专题08 二次函数与菱形存在型问题-突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)
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1、 1 【典例分析】 例 1 如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 和抛物线交于点 A(-4,0) ,B(0,4) ,且点 B 是抛物线的顶 点 (1)求直线AB 和抛物线的解析式 (2)点 P 是直线上方抛物线上的一点,求当PAB 面积最大时点 P 的坐标 (3)M 是直线 AB 上一动点,在平面直角坐标系内是否存在点 N,使以 O、B、M、N 为顶点的四边形是 菱形?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 思路点拨 (1)设直线的解析式为 y=kx+b,将 A(-4,0) ,B(0,4)代入得到关于 k、b 的方程组,然后解得 k、b 的值即可;设抛物线的解析式为 y=ax2+4
2、,然后将点 A 的坐标代入求得 a 的值即可; (2)过点 P 作 PQx 轴,交 AB 于点 Q设点 P(a, -+4) ,Q(a,a+4) 则 PQ=-a,然后依据三 角形的面积公式列出ABP 的面积与 a 的函数关系式,然后依据二次函数的性质求解即可; (3)先根据题意画出图形,需要注意本题共有 4 种情况,然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以 及特殊锐角三角函数值求解即可 满分解答 抛物线的解析式为 y=- x2+4 2 (2)如图 1 所示,过点 P 作 PQx 轴,交 AB 于点 Q (3)如图 2 所示:延长 MN 交 x 轴与点 C MNOB,OBOC, MNOC 来源:
3、Zxxk.Com OA=OB,AOB=90 , BA0=45 ONAB, NOC=45 OC=ON=4=2,NC=ON=4=2 点 N 的坐标为(2,2) 如图 3 所示:过点 N 作 NCy 轴,垂足为 C 3 OA=OB,AOB=90 , OBA=45 ONAB, NOC=45 OC=ON=4=2,NC=ON=4=2 点 N 的坐标为(-2,-2) 如图 4 所示:连接 MN 交 y 轴与点 C 四边形 BNOM 为菱形,OB=4, BC=OC=2,MC=CN,MNOB 点的纵坐标为 2 将 y=2 代入 y=x+4 得:x+4=2,解得:x=-2, 点 M 的坐标为(-2,2) 点 N
4、的坐标为(2,2) 如图 5 所示: 4 四边形 OBNM 为菱形, NBM=ABO=45 四边形 OBNM 为正方形 点 N 的坐标为(-4,4) 综上所述点 N 的坐标为(,)或(-,-)或(-4,4)或(2,2) 考点:二次函数综合题 例 2 如图,抛物线的图象经过点 A(2,0) ,点 B(4,0) ,点 D(2,4) ,与 y 轴交于点 C,作直线 BC,连接 AC,CD (1)求抛物线的函数表达式; (2)E 是抛物线上的点,求满足ECD=ACO 的点 E 的坐标; (3)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方,点 N 在直线 BC 上,点 P 为第一象限内抛物线上一点,若以点 C
5、, M,N,P 为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长 思路点拨 (1)用待定系数法求出抛物线解析式即可 (2)分点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解 5 即可; (3)分CM 为菱形的边和CM 为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算 满分解答 (3)CM 为菱形的边,如图 2,在第一象限内取点 P,过点 P作 PNy 轴,交 BC 于 N,过点 P作 PMBC,交 y 轴于 M,四边形 CMPN是平行四边形,四 边形 CMPN是菱形, PM=PN, 过点 P作 PQy 轴, 垂足为 Q, OC=OB, BOC=90 , OCB=45 ,
6、 PMC=45,设点 P(m,) ,在 RtPMQ中,PQ=m,PM=m,B(4,0) ,C ( 0 , 4 ) , 直 线 BC 的 解 析 式 为 y= x+4 , PN y 轴 , N ( m , m+4 ) , PN=,m=0(舍)或 m=,菱 形 CMPN的边长为= 6 CM 为菱形的对角线,如图 3,在第一象限内抛物线上取点 P,过点 P 作 PMBC,交 y 轴于点 M,连接 CP,过点 M 作 MNCP,交 BC 于 N,四边形 CPMN 是平行四边形,连接 PN 交 CM 于点 Q,四边形 CPMN 是菱形,PQCM,PCQ=NCQ,OCB=45 ,NCQ=45 ,PCQ=4
