专题03 因动点产生的直角三角形问题-突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)
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1、 1 【类型综述】 解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并 验根 一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三 角形,这样列比例方程比较简便 【方法揭秘】 我们先看三个问题: 1已知线段 AB,以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个?顶点 C 的轨迹是什么? 2已知线段 AB,以线段 AB 为斜边的直
2、角三角形 ABC 有多少个?顶点 C 的轨迹是什么? 3已知点 A(4,0),如果OAB 是等腰直角三角形,求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1,点 C 在垂线上,垂足除外如图 2,点 C 在以 AB 为直径的圆上,A、B 两点除外如图 3,以 OA 为边画两个正方形,除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点 B,共 6 个 如图 4,已知 A(3, 0),B(1,4),如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法,作 AB 为直径的圆,快速找到两个符合条件的点 C 如果作 BDy 轴于 D,那么AO
3、CCDB 2 设 OCm,那么 34 1 m m 这个方程有两个解,分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 【典例分析】 例 1 如图 1,已知抛物线 E1:yx2经过点 A(1,m),以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B(2,2),点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、B (1)求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式; (2)如图 1,在第一象限内,抛物线 E1上是否存在点 Q,使得以点 Q、B、B为顶点的三角形为直角 三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点,连结 OP 并延长与抛物线
4、 E2相交于 点 P,求PAA与PBB的面积之比 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1判断点 P 是线段 OP的中点是解决问题的突破口,这样就可以用一个字母表示点 P、P的坐标 2分别求线段 AABB,点 P 到 AA的距离点 P到 BB的距离,就可以比较PAA与PBB的面积之 比 3 满分解答满分解答 (1)当 x1 时,yx21,所以 A(1, 1),m1 设抛物线 E2的表达式为 yax2,代入点 B(2,2),可得 a 1 2 所以 y 1 2 x2 (2)点 Q 在第一象限内的抛物线 E1上,直角三角形 QBB存在两种情况: 图 3 图 4 如图 3,过点 B 作 BB的垂线交抛物线
5、 E1于 Q,那么 Q(2, 4) 如图 4,以 BB为直径的圆 D 与抛物线 E1交于点 Q,那么 QD 1 2 BB2 设 Q(x, x2),因为 D(0, 2),根据 QD24 列方程 x2(x22)24 解得 x3此时 Q( 3,3) 图5 图6 4 考点伸展考点伸展 第(2)中当BQB90 时,求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法: 方法二,由勾股定理,得BQ2BQ2BB2 所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242 方法三,作 QHBB 于 H,那么 QH2BH BH 所以(x22)2(x2) (2x) 例 2 如图 1,二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于
6、 A(1, 0)、B(3, 0)两点,与 y 轴交于点 C,连结 BC动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动,动点 Q 以每秒 2个单位长度的速度从点 B 向 点 C 运动,P、Q 两点同时出发,连结 PQ,当点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点同时停止运动设运动的时间 为 t 秒 (1)求二次函数的解析式; (2)如图 1,当BPQ 为直角三角形时,求 t 的值; (3)如图 2,当 t2 时,延长 QP 交 y 轴于点 M,在抛物线上是否存在一点 N,使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点,若存在,求出点 N 的坐标与 t 的值;若不存在,请说明理由 图 1 图 2
7、思路点拨思路点拨 1分两种情况讨论等腰直角三角形 BPQ 2 如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点, 那么 MQNP, 以 MQ、 NP 为直角边可以构造全等的直角三角形, 从而根据直角边对应相等可以列方程 满分解答满分解答 5 图 3 图 4 图 5 (3)如图 5,设 PQ 的中点为 G,当点 G 恰为 MN 的中点时,MQNP 作 QEy 轴于 E,作 NFx 轴于 F,作 QHx 轴于 H,那么MQENPF 由已知条件,可得 P(t1, 0),Q(3t,t) 由 QEPF,可得 xQxNxP,即 3txN(t1)解得 xN2 将 x2 代入 y(x1)(x3),得 y3所以 N(2,3
8、) 由 QH/NF,得 QHPH NFPF ,即 (3)(1) 32(1) ttt t 整理,得 t29t120解得 933 2 t 因为 t2,所以取 933 2 t 考点伸展考点伸展 第(3)题也可以应用中点坐标公式,得 (1)(3) 1 22 PQ G xx tt x 所以xN2xG2 例 3 如图 1,在 RtABC 中,ACB90 ,AB13,CD/AB,点 E 为射线 CD 上一动点(不与点 C 重合) , 6 联结 AE 交边 BC 于 F,BAE 的平分线交 BC 于点 G (1)当 CE3 时,求 SCEFSCAF的值; (2)设 CEx,AEy,当 CG2GB 时,求 y
