2020-2021学年湖南省长沙市雨花区八年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年湖南省长沙市雨花区八年级（上）期中数学试卷学年湖南省长沙市雨花区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1在平面直角坐标系中点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 2如图，在 RtACB 中，C90，B30，AB4，则 AC 的长是（ ） A1 B2 C3 D4 3下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B （a3）4a7 C （3a）29a2 Da4aa3 4如图，ABCD，EGB50，CHF（ ） A2

2、5 B30 C50 D130 5下列添括号运算错误的是（ ） Aa+bca+（bc） Bab+ca（b+c） Cabca（b+c） Da+b+ca+（b+c） 6等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则第三边长是（ ） A3 B6 C3，6 D9 7下列因式分解错误的是（ ） A3ab6ac3a（b2c） Bm（x2+y2）n（x2+y2）（mn） （x2+y2） C9x24y2（3x+2y） （3x2y） Da24a+4（a+2） （a2） 8长方形的长为 3x2y，宽为 2xy3，则它的面积为（ ） A5x3y4 B6x2y3 C6x3y4 D 9若（x+2） （x3）x2+mx6，则 m

3、 等于（ ） A2 B2 C1 D1 10不等式 x（x+2）4x2的解集为（ ） Ax4 Bx2 Cx2 Dx2 11若 x2+nx+25 是完全平方式，则常数 n 的值为（ ） A10 B10 C5 D10 12如图，在ABC 中，AC5，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，BCD 的周长是 9，则 BC 的长为 （ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13因式分解：a24 14如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，BD3，则 BC 15如图，在 RtOCD 中，C90，OP 平分DOC

4、 交 DC 于点 P，若 PC2，OD8，则OPD 的 面积为 16已知 ka4，kb6，kc9，2b+c3b+c6a 2，则 9a27b 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）先化简，再求值：（2ab）2（2a+b） （2ab）2b，其中，b1 19 （6 分）人教版初中数学教科书八年级上册第 36 页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法： 请你根据提供的材料完成下列问题 （1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（ ） ASAS BAAS CASA DSSS （2）请你证明AOBAOB 20 （8 分）已知（

5、x+y）212， （xy）28，求下列各式的值： （1）xy； （2）x3y+xy3 21 （8 分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具如果购买甲种 3 件，乙种 2 件，共需 56 元；如果 购买甲种 1 件，乙种 4 件，共需 32 元 （1）甲、乙两种工具每件各多少元？ （2）现要购买甲、乙两种工具共 100 件，总费用不超过 1100 元，那么甲种工具最多购买多少件？ 22 （9 分）如图，ABC 为等边三角形，DEAC，点 O 为线段 EC 上一点，DO 的延长线与 AC 的延长线 交于点 F，DOFO （1）求证：BDE 是等边三角形； （2）求证：DOEFOC； （3）若 A

6、C7，FC3，求 OC 23 （9 分）人教版初中数学教科书八年级上册第 84 页探究了“三角形中边与角之间的不等关系” ，部分原 文如下： 如图 1，在ABC 中，如果 ABAC，那么我们可以将ABC 折叠，使边 AC 落在 AB 上，点 C 落在 AB 上的 D 点，折线交 BC 于点 E，则CADE ADEB（想一想为什么） ， CB （1）请证明上文中的ADEB； （2）如图 2，在ABC 中，如果ACBB，能否证明 ABAC？ 同学小雅提供了一种方法：将ABC 折叠，使点 B 落在点 C 上，折线交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，再 运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方

7、法完成证明； （3）如图 3，在ABC 中，C2B，按照图 1 的方式进行折叠，得到折痕 AE，过点 E 作 AC 的平行 线交 AB 于点 M，若BEA110，求DEM 的度数 24 （10 分） 我们定义： 如果两个多项式 A 与 B 的差为常数， 且这个常数为正数， 则称 A 是 B 的 “雅常式” ， 这个常数称为 A 关于 B 的“雅常值” 如多项式 Ax2+2x+1，B（x+4） （x2） ，AB（x2+2x+1）（x+4） （x2）（x2+2x+1）（x2+2x 8）9，则 A 是 B 的“雅常式”A 关于 B 的“雅常值”为 9 （1）已知多项式 Cx2+x1，D（x+2） （