7、5 ,CPQ= PCQ=45 ,PQ=CQ,设点 P(n,) ,CQ=n,OQ=n+2,n=0 (舍) ,此种情况不存在,菱形的边长为 考点:1二次函数综合题;2分类讨论;3压轴题 例 3 如图,已知点 A (2,4) 和点 B (1,0)都在抛物线 2 ymx2mx n上. (1)求 m、n; (2)向右平移上述抛物线,记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B,若四边形 A ABB 为菱形, 7 求平移后抛物线的表达式; (3)记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C,试在 x 轴上找一个点 D,使得以点 B、C、D 为顶 点的三角形与ABC 相似. 思路点拨 (1)已
8、知了抛物线图象上 A、B 两点的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,即可求得 m、n 的值; (2) 根据A、 B的坐标, 易求得AB的长; 根据平移的性质知: 四边形A ABB 一定为平行四边形, 若四边形 A ABB 为菱形,那么必须满足 AB=BB,由此可确定平移的距离,根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛 物线解析式; (3)易求得直线 AB的解析式,联立平移后的抛物线对称轴,可得到 C 点的坐标,进而可求 出 AB、BC、AC、BC 的长,在(2)题中已经证得 AB=BB,那么BAC=BBC,即 A、B对应,若以 点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似,可分两种情况考虑:
9、BCD=ABC,此时BCDABC, BDC=ABC,此时BDCABC,根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段,即可求 得不同的 BD 长,进而可求得 D 点的坐标 满分解答 (3)由(2)得:平移后抛物线的对称轴为:x=4, A(2,4) ,B(6,0) ,直线 AB: 1 yx3 2 . 当 x=4 时,y=1,故 C(4,1). AC=3 5,BC=5,BC=10. 由(2)知:AB=BB=5,即BAC=BBC. 若以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似,则: BCD=ABC,则BCDABC,可得: BCBD ABAC ,即 5BD 53 5 ,BD=3,此时 D(3,0)
10、 ; 8 BDC=ABC,则BDCABC,可得: BCB D ACAB 即 5B D 53 5 , 5 BD 3 ,此时 D( 5 3 ,0). 综上所述,存在符合条件的 D 点,且坐标为:D(3,0)或( 5 3 ,0) 考点:1.二次函数综合题;2.平移问题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.勾股定理;5. 菱形的性质;6. 等腰三角形的性质;7.相似三角形的判定和性质;8.分类思想的应用 例 4 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与 轴交于 O 点、A 点,B 为抛物线上一点, C 为 y 轴上一点,连接 BC,且 BC/OA,已知点 O(0,0) ,A(6,0) ,B(3,m) ,
11、AB=. (1)求 B 点坐标及抛物线的解析式., (2)M 是 CB 上一点,过点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E,求 DE 的最大值; (3)坐标平面内是否存在一点 F,使得以 C、B、D、F 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出符合条件的 点 F 坐标;若不存在,请说明理由. 思路点拨 (1)运用勾股定理求出 m 的值,根据题意得点 B 为抛物线的顶点,设设抛物线为,即可 求解; (2)可求,设 E,则 D(,故 DE,从而可得结果; (3)设 F,根据菱形的判定分三种情况进行讨论计算即可得解. 9 满分解答 (1)如图,过点 B 作 BGOA 于 G, (2)可求,设 E,则 D