9、与 x 之间的函数关系式; (3)当 AC5 时,联结 EG,若AEG 为直角三角形,求 BG 的长 图 1 思路点拨思路点拨 1第(1)题中的CEF 和CAF 是同高三角形,面积比等于底边的比 2第(2)题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形 3第(3)题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论 满分解答满分解答 所以EMAEAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4 7 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 第(3)题的第种情况,当AEG90 时的核心问题是说理 GAGB 如果用四点共圆,那么很容易 如图 6,由 A、C、E、G 四点共圆,直接得到24 上海版教材不学习四点共圆,比较
10、麻烦一点的思路还有: 如图 7,当AEG90 时,设 AG 的中点为 P,那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中 线,所以 PCPEPAPG 所以122,325 如图 8,在等腰PCE 中,CPE180 2(45), 又因为CPE180 (13),所以132(45)所以124 所以24B所以GABB所以 GAGB 8 图 7 图 8 例 4 如图 1,二次函数 ya(x22mx3m2)(其中 a、m 是常数,且 a0,m0)的图像与 x 轴分别交 于 A、 B (点 A 位于点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C(0,3), 点 D 在二次函数的图像上, CD
11、/AB, 联结 AD 过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分DAE (1)用含 m 的式子表示 a; (2)求证: AD AE 为定值; (3)设该二次函数的图像的顶点为 F探索:在 x 轴的负半轴上是否存在点 G,联结 GF,以线段 GF、 AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点 G 即可,并用含 m 的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙通过二次函数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后,点 D 的坐标 也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算
12、的过程中,第(1)题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 来源:ZXXK 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4) ,因此过点 F 作 AD 的平行线 与 x 轴的交点,就是要求的点 G 满分解答满分解答 9 图 2 图 3 (3)如图 3,由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4), 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G 来源:ZXXK 证明如下:作 FFx 轴于 F,那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADGF 所以
13、线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m,点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展考点伸展 第(3)题中的点 G 的另一种情况,就是 GF 为直角三角形的斜边 此时 5334 AEADGF 因此 34GFm 10 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm 例 5 如图 1,抛物线 2 13 4 42 yxx与 x 轴交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧) ,与 y 轴交于点 C, 连结 BC, 以 BC 为一边, 点 O 为对称中心作菱形 BDEC, 点 P 是 x 轴上的一个动点, 设点 P 的坐标为(m, 0), 过点 P 作 x 轴的垂
14、线 l 交抛物线于点 Q (1)求点 A、B、C 的坐标; (2) 当点 P 在线段 OB 上运动时, 直线 l 分别交 BD、 BC 于点 M、 N 试探究 m 为何值时, 四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由; (3)当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 Q,使BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第(2)题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长,再根据 MQDC 列方程 2第(2)题要判断四边形 CQBM 的形状,最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图,
15、 先得到结论 3第(3)题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似 三角形 满分解答满分解答 11 图 2 图 3 (3)存在两个符合题意的点 Q,分别是(2,0),(6,4) 考点伸展考点伸展 第(3)题可以这样解:设点 Q 的坐标为 1 ( ,(2)(8) 4 xxx 如图 3,当DBQ90 时, 1 2 QGBH GBHD 所以 1 (2)(8) 1 4 82 xx x 解得 x6此时 Q(6,4) 如图 4,当BDQ90 时, 2 QGDH GDHB 所以 1 4(2)(8) 4 2 xx x 解得 x2此时 Q(2,0) 12 图 3 图 4 例