8、x1） ，判断 C 是否为 D 的“雅常式” ，若不是，请说明理 由，若是，请证明并求出 C 关于 D 的“雅常值” ； （2）已知多项式 M（xa）2，Nx22x+b（a，b 为常数） ，M 是 N 的“雅常式” ，且当 x 为实数时， N 的最小值为2，求 M 关于 N 的“雅常值” ； （3）若多项式 Px2+b1x+c1是 Qx2+b2x+c2的“雅常式” ， （b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数） ，是 否存在常数 k，使得 PQ（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出 一个满足条件的 k 值以及对应的多项式 P 25 （10 分）

9、如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，ABAC，BAC90，CM y 轴，交 y 轴于点 M （1）求证ABOCAM； （2）如图 2，D，E 为 y 轴上的两个点，BDBE，BDBE，求CEM 的度数； （3）如图 3，PAQ 是等腰直角三角形，PAQ 为顶角，点 Q 在 x 轴负半轴上，连接 CB，交 y 轴于点 H，AC 与 x 轴交于点 G，连接 PC，交 AQ 于点 K，交 x 轴于点 N，若 CNCM，NG3，HM2，求 GH 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分

10、，共 36 分）分） 1在平面直角坐标系中点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案 【解答】解：点 P（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（1，2） ， 故选：A 2如图，在 RtACB 中，C90，B30，AB4，则 AC 的长是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据含 30角的直角三角形的性质得出 ACAB，代入求出即可 【解答】解：在 RtACB 中，C90，B30， ACAB， AB4， AC2， 故选：B 3下列运算正确的是

11、（ ） Aa2a3a6 B （a3）4a7 C （3a）29a2 Da4aa3 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方分别计算即可 【解答】解：a2a3a2+3a5，因此选项 A 不符合题意； （a3）4a12，因此选项 B 不符合题意； （3a）29a2，因此选项 C 不符合题意； a4aa4 1a3，因此选项 D 符合题意； 故选：D 4如图，ABCD，EGB50，CHF（ ） A25 B30 C50 D130 【分析】根据平行线的性质可得EHDEGB50，再利用对顶角的性质可求解 【解答】解：ABCD，EGB50， EHDEGB50， CHFEHD50 故选：C 5下列添括号运

12、算错误的是（ ） Aa+bca+（bc） Bab+ca（b+c） Cabca（b+c） Da+b+ca+（b+c） 【分析】直接利用添括号法则分别判断得出答案 【解答】解：A、a+bca+（bc） ，正确，不合题意； B、ab+ca（bc） ，原式错误，符合题意； C、abca（b+c） ，正确，不合题意； D、a+b+ca+（b+c） ，正确，不合题意； 故选：B 6等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则第三边长是（ ） A3 B6 C3，6 D9 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 3 和 6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论， 还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形

13、【解答】解：当等腰三角形的腰为 3 时，三边为 3，3，6，3+36，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为 6 时，三边为 3，6，6，三边关系成立， 故第三边长是 6， 故选：B 7下列因式分解错误的是（ ） A3ab6ac3a（b2c） Bm（x2+y2）n（x2+y2）（mn） （x2+y2） C9x24y2（3x+2y） （3x2y） Da24a+4（a+2） （a2） 【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式3a（b2c） ，不符合题意； B、原式（mn） （x2+y2） ，不符合题意； C、原式（3x+2y） （3x2y） ，不符合题意； D、原式（a2）2

