专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题 -突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)
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1、 1 【类型综述】 图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题来源:ZXXK 产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系还有一种不常见的,就 是线段全长等于部分线段之和由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例 一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域关 键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错 【方法揭秘】 由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用 类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的
2、,求角的对边如图 1,已知点 A 的坐标为(3, 4),点 B 是 x 轴 正半轴上的一个动点,设 OBx,ABy,那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理,就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 类型二,图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示,AB5,点 O 沿直线 EF 翻折后,点 O 的对应点 D 落在 AB 边上,设 ADx,OEy,那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 图 1 图 2 【典例分析】 例 1 如图 1,在 RtABC 中,BAC90 ,B60 ,BC16cm,AD 是斜边 BC 上的高,垂足为 D,BE 1cm
3、,点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动,点 N 从点 E 出发,与点 M 同时同方向以相同的 速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点 D 时停止运动,点 N 到达点 C 时停止运 动设运动时间为 t(s) (1)当 t 为何值时,点 G 刚好落在线段 AD 上? 2 (2)设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时,求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围; (3)设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P,连结 DP,当 t 为何值时,CPD 是等
4、腰三角 形? 图 1 思路点拨 1用含 t 的式子把直线 BC 上的线段长都表示出来 2重叠部分的图形是正方形,临界时刻是点 H 落在 AB 上,和点 G 落在 AC 上 3等腰三角形 CPD 不存在 DPDC 的情况,因为以 DC 为半径的圆 D 与线段 AC 只有一个交点 满分解答 图 2 图 3 由 AD4 3,得 3 (3)(3)4 3 3 tt解得6 33t 所以 4t6 33 3 图 4 图 5 (3)等腰三角形 CPD 存在两种情况: 如图 6,当 PCPD 时,点 P 在 DC 的垂直平分线上,N 是 DC 的中点 此时 t369 如图 7,当 CPCD12 时,在 RtCPN
5、 中,由 cos30 3 2 CN CP ,得6 3CN 此时 t156 3 图 6 图 7 考点伸展 (1)求 A、B、C 三点的坐标和曲线 y2的表达式; (2)过点 C 作 CD/x 轴交曲线 y1于点 D,连结 AD,在曲线 y2上有一点 M,使得四边形 ACDM 为筝形(如 果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分,这样的四边形为筝形) ,请求出点 M 的横坐标; (3) 设直线 CM 与x轴交于点 N, 试问在线段 MN 下方的曲线 y2上是否存在一点 P, 使PMN 的面积最大? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 4 图 1 思路点拨 1由 A、C、D 的坐
6、标可以得到ACD 是底角为 30 的等腰三角形,于是可知直线 MN(直线 CN)与 y 轴的 夹角为 30 2过点 P 作 x 轴的垂线交 MN 于 E,那么PMN 分割为有公共底边 PE 的两个三角形,这两个三角形的高 的和为定值 满分解答 y2上因此只存在 MC 垂直平分 AD 的情况 图 2 图 3 如图 2,如图 3,过点 A、M 分别作 x 轴的垂线,与直线 CD 分别交于点 G、H,那么 5 ADGCMH 由于 tanADG AG DG 3 3 ,所以ADC30 因此3MHCH 设 M 2 310 3 ( ,+7 3) 33 xxx,那么 2 310 3 (+7 3)(3)3 33
7、 xxx 整理,得 x213x240解得 1373 2 x 所以点 M 的横坐标为 1373 2 x 设P 2 310 3 ( ,+7 3) 33 mmm,E( , 33)mm,那么 PE 2 310 3 ( 33)(+7 3) 33 mmm 2 313 3 8 3 33 mm 2 31373 3 3212 m 所以当 13 2 m 时,PE取得最大值,PMN面积最大此时P 137 3 (,) 212 图4 图5 考点伸展 第(3)题也可以这样思考: 如图5,由于MN是定值,因此点P到MN的距离最大时,PMN的面积也最大 过点P作MN的平行线,当这条直线与抛物线y2只有一个交点时,两条平行线间
