专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题-突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

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1、 1 【典例分析】 例 1 如图，AD是ABC的外接圆O的直径，点 P在 BC延长线上，且满足PAC=B （1）求证：PA 是O的切线； （2）弦 CEAD交 AB于点 F，若 AFAB=12 ，求 AC 的长 思路点拨 （1）先根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出CAD+D=90 ，再根据同弧所对的 圆周角相等和已知条件等量代换可得CAD+PAC=90 ，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）先判断出B=ACF，进而判断出ABCACF，得出比例式即可得出结论 满分解答 （2）， ， ，来源:Z 当AOBDAB时，BAD=AOB=90 , 【变式训练】 1如图，直线 l1l

2、2，O与 l1和 l2分别相切于点 A和点 B点 M和点 N分别是 l1和 l2上的动点，MN沿 l1和 l2平移O的半径为 1，1=60 有下列结论：MN=；若 MN与O 相切，则 AM=； 若MON=90 ，则 MN与O 相切；l1和 l2的距离为 2，其中正确的有（ ） A4 个 B3个 C2个 D1 个 【答案】B 【解析】 【分析】 首先过点 N作 NCAM于点 C，直线 l1l2，O与 l1和 l2分别相切于点 A和点 B，O 的半径为 1，易求 17 得 MN=，l1和 l2的距离为 2；若MON=90 ，连接 NO并延长交 MA于点 C，易证得 CO=NO， 继而可得即 O 到

3、 MN 的距离等于半径， 可证得 MN与O 相切； 由题意可求得若 MN与O相切， 则 AM= 或 【详解】 如图 1， 如图 3， 若MON=90 ，连接 NO并延长交 MA于点 C，则AOCBON， 故 CO=NO，MONMOM，故 MN上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径故正确； 如图 2， 18 2如图，AB，BC 是O 的弦，B=60 ，点 O 在B 内，点 D 为上的动点，点 M，N，P 分别是 AD， DC，CB 的中点若O的半径为 2，则 PN+MN的长度的最大值是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 OC、OA、BD，作 OHAC于 H首先求

4、出 AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】 解：连接 OC、OA、BD，作 OHAC 于 H 19 【点睛】 本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 3如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交于点 C，A30 ，CD 3，则 AB的值是（ ） A3 B C6 D 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OD，由圆周角定理可得DOC60 ，根据三角函数可求 OD的长，即可求 AB的长 【详解】 连接 OD， 20 【点睛】 本题考查了切线的

5、性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键 4如图，已知 AD30，点 B，C 是 AD的三等分点，分别以 AB、BC、CD为直径作圆，圆心分别为 E、F、 G，AP 切G于点 P，交F于 M、N，则弦 MN的长是_ 【答案】8 【解析】 【分析】来源:ZXXK 连接 PG、MF，过 F 作 FQMN 于点 Q，根据 AP 是G 的切线，可证明AFQAGP，利用相似比 ，可求得 FQ=3，连接 FM，在直角FQM 中根据勾股定理得到 MQ=4，则 MN=8 【详解】 21 FQ= PG=3， 在直角FQM 中，MQ= =4， 则 MN=2MQ=8 故答案为：8 【点

6、睛】 本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边 的比相等 5如图，四边形 ABCD中，ADBC，ABC=90 ，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 先证明ADFCAB，利用相似三角形的性质可得.再证明DEFDBA，利用相似三角形的 性质可得，据此可求出 DF 的值，进而求出 AD的值. 22 【详解】 如图所示，过点 D 作 DFAC于点 F， 在 RtABD 中，. 同弧所对的圆周角相等， DEF=DBA， 又DFE=DAB=90

7、， DEFDBA， ，即， DF=2， AD=2. 故答案为：2. 【点睛】 本题主要了平行线的性质、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判 定与性质是解答本题的关键. 6如图，五边形是边长为 的正五边形，是正五边形的外接圆，过点 作的切线，与 23 、的延长线交分别于点 和 ，延长、相交于点 ，那么的长度是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先证明AG=AF， 由SSS得到OHD与OED全等， 得出ODH=ODE=54 ， 证出B=C=72 ， 设GB=xcm， 由DHBGBD，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出 x 的值，即可得出结果 【详解】 连接

8、DG，如图所示： BC是O的切线， ODBC， BFO=CFO=90 ， 在OHD与OED 中， OHDOED（SSS） ， 24 ODH=ODE=54 ， HDB=EDC=36 ， B=C=72 ， BD=DH=DE=DC=GF， GF= BC， 设 GB=x， BDH=BGD，B=B， DHBGBD， ，即， 整理得：x2-2x-4=0， 解得：x=1（负值舍去） ， AG=GB=1+， AB=2+2； 故答案为：2+2 【点睛】 本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定， 切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解

