专题04 因动点产生的相似、全等问题-突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)
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1、 1 【类型综述】 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为 特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导 边的大小。 若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后 利用相似来列方程求解。 【方法揭秘】 相似三角形的判定定理有 3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件,因此探求两个 三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一
2、组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检 验 如果已知AD,探求ABC 与DEF 相似,只要把夹A 和D 的两边表示出来,按照对应边成 比例,分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 应用判定定理 1 解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) 还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长,要用到两点间的距离公式,
3、而这个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1,如果已知 A、B 两点的坐标,怎样求 A、B 两点间的距离呢? 我们以 AB 为斜边构造直角三角形, 直角边与坐标轴平行, 这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了 水 平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离,等于 A、B 两点的横坐标相减;竖直距离 AC 就是 A、B 两点 间的竖直距离,等于 A、B 两点的纵坐标相减 2 图 1 【典例分析】 例 1 如图 1,已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 yx2bxc 经过 A、 B 两点,点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发,向点 A 以每秒 1 个单位的速
4、度匀速运动;同时,点 Q 在线段 AB 上,从点 A 出发,向点 B 以每秒2个单位的速度匀速运动,连结 PQ,设运动时间为 t 秒 (1)求抛物线的解析式; (2)问:当 t 为何值时,APQ 为直角三角形; (3)过点 P 作 PE/y 轴,交 AB 于点 E,过点 Q 作 QF/y 轴,交抛物 线于点 F,连结 EF,当 EF/PQ 时,求点 F 的坐标; (4)设抛物线顶点为 M,连结 BP、BM、MQ,问:是否存在 t 的值,使以 B、Q、M 为顶点的三角形 与以 O、B、P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由 思路点拨思路点拨 1 在APQ 中, A
5、45 , 夹A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示, 分两种情况讨论直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标,进而表示点 E、F 的坐标,根据 PEQF 列方程就好了 3MBQ 与BOP 都是直角三角形,根据直角边对应成比例分两种情况讨论 满分解答满分解答 3 图 2 图 3 (3)如图 4,因为 PE/QF,当 EF/PQ 时,四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ 因为 xPt,xQ3t,所以 yE3t,yQt,yF(3t)22(3t)3t24t 因为 yEyPyFyQ,解方程 3t(t24t)t,得 t1,或 t3(舍去) 所以
6、点 F 的坐标为(2, 3) 图 4 图 5 (4)由 yx22x3(x1)24,得 M(1, 4) 4 考点伸展考点伸展 第(3)题也可以用坐标平移的方法:由 P(t, 0),E(t, 3t),Q(3t, t),按照 PE 方向,将点 Q 向上平移,得 F(3t, 3)再将 F(3t, 3)代入 yx22x3,得 t1,或 t3 例例 2 二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点,与 y 轴交于点 C(0, 3m)(m0) ,顶点为 D (1)求该二次函数的解析式(系数用含 m 的代数式表示) ; (2)如图 1,当 m2 时,点 P 为第三象
7、限内抛物线上的一个动点,设APC 的面积为 S,试求出 S 与 点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值; (3)如图 2,当 m 取何值时,以 A、D、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似? 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP,APC 可以割补为:AOP 与COP 的和,再减去AOC 3讨论ACD 与OBC 相似,先确定ACD 是直角三角形,再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 5 满分解答满分解答 图 3 图 4 图 5 (3)如图 4,过点 D 作 y 轴的垂线,垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线