16、 6 如图 1,抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C (1)求点 A、B 的坐标; (2) 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当ACD 的面积等于ACB 的面积时, 求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4, 0),M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三 个时,求直线 l 的解析式 图 1 思路点拨思路点拨 1根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点 D 有两个 2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时,符合AMB90
17、的点 M 有 2 个;当直线 l 与圆相切时,符合 AMB90 的点 M 只有 1 个 3灵活应用相似比解题比较简便 满分解答满分解答 (1)由 2 333 3(4)(2) 848 yxxxx , 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1 (2)ACD 与ACB 有公共的底边 AC,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,点 B、D 到直线 AC 的 距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有对应的点 D 13 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H 由 BD/AC,得DBGCAO所以 3 4
18、 DGCO BGAO 所以 39 44 DGBG,点 D 的坐标为 9 (1,) 4 因为 AC/BD,AGBG,所以 HGDG 而 DHDH,所以 DG3DG 27 4 所以 D的坐标为 27 (1,) 4 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第(3)题中的直线 l 恰好经过点 C,因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式 在 RtEGM 中,GM3,GE5,所以 EM4 在 RtECO 中,CO3,EO4,所以 CE5 因此三角形EGMECO,GEMCEO所以直线 CM 过点 C 【变式训练】 1 如图, 点 M 是直线 y=2x+3 上的动点, 过点 M 作 MN 垂直于 x 轴于点 N
19、, y 轴上是否存在点 P, 使得MNP 14 为等腰直角三角形,则符合条件的点 P 有(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 【解析】 当 M 运动到(1,1)时,ON=1,MN=1, 因此,符合条件的点 P 坐标是(0,0),(0, ),(0,3),(0,1) 15 故答案选 C, 2如图,在矩形中,是边上的一个动点,当点 在 (不含两点) 上运动时,若是以为斜边的直角三角形,则等于( ) A B 或 C D或 【答案】D 【解析】 故选 D 3如图,在ABC 中,AB=2,AO=BO,P 是直线 CO 上的一个动点,AO
20、C=60 ,当PAB 是以 BP 为直 角边的直角三角形时,AP 的长为( ) 16 A,1,2 B ,2 C,1 D,2 【答案】C 【解析】 当APB=90 时, 情况一: (如图) , 情况二:如图 2, 17 AO=BO,APB=90 , PO=AO, AOC=60 , AOP 为等边三角形, AP=AO=1; 当ABP=90 时(如图 3) , 4如图,是的直径,弦, 是弦 的中点,若动点 以的速度从 点出 发沿着方向运动,设运动时间为,连结,当是直角三角形时, (s)的值为 A B1 C 或 1 D或 1 或 【答案】D 【解析】 18 析:若BEF 是直角三角形,则有两种情况:B
21、FE=90 ,BEF=90 ;在上述两种情况所得到的直角 三角形中,已知了 BC 边和B 的度数,即可求得 BE 的长;AB 的长易求得,由 AE=AB-BE 即可求出 AE 的长,也就能得出 E 点运动的距离,根据时间=路程 速度即可求得 t 的值 解答:解:AB 是O 的直径, ACB=90 ; 当BEF=90 时; 同可求得 BE=0.5cm,此时 AE=AB-BE=3.5cm; E 点运动的距离为:3.5cm,故 t=1.75s; 当 E 从 B 回到 O 的过程中,在运动的距离是:2(4-3.5)=1cm,则时间是:1.75+ = s 综上所述,当 t 的值为 1s 或 1.75s
22、和 s 时,BEF 是直角三角形 故选 D 5若 D 点坐标(4,3),点 P 是 x 轴正半轴上的动点,点 Q 是反比例函数 12 (0)yx x 图象上的动点,若 PDQ 为等腰直角三角形,则点 P 的坐标是_ 【答案】 19197 5,0 ,0,0 72 【解析】3 4=12, 点 D 在反比例 y= 12 x (x0)图象上, 19 当 QP=QD,PQD=90 ,如图 1,作 QAx 轴于 A,DHx 轴与 H,QBDH 于 B, DP= 2PQ=10, 在 RtDPH 中,DH=3, PH= 2 2 10-3 =1, 来源:ZXXK OP=5, P 点坐标为(5,0); 当 DP=
23、DQ,PDQ=90 ,如图 2,作 QAx 轴于 A,DHx 轴与 H,QBDH 于 B, 来源:ZXXK 易证得DPHQDB,则 BQ=DH=3,BD=PH, Q 点坐标为(7, 12 7 ), BD=3 12 7 = 9 7 , 20 PH= 9 7 , OP=4 9 7 = 19 7 , P 点坐标为(19 7 ,0); 当 PD=PQ,DPQ=90,如图 3,作 QAx 轴于 A,DHx 轴与 H, P 点坐标为(1 97 2 ,0). 故答案为(5,0)、( 19 7 ,0)、 ,(1 97 2 ,0). 6如图,长方形 ABCD 中,A=ABC=BCD=D=90 ,AB=CD=6,
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