14、，符合题意 故选：D 8长方形的长为 3x2y，宽为 2xy3，则它的面积为（ ） A5x3y4 B6x2y3 C6x3y4 D 【分析】由长方形的面积计算公式，根据单项式乘单项式的计算方法进行计算即可 【解答】解：3x2y2xy36x3y4， 故选：C 9若（x+2） （x3）x2+mx6，则 m 等于（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】先利用多项式乘多项式法则求出（x+2） （x3） ，再根据（x+2） （x3）x2+mx6 求出 m 【解答】解：（x+2） （x3） x2x6， 又（x+2） （x3）x2+mx6， x2x6x2+mx6 m1 故选：C 10不等式 x（x+2）4x2

15、的解集为（ ） Ax4 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成 1 即可 【解答】解：x（x+2）4x2， x2+2x4x2， x2+2xx24， 2x4， x2， 故选：C 11若 x2+nx+25 是完全平方式，则常数 n 的值为（ ） A10 B10 C5 D10 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 n 的值 【解答】解：x2+nx+25 是完全平方式， n21510 故选：D 12如图，在ABC 中，AC5，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，BCD 的周长是 9，则 BC 的长为 （ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由线段垂直平分

16、线的性质可求得 BD+DC+BCAD+DC+BCAC+BC，再结合BCD 的周长， 可求得 BC 的长 【解答】解：DE 垂直平分 AB， ADBD， AC5， BD+CD5 BCD 的周长为 9， BC4 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13因式分解：a24 （a+2） （a2） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：a24（a+2） （a2） 故答案为： （a+2） （a2） 14如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，BD3，则 BC 6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，点 D 是 B

17、C 的中点，再根据线段中点的定义求解即可 【解答】解：ABAC，ADBC， AD 是底边 BC 上的中线， BC2BD， BD3， BC236 故答案为：6 15如图，在 RtOCD 中，C90，OP 平分DOC 交 DC 于点 P，若 PC2，OD8，则OPD 的 面积为 8 【分析】根据角平分线的性质得出 PEPC2，再根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：过 P 作 PEOD 于 E， OP 平分DOC，C90，PC2， PEPC2， OD8， OPD 的面积是8， 故答案为：8 16已知 ka4，kb6，kc9，2b+c3b+c6a 2，则 9a27b 9 【分析】先将 9a27b

18、变形，再由 ka4，kb6，kc9，2b+c3b+c6a 2 分别得出 a，b，c 的关系式， 然后联立得方程组，整体求得（2a3b）的值，最后代入将 9a27b变形所得的式子即可得出答案 【解答】解：9a27b （32）a（33）b （3）2a 3b， ka4，kb6，kc9， kakckbkb， ka+ck2b， a+c2b； 2b+c3b+c6a 2， （23）b+c6a 2， b+ca2； 联立得：， ， 2baa2b， 2a3b2， 9a27b （3）2a 3b 32 9 故答案为：9 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分）计

19、算： 【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式413+3 3 18 （6 分）先化简，再求值：（2ab）2（2a+b） （2ab）2b，其中，b1 【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算中括号里面的式子，再合并同类项，最后计算除法， 化简后，再代入 a、b 的值即可 【解答】解：原式（4a24ab+b24a2+b2）2b （2b24ab）2b b2a， 当 a，b1 时，原式12112 19 （6 分）人教版初中数学教科书八年级上册第 36 页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法： 请你根据提供的材料完成下列问题 （1）这种作一个

20、角等于已知角的方法的依据是（ ） ASAS BAAS CASA DSSS （2）请你证明AOBAOB 【分析】 （1）根据作一个角等于已知角的过程即可进行判断； （2）根据作图过程可得ODCODC，进而可得AOBAOB 【解答】解： （1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 SSS； 故选 D （2）证明：根据作图过程可知： ODOCODOC，CDCD， 在ODC 和ODC中， ， ODCODC（SSS） ， DOCDOC， AOBAOB 20 （8 分）已知（x+y）212， （xy）28，求下列各式的值： （1）xy； （2）x3y+xy3 【分析】 （1）已知两等式左边利用完全平方公式