12、(, DE, 当 x= ,DE 最大= . (3)设 F, 当 CD 为菱形对角线时, 来源:Z。xx。k.Com FDBC, 10 解得(舍去) ,. 当 BD 为菱形对角线时, ,(舍去) 当 BC 为菱形对角线时,D、F 均在 BC 的垂直平分线上,且 FP=PD, 则,则 D(,则 PD=3,则,。 综上所述,满足条件的 F 点共 3 个:,。 例 5 如图,抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其对称轴交抛物线于点 D,交 x 轴于点 E,已知 OB=OC=6 (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标; (2)连接 BD,F 为抛物线上一动点
13、,当FAB=EDB 时,求点 F 的坐标; (3)平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点,以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ,当点 P 在 x 轴上,且 PQ= MN 时,求菱形对角线 MN 的长 11 思路点拨 (1) 利用待定系数法,列方程求二次函数解析式 .(2)利用解析法,FAB=EDB, tanFAG=tanBDE,求出 F 点坐标. (3)分类讨论,当 MN 在 x 轴上方时,在 x 轴下方时分别计算 MN. 详解: 满分解答 (1)OB=OC=6, B(6,0),C(0,-6). , 解得, 抛物线的解析式为. =, 点 D 的坐标为(2,-8). 12 (3)点 P
14、在 x 轴上, 根据菱形的对称性可知点 P 的坐标为(2,0). 如图,当 MN 在 x 轴上方时,设 T 为菱形对角线的交点. PQ= MN, MT=2PT. 设 TP=n,则 MT=2n. M(2+2n,n). 点 M 在抛物线上, ,即. 解得,(舍去). MN=2MT=4n=. 当 MN 在 x 轴下方时,设 TP=n,得 M(2+2n,-n). 13 点 M 在抛物线上, , 即. 解得,(舍去). MN=2MT=4n=. 综上所述,菱形对角线 MN 的长为或. 点睛: 1.求二次函数的解析式 (1)已知二次函数过三个点,利用一般式,yax2bxc().列方程组求二次函数解析式. (
15、2)已知二次函数与 x 轴的两个交点(,利用双根式,y=()求二次函数解 析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,. 2.处理直角坐标系下,二次函数与几何图形问题:第一步要写出每个点的坐标(不能写出来的,可以用字母 表示) ,写已知点坐标的过程中,经常要做坐标轴的垂线,第二步,利用特殊图形的性质和函数的性质,往 往是解决问题的钥匙. 例 6 如图(1), 已知菱形的边长为, 点在 轴负半轴上, 点 在坐标原点, 点的坐标为 (, ) ,抛物线顶点在边上,并经过边的中点 (1)求这条抛物线的函数解析式; (2)点关于直线的对称点是,求点到点的最短距离; (3)如图(2)将菱形以每秒 个单位长度的速
16、度沿轴正方向匀速平移,过点 作于点 , 交抛物线于点 ,连接、设菱形平移的时间为 秒() ,问是否存在这样的 ,使与 相似?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 14 思路点拨 (1)分别求出 AB 中点的坐标,抛物线的顶点坐标,再用待定系数法求抛物线的解析式; (2);判断点 C在以 M 为圆心,长为半径的圆上; (3)DEF90 ,DAF90 ,所以分两种情况讨论,利用相似三角形的对应比成比例列方程求解. 满分解答 (1)由题意得AB的中点坐标为(, 0), 抛物线的顶点坐标为(0, 3), 分别代入yax2b, 得, 解得. 来源:+网 这条抛物线的函数解析式为. (3)如图 2 所
17、示,在 RtBCE 中,BEC90 ,BE3,BC, , C60 ,CBE30 。EC BC,DE. 又ADBC,ADCC180 得ADC180 60 120 , 要使ADF 与DEF 相似,则ADF 中必有一个角为直角,而DAF60 , ADF90 或AFD90 . 15 点睛: 理解点 C 关于直线 ykx3 的对称点 C时, 根据中心对称的性质可知直线 ykx3 与 y 轴的交点(0, 3)是 CC的中点,即点 C在以(0,3)为圆心,为半径的圆上,且当点 A,C,M 在一条直线上时,AC最小, 最小值为 AMMC. 【变式训练】 1 如图, 在平面直角坐标系中, 点 A (, 0) 是
