得 t=3 （2）当 0t2 时，S= 1 =2t 3=3t 2 CPQ S ； 当 2t4 设线段 AB 与线段 PQ 相较于点 D，过点 Q 作 QNCP 于点 N 则BDPNQP， BDBP NQNP 来源:ZXXK 当 t4 时，设线段 AB

46、与 CQ 相交于点 M，过点 Q 作 QNCP 于点 N 则CBMCNQ 56 考点：二次函数综合题 20.如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y 轴分别相交于 M（4，0） ，N（0， 3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D （1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3） 设抛物线交 x 轴于 A， B 两点， 在抛物线上是否存在点 Q， 使得 S四边形OPMN=8SQAB， 且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) CD= 3 2 ， P（2，1） ；(2) y=x24x+3；(3) 存在满足条件的点 Q，其坐标为（2，1） 试题分析： （1）连接 OC，由勾股定理可求得 MN 的长，则可求得 OC 的长，由垂径定理可求得 OD 的长， 在 RtOCD 中，可求得 CD 的长，则可求得 PD 的长，可求得 P 点坐标； （2）可设抛物线的解析式为顶点 57 式， 再把 N 点坐标代入可求