8、交 DE 于 F 由 ym(x3)(x1)m(x1)24m,得 D(1,4m) 在 RtOBC 中,OBOC13m 如果ADC 与OBC 相似,那么ADC 是直角三角形,而且两条直角边的比为 13m 如图 4,当ACD90 时, OAOC ECED 所以 33 1 m m 解得 m1 此时3 CAOC CDED ,3 OC OB 所以 CAOC CDOB 所以CDAOBC 6 考点伸展考点伸展 第(2)题还可以这样割补:如图 6,过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC:y2x6,可得 H(x,2x6) 又因为 P(x, 2x24x6),所以 HP2x26x 因为PAH 与
9、PCH 有公共底边 HP,高的和为 A、C 两点间的水平距离 3,所以 SS APC S APH SCPH 3 2 (2x26x) 2 327 3() 24 x 例 3 如图 1,在平面直角坐标系中,双曲线(k0)与直线 yx2 都经过点 A(2, m) (1)求 k 与 m 的值; (2)此双曲线又经过点 B(n, 2),过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C,联结 AB、AC, 求ABC 的面积; (3)在(2)的条件下,设直线 yx2 与 y 轴交于点 D,在射线 CB 上有一点 E,如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似,且相似比不为 1,求点 E
10、的坐标 7 图 1 思路点拨思路点拨 1直线 AD/BC,与坐标轴的夹角为 45 2求ABC 的面积,一般用割补法 3讨论ACE 与ACD 相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程 满分解答满分解答 (3)由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2),得 AD2 2,AC2 10 由于DACACD45 ,ACEACD45 ,所以DACACE 所以ACE 与ACD 相似,分两种情况: 如图 3,当 CEAD CAAC 时,CEAD2 2 此时ACDCAE,相似比为 1 8 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第(2)题我们在计算ABC 的面积时,恰好ABC 是直角三角形
11、一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法 如图 5,作ABC 的外接矩形 HCNM,MN/y 轴 由 S矩形HCNM24,S AHC 6,SAMB2,S BCN 8,得 S ABC 8 例 4 如图 1,RtABC 中,ACB90 ,AC6 cm,BC8 cm,动点 P 从点 B 出发,在 BA 边上以 每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 Q 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运 动,运动时间为 t 秒(0t2) ,连接 PQ (1)若BPQ 与ABC 相似,求 t 的值; (2)如图 2,连接 AQ、CP,若 AQCP,求 t 的值;
12、 (3)试证明:PQ 的中点在ABC 的一条中位线上 9 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1BPQ 与ABC 有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程来源: 2作 PDBC 于 D,动点 P、Q 的速度,暗含了 BDCQ 3PQ 的中点 H 在哪条中位线上?画两个不同时刻 P、Q、H 的位置,一目了然 满分解答满分解答 图 3 图 4 (2)作 PDBC,垂足为 D 在 RtBPD 中,BP5t,cosB 4 5 ,所以 BDBPcosB4t,PD3t 当 AQCP 时,ACQCDP 所以 ACCD QCPD ,即 684 43 t tt 解得 7 8 t 10 图 5 图 6
13、 考点伸展考点伸展 本题情景下,如果以 PQ 为直径的H 与ABC 的边相切,求 t 的值 如图 7,当H 与 AB 相切时,QPAB,就是 BPBC BQBA , 32 41 t 如图 8,当H 与 BC 相切时,PQBC,就是 BPBA BQBC ,t1 如图 9,当H 与 AC 相切时,直径 2222 (3 )(88 )PQPDQDtt, 半径等于 FC4所以 22 (3 )(88 )8tt 解得 128 73 t ,或 t0(如图 10,但是与已知 0t2 矛盾) 图 7 图 8 图 9 图 10 例 5 如图 1,已知抛物线 2 11 (1) 444 b yxbx (b 是实数且 b
14、2)与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B (点 A 位于点 B 是左侧) ,与 y 轴的正半轴交于点 C (1)点 B 的坐标为_,点 C 的坐标为_(用含 b 的代数式表示) ; (2)请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形 PCOB 的面积等于 2b,且PBC 是以点 P 为直 11 角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形 均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第(2