8、的距离最大,也就是说方程组 6 2 3 3 (1021) 3 yxb yxx , 只有一组解,即0解得 13 2 x 例 3 如图 1,ABC 为等边三角形,边长为 a,点 F 在 BC 边上,DFAB,EFAC,垂足分别为 D、E (1)求证:BDFCEF; (2)若 a4,设 BFm,四边形 ADFE 面积为 S,求出 S 与 m 之间的函数关系,并探究当 m 为何值时 S 取得最大值; (3)已知 A、D、F、E 四点共圆,已知 tanEDF 3 2 ,求此圆的直径(用含 a 的式子表示) 思路点拨 1用割补法求四边形 ADFE 的面积比较简单 2当 A、D、F、E 四点共圆时,由于ED
9、FEAF,那么在ACF 中,两角及夹边就是确定的,可以解 这个三角形 满分解答 在 RtCEF 中,C60 ,CF4m,所以 1 (4) 2 CEm, 3 (4) 2 FEm 所以 S CEF 1 2 CE FE 2 3 (4) 8 m 7 在 RtECF 中,C60 ,所以3 EF EC 因此 ECx来源:Zxxk.Com 由 ACEAECa,得 2xxa所以 x 1 3 a 所以在 RtEAF 中,EF 3 3 a,EA 2 3 a,由勾股定理,得圆的直径 AF 7 3 a 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第(2)题也可以求ADF 与AEF 的面积和 由于 1 2 BDm, 3 2 FD
10、m,所以 AD 1 4 2 m,S ADF 3 (8) 8 mm 由于 1 (4) 2 CEm, 3 (4) 2 FEm,所以 AE 1 2 2 m,S AEF 2 3 (16) 8 m 因此 SS ADF S AEF 2 33 (8)(16) 88 mmm 2 3 32 3 4 mm 例 4 如图 1,图 2,已知四边形 ABCD 为正方形,在射线 AC 上有一动点 P,作 PEAD(或延长线)于 E, 作 PFDC(或延长线)于 F,作射线 BP 交 EF 于 G (1)在图 1 中,正方形 ABCD 的边长为 2,四边形 ABFE 的面积为 y,设 APx,求 y 关于x的函数表达 8
11、式; (2)GBEF 对于图 1,图 2 都是成立的,请任选一图形给出证明; (3)请根据图 2 证明:FGCPFB 图 1 图 2 思路点拨 1四边形 ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到 2画直线 EP、FP,把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形 满分解答 4 22 (2) 42 xx 2 (2) 2 x 2 1 +2 4 x 图 3 图 4 (2)如图 4,因为 tanEFP PE PF ,tanPBN NP NB ,且 PENP,PFNB,所以 EFPPBN 又因为12,1PBN90 ,所以2EFP90 所以 GBEF (3)如图 5,由于 GBEF,BCF90 ,所以
12、B、C、G、F 四点共圆 所以FCGPBF,CGBCFB 9 又因为CGFCGB90 ,BFPCFB90 ,所以CGFBFP 所以FGCPFB 图 5 图 6 图 7 考点伸展 如图 6, 由于 tanEFPtanPBN, 所以EFPPBN 又因为PBN190 ,所以EFP190 因此这种情况下,依然有 BGEF 第(1)题还有更简便的割补办法:如图 7,连结 EN 由于 S四边形NBFES ENF S BNF 11 ()2 22 NF EPMPNF EM, S AEN 22 11 44 APx,所以 yS四边形ABFES四边形NBFES AEN 2 1 +2 4 x 例 5 已知抛物线 yx
13、2(2m1)xm21 经过坐标原点,且当0 时,y 随 x 的增大而减小。 (1)求抛物线的解析式,并写出 y 0 时,对应 x 的取值范围; (2)设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点,过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D,再作 ABx 轴于点 B, DCx 轴于点 C. 当 BC1 时,直接写出矩形 ABCD 的周长; 设动点 A 的坐标为(a, b),将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围,判断周长是 否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点 A 的坐标;如果不存在,请说明理由 思路点拨 1先用含 a 的式子表示线段 A
14、B、AD 的长,再把 L 表示为 a 的函数关系式 2点 A 与点 D 关于抛物线的对称轴对称,根据对称性,点 A 的位置存在两个情况 满分解答 10 图 1 图 2 图 3 考点伸展 第(2)题的思路是:如图 2,抛物线的对称轴是直线 3 2 x ,当 BC1 时,点 B 的坐标为(1, 0),此时点 A 的横坐标为 1,可以求得 AB2。 第(2)题中,L 随 a 变化的图像如图 4 所示。 图 4 【变式训练】 1如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2ax3a(a0)与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,顶点为 D,直线 DC 与 x 轴相交于点 E 11 (
15、1)当 a=1 时,求抛物线顶点 D 的坐标,OE 等于多少; (2)OE 的长是否与 a 值有关,说明你的理由; (3)设DEO=,4560,求 a 的取值范围; (4)以 DE 为斜边,在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE设 P(m,n) ,直接写出 n 关于 m 的函 数解析式及自变量 m 的取值范围 【答案】 (1) (1,4) ,3; (2)结论:OE 的长与 a 值无关理由见解析; (3)a1; (4)n=m 1(m1) 【解析】 【分析】 (1)求出直线 CD 的解析式即可解决问题; (2)利用参数 a,求出直线 CD 的解析式求出点 E 坐标即可判断; (3)求出落在