18、 轴上一点, 以 OA 为对角线作菱形 OBAC, 使得60 , 现将抛物线沿直线 OC 平移到,则当抛物线与菱形的 AB 边有公共点时,则 m 的取 值范围是( ) A B C D 【答案】D 【解析】 由题意可得: 16 故选 D。 2直线 1 2 2 yx与y轴交于点 A,与直线 1 2 yx 交于点 B,以 AB 为边向右作菱形 ABCD,点 C 恰与 原点 O 重合,抛物线 2 yxhk的顶点在直线 1 2 yx 上移动,若抛物线与菱形的边 AB、BC 都有 公共点,则h的取值范围是( ) A 1 2 2 h B21h C 3 1 2 h D 1 1 2 h 【答案】A 将 C(0,
19、0)代入 y=(xh) 1 2 h 得:h 1 2 h=0,解得: 1 h=0(舍去), 2 h= 1 2 . 如图 2 所示:当抛物线经过点 B 时。 17 将 B(2,1)代入 y=(xh) 1 2 h 得:(2h) 1 2 h=1,整理得:2h +7h+6=0,解得: 1 h=2, 2 h= 3 2 (舍去). 综上所述,h 的范围是2h 1 2 . 故选 A. 3如图 1,菱形 ABCD 的对角线交于点 O,AC=2BD,点 P 是 AO 上一个动点,过点 P 作 AC 的垂线交菱 形的边于 M,N 两点设 APx,OMN 的面积为 y,表示 y 与 x 的函数关系大致如图 2 所示的
20、抛物线 (1)图 2 所示抛物线的顶点坐标为( , ) ; (2)菱形 ABCD 的周长为 【答案】 ( 1 2 , 1 8 ) ;2 5 【解析】 试题分析: 根据二次函数图形得出抛物线的顶点坐标; 根据函数图形可得 AO=1, 根据 AC=2BD 可得 DO= 1 2 , 则根据 RtAOD 的勾股定理可得 AD= 5 2 ,则菱形的周长为:4 5 2 =2 5 考点:二次函数的应用 4二次函数 2 2 3 yx的图象如图所示,自原点开始依次向上作内角为 60 度、120 度的菱形(其中两个顶点 在抛物线上另两个顶点在 y 轴上,相邻的菱形在 y 轴上有一个公共点) ,则第 2017 个菱
21、形的周长 =_ 18 【答案】8068 【解析】试题解析:设第一个菱形边长为 b, 则第一个菱形在 x 轴正向与函数 2 2 3 yx交点为 3 , 22 b b (因为其边长与 x 轴夹角为30) 代入 2 2 3 yx 得 b=1; 设第二个菱形边长为 c,则其边长与函数交点为 31 ,1 22 cc 代入函数表达式得 c=2, 同理得第三个菱形边长为 3,第 n 个菱形边长为 n,故第 2017 个菱形边长为 2017, 其周长为: 2017 48068. 故答案为: 8068. 5如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的三个顶点 A,B,D 均在抛物线 y=ax24ax+3(a0)
22、上若 点 A 是抛物线的顶点,点 B 是抛物线与 y 轴的交点,则点 D 的坐标为_ 【答案】 (4,3) 【解析】分析:本题根据菱形的性质和抛物线的对称性得出即可. 解析:因为菱形 ABCD 的对角线互相垂直平分,A 是抛物线的顶点,所以点 B 与点 D 关于对称轴对称,因 为点 B 是抛物线与 y 轴的交点,所以 B(0,3),因为对称轴为直线 x=2.所以点 D 的坐标为(4,3). 故答案为(4,3). 6如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,菱形 OABC 的顶点 A(3,4) ,C 在 x 轴的负半轴,抛物 线 y= (x2)2+k 过点 A 19 (1)求 k 的值; (2)
23、若把抛物线 y= (x2)2+k 沿 x 轴向左平移 m 个单位长度,使得平移后的抛物线经过菱形 OABC 的顶点 C试判断点 B 是否落在平移后的抛物线上,并说明理由 【答案】 (1)(2)当 m=5 时,点 B 在平移后的抛物线上;当 m=9 时,点 B 不在平移后的抛物线上 【解析】 试题分析: (1)将点 A 的坐标代入二次函数解析式中,可得出关于 k 的一元一次方程,解方程即可得出结 论; (2)设 AB 与 y 轴交于点 D,结合勾股定理以及菱形的性质找出点 B、C 的坐标,根据二次函数的解析式 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标,再根据平移的性质找出平移后过 C 点的二次函数的解析
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