15、)题中,等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP,把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含 b 的式子表示 3第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点 Q 最大的可能在 经过点 A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答满分解答 图 2 图 3 12 图 4 图 5 考点伸展考点伸展 第(3)题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而QOA 与QOC 是互 余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样,先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来,再根据两直角边对应
16、成比例确定点 B 的位 置 如图中,圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢? 如果符合题意的话,那么点 B 的位置距离点 A 很近,这与 OB4OC 矛盾 例 6 如图 1,已知抛物线的方程 C1: 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧 (1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BHEH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B
17、、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似? 13 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BHEH 最小 2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作CBFEBC45 ,或者作 BF/EC再 用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于 m 的方程 满分解答满分解答 (4)如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F 由于BCEFBC,所以当 CEBC CBBF ,即 2 BCCE BF时,BCEFBC 设点 F 的坐标为
18、1 ( ,(2)()xxxm m ,由 FFEO BFCO ,得 1 (2)() 2 2 xxm m xm 解得 xm2所以 F(m2, 0) 由 COBF CEBF ,得 2 4 4 mm BF m 所以 2 (4)4mm BF m 由 2 BCCE BF,得 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m 整理,得 016此方程无解 14 图 2 图 3 图 4来源:Z#xx#k.Com 考点伸展考点伸展 第(4)题也可以这样求 BF 的长:在求得点 F、F 的坐标后,根据两点间的距离公式求 BF 的长 【变式训练】 1 如图, 在四边形中, 点 为边上一动点, 若 与是相似三角形,则满足条
19、件的点 的个数是( ) A 个 B 个 C 个 D 个 【答案】C 【解析】分类讨论 设,则, 15 ,设为 ,则,综上, 为 , ,则满足题意, 有三个点. 2如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,ABC=90 ,AD=2 ,BC=6 ,AB=7 ,点 P 是从点 B 出 发在射线 BA 上的一个动点,运动的速度是 1 /s,连结 PC、PD若PAD 与PBC 是相似三角形,则满 足条件的点 P 个数是( ) A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【答案】A 【解析】 考点:相似三角形的判定与性质 3已知:如图,在长方形 ABCD 中,AB=4,AD=6.延长 BC 到点 E,使 CE=
20、2,连接 DE,动点 P 从点 B 出发, 以每秒 2 个单位的速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动,设点 P 的运动时间为 t 秒,当 t 的值为 ( ) 秒时, ABP 和DCE 全等 A1 B1 或 3 C1 或 7 D3 或 7 16 【答案】C 【解析】 4如图,在中,点 是边上一动点(不与 、 重合) ,交于 点 ,且,则线段的最大值为_ 【答案】 【解析】 过点 A 作 AGBC 于 G, 17 设 BD=x,则 CD=16-x, ADC=B+BAD,即ADE+CDE=B+BAD, CDE=BAD, C=B, ABDDCE, ,即, CE=, 当 x=8 时,EC 有最大值,最
21、大值为 6.4. 故答案为:6.4. 5如图, Rt ABC中, 90 ,8,3CACBC, , ,AEAC P Q分别是,AC AE上动点,且 PQAB,当AP=_时,才能使ABC和PQA全等. 【答案】3 或 8 【解析】试题解析:分为两种情况:当 AP=3 时, BC=3, AP=BC, C=90 ,AEAC, C=QAP=90 , 在 RtABC 和 RtQAP 中, ABPQ BCAP RtABCRtQAP(HL) , 18 6如图,在ABC 中,AB=AC=10,点 D 是边 BC 上一动点 (不与 B,C 重合) ,ADE=B=,DE 交 AC 于点 E,且 下列结论: ADEA
22、CD; 当 BD=6 时,ABD 与DCE 全等; DCE为直角三角形时,BD为 8或; CD2=CECA 其中正确的结论是_ (把你认为正确结论的 序号都填上) 【答案】 【解析】 19 7如图,在中,点 是边上的动点(点 与点 、 不重合) , 过动点 作交于点 若与相似,则_ 【答案】或 【解析】 BAC=90 ,PDAB, PDA=90 , 又C=60 , APD=30 或 60 时,ABC 与DAP 相似, APD=30 或 60 . 8如图,直线与 轴交于点,与 轴交于点 ,抛物线,经过点. (1)求抛物线的解析式 (2)已知点 是抛物线上的一个动点,并且点 在第二象限内,过动点
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