16、特殊情形下的 a 的值即可判断; (4)如图,作 PM对称轴于 M,PNAB 于 N两条全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】 解:(1)当 a=1 时,抛物线的解析式为 y=x22x+3, 顶点 D(1,4),C(0,3), 直线 CD 的解析式为 y=x+3, E(3,0) , OE=3, 12 (3)当 =45时,OC=OE=3, 3a=3, a=1, 当 =60时,在 RtOCE 中,OC=OE=3, 3a=3, a=, 45 60 ,a 的取值范围为a1 (4)如图,作 PM对称轴于 M,PNAB 于 N 13 n=m1, 当顶点 D 在 x 轴上时,P(1,2),此时 m 的值
17、1, 抛物线的顶点在第二象限, m1 n=m1(m1) 故答案为:(1)(1,4),3;(2)OE的长与 a值无关;(3)a1;(4)n=m1(m1) 2如图,抛物线与 轴交于, 两点(点 在点 的左侧) ,与 轴交于点 ,且 ,的平分线交 轴于点 ,过点 且垂直于的直线 交 轴于点 ,点 是 轴下方抛 物线上的一个动点,过点 作轴,垂足为 ,交直线于点 (1)求抛物线的解析式; (2)设点 的横坐标为 ,当时,求 的值; (3)当直线为抛物线的对称轴时,以点 为圆心,为半径作,点 为上的一个动点,求 的最小值 14 【答案】 (1)yx2x3; (2); (3) 【解析】 【分析】 对于(1
18、) ,结合已知先求出点 B 和点 C 的坐标,再利用待定系数法求解即可; 对于(2) ,在 RtOAC 中,利用三角函数的知识求出OAC 的度数,再利用角平分线的定义求出OAD 的度数,进而得到点 D 的坐标;接下来求出直线 AD 的解析式,表示出点 P,H,F 的坐标,再利用两点间 的距离公式可完成解答;对于(3) ,首先求出H 的半径,在 HA 上取一点 K,使得 HK=14,此时 K(-, ) ;然后由 HQ2=HK HA,得到QHKAHQ,再利用相似三角形的性质求出 KQ= AQ,进而可得当 E、Q、K 共线时, AQ+EQ 的值最小,据此解答. 【详解】 (1)由题意 A(,0) ,
19、B(3,0) ,C(0,3) ,设抛物线的解析式为 ya(x+3) (x) ,把 C(0,3)代入得到 a,抛物线的解析式为 yx2x3 (2)在 RtAOC中,tanOAC,OAC60 15 (3)如图,PF 是对称轴,F(,0) ,H(,2) AHAE,EAO60 ,EOOA3,E(0,3) C (0, 3) , HC2, AH2FH4, QHCH1, 在 HA上取一点 K, 使得 HK, 此时 K() HQ21,HKHA1,HQ2HKHA, QHKAHQ,QHKAHQ,KQAQ, AQ+QEKQ+EQ,当 E、Q、 K共线时, AQ+QE 的值最小,最小值 3如图 1,抛物线的顶点 A
20、的坐标为(1,4) ,抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点,与 y 轴交于点 E(0,3) (1)求抛物线的表达式; (2)已知点 F(0,3) ,在抛物线的对称轴上是否存在一点 G,使得 EG+FG 最小,如果存在,求出点 G 的坐标;如果不存在,请说明理由 16 (3)如图 2,连接 AB,若点 P 是线段 OE 上的一动点,过点 P 作线段 AB的垂线,分别与线段 AB、抛物线 相交于点 M、N(点 M、N都在抛物线对称轴的右侧) ,当 MN最大时,求PON的面积 【答案】 (1)yx2+2x+3; (2)存在,G(1,0) ; (3)2 【解析】 【分析】 (1)根据顶点式可求得抛物线
21、的表达式; (2)根据轴对称的最短路径问题,作 E 关于对称轴的对称点 E,连接 EF交对称轴于 G,此时 EG+FG 的值最 小,先求 EF的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点 G; (3)如图 2,先利用待定系数法求 AB的解析式,过 N作 NHx 轴于 H,交 AB于 Q,设 N(m,m2+2m+3), 则 Q(m,2m+6)(1m3),表示 NQm2+4m3,证明QMNADB,列比例式可得 MN的表达式, 根据配方法可得当 m=2时,MN 有最大值,证明NGPADB,同理得 PG的长,从而得 OP 的长,根据 三角形的面积公式可得结论,并将 m=2代入计算即可 【详解】 (1)设抛物
22、线的表达式为:ya(x1)2+4, 把(0,3)代入得:3a(01)2+4, a1, 抛物线的表达式为:y(x1)2+4x2+2x+3; (2)存在,如图 1,作 E 关于对称轴的对称点 E,连接 EF交对称轴于 G,此时 EG+FG 的值最小 E(0,3),E(2,3), 设 EF的解析式为 y=kx+b, 把 F(0,3),E(2,3)分别代入,得,解得, 所以 EF的解析式为:y3x3, 当 x1时,y3 130,G(1,0); 17 MN(m2)2 0, 当 m2时,MN有最大值; 过 N 作 NGy轴于 G, GPNABD,NGPADB90 ,NGPADB, ,PGNGm, OPOG
23、PGm2+2m+3mm2m+3, S PON OPGN(m2m+3)m, 当 m2 时,S PON 2(4+3+3)2 18 4如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x2+ x2 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C,直线 l 经过 A,C 两点,连接 BC (1)求直线 l 的解析式; (2)若直线 x=m(m0)与该抛物线在第三象限内交于点 E,与直线 l 交于点 D,连接 OD当 ODAC 时,求线段 DE 的长; (3)取点 G(0,1) ,连接 AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点 P,使BAP=BCOBAG? 若存在,求出点
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