9、题的关键 7如图，已知在O中，直径 AB4，点 E是 OA上任意一点，过 E 作弦 CDAB，点 F 是上一点，连 接 AF交 CE于点 H，连接 AC，CF，BD，OD. 25 (1)求证：ACHAFC； (2)猜想：AH AF与 AE AB的数量关系，并证明你的猜想； (3)探究：当点 E 位于何处时，S AEC SBOD14？并加以说明 【答案】 （1）详见解析； （2）AH AFAE AB，证明详见解析； （3）当 OE (或 AE )时，S AEC SBOD 14. 【解析】 【分析】 （1）根据垂径定理得到弧 AC=弧 AD，再根据圆周角定理的推论得到F=ACH，根据两个角对应相等

10、证 明两个三角形相似； （2）连接 BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质 证明； （3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为 AE：OB，进一步转化为 AE：AO 的比，再根 据半径的长求得 OE的长 【详解】 (3)解：当 OE (或 AE )时，S AEC SBOD14.直线 ABCD，CEED，又S AEC AE CE， SBOD OB ED， ，O的半径为 2， ，OE . 【点睛】 能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等掌握相似三角形的判定和性质 8如图，是的直径， 是上一点， 26 （1）求证：是的切线；

11、（2）若，求的长. 【答案】 （1）详见解析； （2）2 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，由 AB 是直径可得ACB=90 ，由 OA=OC 可得BAC=OCA，根据ACD=B，B+ BAC=90 ， 通过等量代换可得OCD=90 ， 即可得答案； 根据ACD=B， BAC=ADC=90 ， 可证明ABC ACD，根据相似三角形的性质即可求出 AC 的长. 【详解】 是的切线； 27 【点睛】 本题考查圆周角定理，切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键. 9如图所示，ABC 内接于O，AC 是O 的直径，点 D 是劣弧 AB 的中点，过点 D 作直线 BC

12、的垂线， 分别交 CB，CA 的延长线于 E，F 两点 (1)求证：EF 是O 的切线； (2)若 EF8，EC6，求O 的半径 【答案】 （1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）连接 OD交 AB于点 G，依据垂径定理的推论可以得出 ODAB，结合题意易得 ABEF，进而不难得 到 ODEF，即可证明结论； （2）先根据勾股定理求出 CF的长，由（1）知 ODCE，然后利用平行线分线段成比例列式求解即可求出 O 的半径. 【详解】 (1)证明：连结 OD， D 是的中点， ODAB. 又AC 为O的直径， 28 BCAB，ODCE. 又C EEF，ODEF， 即 EF是O的切

13、线 【点睛】 本题主要考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理定理的推论，平行线分线段成比例定理.证明一 条直线是圆的切线常用的方法有：若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连 结过此点的半径，再证其与直线垂直；若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂 线，再证垂足到圆心的距离等于半径. 10如图，AB是O的直径，C 为O上一点，经过点 C的直线与 AB的延长线交于点 D，连接 AC，BC， BCDCABE是O上一点，弧 CB弧 CE，连接 AE并延长与 DC的延长线交于点 F （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若O的半径为 3，sinD ，求线段

14、 AF的长 【答案】(1)见解析； （2）. 【解析】 【分析】 29 （1）连接 OC，BC，由 AB是O的直径，得到ACB=90 ，即1+3=90 根据等腰三角形的性质得到 1=2得到DCB+3=90 于是得到结论； （2）根据三角函数的定义得到 OD=5，AD=8根据弧 CB弧 CE 得到2=4推出 OCAF根据相似 三角形的性质即可得到结论 【详解】 （2）解：在 RtOCD中，OC3，sinD OD5，AD8 弧 CB弧 CE， 24 14 OCAF DOCDAF = AF 【点睛】 30 本题考查了切线的判定，圆 周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的

15、 关键 11如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点 C，BDPD，垂足为 D，连接 BC. (1)求证：BC平分PBD； (2)求证：PC2PA PB； (3)若 PA2，PC2，求阴影部分的面积(结果保留 ). 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）S阴影2 . 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，由 PD切O 于点 C，得到 OCPD，根据平行线的性质得到DBC=BCO，根据的预计 实现的性质得到OCB=OBC，等量代换得到OBC=CBD，于是得到即可； （2）连接 AC，由 AB是半圆 O的直径，得到ACB=90 ，推出ACP=

16、ABC，根据相似三角形的性质即 可得到结论； （3）根据图形的面积公式即可得到结果 【详解】 （1）连接 OC， PD切O于点 C， OCPD， BDPD， BDOC， DBCBCO， 31 OCOB， OCBOBC， OBCCBD， BC平分PBD； （3）PC2PA PB，PA2，PC2， PB6， AB4， OC2，PO4， POC60 ， S阴影S POC S扇形 2 22 . 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的 计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 12如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ADCE

17、 于点 D，AC 平分DAB （1）求证：直线 CE 是O 的切线； （2）若 AB10，CD4，求 BC 的长 32 【答案】 （1）证明见解析； （2）BC2或 4 【解析】 【分析】 (1)如图， 连接 OC， 由 AC平分DAB 得到DAC=CAB， 然后利用等腰三角形的性质得到OCA=CAB， 接着利用平行线的判定得到 ADCO，而 CDAD，由此得到 CDAD，最后利用切线的判定定理即可证 明 CD为O 的切线； (2)证明DACCAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可. 【详解】 ADCO， CDAD， OCCD， OC是O直径且 C在半径外端， CD为O的切线； 33 【

18、点睛】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运 用相关知识是解题的关键. 13如图，在O 中，AB是O的直径，AE是弦，OGAE 于点 G，交O 于点 D，连结 BD 交 AE 于点 F， 延长 AE 至点 C，连结 BC (1)当 BC=FC时，证明：BC是O的切线； (2)已知O的半径，当 tanA= ，求 GF的长 【答案】 （1）见解析； （2）1 【解析】 【分析】 （1）由 ODAE可知D+GFD=90 ，由等腰三角形的性质可得BFC=FBC，OBD=D，从而可证 OBC=90 ； 34 (2) 连接 BE，在 RtAOG中，可

19、求出 OG= 3， AG=4，由垂径定理得 GE= AG=4，然后通过证明FGD FEB，可求出 GF 的长. 【详解】 (2) 连接 BE， O半径，tanA= ， sinA= ,cosA= 在 RtAOG中，OG=OA sinA=5 =3， AG=OA cosA=5 =4=GE 35 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质. 熟记切线的判定定理是解（1）的关键，证明FGDFEB是解（2）的关键. 14如图，AB是O的直径，弦 CDAB于点 E，点 P 在O上，弦 PB与 CD交于点 F，且 FCFB （1）求证：PDCB； （

20、2）若 AB26，EB8，求 CD的长度 【答案】 （1）证明见解析； （2）CD24 【解析】 【分析】 （1）欲证明 PDBC，只要证明PCBF即可； （2）由ACECBE，可得，求出 EC，再根据垂径定理即可解决问题. 【详解】 36 （2）连接 AC， AB是直径， ACB90 ， ABCD， CEED，AECCEB90 ， CAE+ACE90 ，ACE+BCE90 ， CAEBCE， ACECBE， ， ， EC2144， EC0， EC12， CD2EC24 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是正确寻找

21、相似三角形解决问题，属于中考常考题型 15如图O 的内接ABC中，外角ACF 的角平分线与O相交于 D点，DPAC，垂足为 P，DHBF， 垂足为 H.问： 37 (1)PDC 与HDC是否相等，为什么？ (2)图中有哪几组相等的线段？ (3)当ABC满足什么条件时，CPDCBA，为什么？ 【答案】 （1）相等，理由详见解析； （2）PCHC，DPDH，APBH，ADBD； （3）ABC90 且 ACB60 时，CPDCBA. 【解析】 【分析】 （1）根据“AAS”证明CDHCDP即可； （2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等； （3） 根据其中一个是直角三角形得到

22、AC必须是直径 再根据另一对角对应相等， 结合利用平角发现PCD DCFACB=60 才可 【详解】 又CD=CD， CDHCDP， PDCHDC. (2) CDHCDP， PCHC，DPDH， DAP=DBH，APD=BHD=90 ， ADPBDH， APBH，ADBD. 38 综上可得：PCHC，DPDH，APBH，ADBD. 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，圆周角定理的 推论等知识.掌握全等三角形的判定和性质，能够根据已知的三角形的形状探索若相似应满足的条件是解答 本题的关键 16如图,AB 是O 的直径, O 过 BC 的中点

23、D,DEAC.求证: BDACED. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 不难看出BDA和CED都是直角三角形，证明BDACED，只需要另外找一对角相等即可，由于 AD 是ABC 的中线，又可证 ADBC，即 AD为 BC 边的中垂线，从而得到B=C，即可证相似 【详解】 39 【点睛】 本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用 17如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作半圆O，交 BC 于点 D，连接 AD过点 D 作 DE AC，垂足为点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当O 半径为 3，CE2 时，求 BD 长 【答案】

24、 （1）证明见解析； （2）BD2 【解析】 【分析】 （1） 连接 OD， AB为0的直径得ADB=90 ， 由 AB=AC， 根据等腰三角形性质得 AD 平分 BC， 即 DB=DC， 则 OD 为ABC 的中位线，所以 ODAC，而 DEAC，则 ODDE，然后根据切线的判定方法即可得到 结论； （2）由B=C，CED=BDA=90 ，得出DECADB，得出，从而求得 BDCD=ABCE， 由 BD=CD，即可求得 BD2=ABCE，然后代入数据即可得到结果 【详解】 （1）证明：连接 OD，如图， 40 AB为0的直径， ADB90 ， ADBC， ABAC， AD平分 BC，即 DB

25、DC， OAOB， OD为ABC的中位线， ODAC， DEAC， ODDE， DE是0 的切线； 【点睛】 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了等腰三角形的性 质、三角形相似的判定和性质 18如图，为的直径， 为上一点，且 AC=BC， 为 BC 上的一动点，延长至 ，使 得，连接 41 （1）求证：直线是的切线； （2）若点 由点 运动到点 ，则线段扫过的面积是_ （结果保留 ） 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 （1）做辅助线根据证明,由相似三角形性质即可解题,（2）作出图像得 S阴影 =SABQ-SAOC-S扇形BOC,即可解

26、题. 【详解】 （1）证明：连接 ，即 是的直径， 42 直线是的切线来源:ZXXK 【点睛】 本题考查了三角形的相似,切线的证明,不规则图形求面积,中等难度,证明切线是解题关键. 19如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，经过点 A 作 AEOC，垂足为点 D，AE 与 BC交于 点 F，与过点 B的直线交于点 E，且 EBEF （1）求证：BE是O的切线； （2）若 CD1，cosAEB ，求 BE 的长 【答案】 （1）见解析； （2）BE 【解析】 【分析】 （1）由 OBOC 可得OBCOCB，由 EBEF可知EBCEFB，根据AFC+OCB90 可知 EBC+OBC90 ，即可

27、得结论； 43 （2）由（1）可知AEB+EAB90 ，由AOD+EAB90 即可证明AODAEB，设O 的半径 为 r， 根据 cosAODcosAEB 可求出 r的值， 即可得 AB的值， 根据 cosAEB 可得 AE BE， 利用勾股定理求出 BE 的长即可. 【详解】 （2）设O的半径为 r，则 OAOCr， 又 CD1， ODr1， AOD+EAB90 ，AEB+EAB90 ， AODAEB， cosAODcosAEB ， 在 RtAOD 中，cosAOD ，即 ， 解得：r ， AB是O的直径， AB5， 在 RtAEB中，cosAEB ， 44 AE BE， 又 AE2AB2+

28、BE2，即（ BE）2BE2+52， 解得：BE 20如图，已知 RtACE 中，AEC=90 ，CB 平分ACE 交 AE 于点 B，AC 边上一点 O，O 经过点 B、 C，与 AC 交于点 D，与 CE 交于点 F，连结 BF。 （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若，AE=8，求O 的半径； （3）在(2)条件下，求 BF 的长。 【答案】 （1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】 (1) 连接 OB,根据 OB=OC 得出1=2，再根据 CB 平分ACE，得出2=3，再利用平行线的性质求解 即可;(2) 连接 DF,根据同弧所对圆周角相等得出CDF=CBF，再利用直径

29、所对的圆周角为 90 ，得出 DFC=90 ，由 OB/CE，得出AOBACE，利用相似三角形的性质，列出方程求解即可;(3) 先证出ACB BCF，再利用相似三角形的性质得出=，进而求出结果. 【详解】 （1）证明：如图 1，连接 OB， OB=OC，1=2， CB 平分ACE，2=3， 1=3，OBCE， ABO=AEC=90 ，即 OB 丄 AE， AE 是0 的切线； 45 （3）在 RtAOB 中 AO=10-=，cos A= ， AB=5， 在 RtDCF 中 CD=，cosCDF=cosCBF= ， CF= ， A=CBF，2=3， ACBBCF， =， ， 解得，BC=，BF=. 46