21、展开，相减即可求出 xy 的值； （2）由（x+y）212， （xy）28 可得 x2+y2的值，再把所求式子因式分解后代入计算即可 【解答】解： （1）（x+y）2x2+2xy+y212， （xy）2x22xy+y28， 由得：4xy4， xy1； （2）由+得：2x2+2y22（x2+y2）20， x2+y210， x3y+xy3xy（x2+y2）11010 21 （8 分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具如果购买甲种 3 件，乙种 2 件，共需 56 元；如果 购买甲种 1 件，乙种 4 件，共需 32 元 （1）甲、乙两种工具每件各多少元？ （2）现要购买甲、乙两种工具共 100

22、 件，总费用不超过 1100 元，那么甲种工具最多购买多少件？ 【分析】 （1）设甲种工具每件 x 元，乙种工具每件 y 元，根据“如果购买甲种 3 件，乙种 2 件，共需 56 元；如果购买甲种 1 件，乙种 4 件，共需 32 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 结论； （2） 设购进甲种工具 m 件， 则购进乙种工具 （100m） 件， 根据总价单价数量结合总价不超过 1100 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可求出 m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出 结论 【解答】解： （1）设甲种工具每件 x 元，乙种工具每件 y 元， 依题意得：，

23、 解得： 答：甲种工具每件 16 元，乙种工具每件 4 元 （2）设购进甲种工具 m 件，则购进乙种工具（100m）件， 依题意得：16m+4（100m）1100， 解得：m58， 又m 为非负整数， m 的最大值为 58 答：最多可以购买甲种工具 58 件 22 （9 分）如图，ABC 为等边三角形，DEAC，点 O 为线段 EC 上一点，DO 的延长线与 AC 的延长线 交于点 F，DOFO （1）求证：BDE 是等边三角形； （2）求证：DOEFOC； （3）若 AC7，FC3，求 OC 【分析】 （1）根据等边三角形的性质和判定解答即可； （2）根据 ASA 证明DOEFOC 即可；

24、（3）根据等边三角形的性质解答即可 【解答】证明： （1）ABC 为等边三角形， ABACB， DEAC， ABDE，ACBDEB， BBDEDEB， BDE 是等边三角形； （2）DEAC， EDOCFO， 在DOE 和FOC 中， ， DOEFOC（ASA） ； （3）ABC 为等边三角形， BCAC7， 由（1） （2）得：BEDECF3，EOCO， ECBCBE4， OCEC2 23 （9 分）人教版初中数学教科书八年级上册第 84 页探究了“三角形中边与角之间的不等关系” ，部分原 文如下： 如图 1，在ABC 中，如果 ABAC，那么我们可以将ABC 折叠，使边 AC 落在 AB

25、上，点 C 落在 AB 上的 D 点，折线交 BC 于点 E，则CADE ADEB（想一想为什么） ， CB （1）请证明上文中的ADEB； （2）如图 2，在ABC 中，如果ACBB，能否证明 ABAC？ 同学小雅提供了一种方法：将ABC 折叠，使点 B 落在点 C 上，折线交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，再 运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （3）如图 3，在ABC 中，C2B，按照图 1 的方式进行折叠，得到折痕 AE，过点 E 作 AC 的平行 线交 AB 于点 M，若BEA110，求DEM 的度数 【分析】 （1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；

26、 （2）先由折叠得出 BFCF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论； （3）先判断出BBED，再判断出MAEMEA，进而求出B+BAE70，即可得出结论 【解答】 （1）证明：ADEB+BED， ADEB； （2）证明：由折叠知，BFCF， 在ACF 中，AF+FCAC， AF+BFAC， ABAC； （3）由折叠知，MAEEAC，ADEC， C2B， ADE2B， ADEB+BED， BBED， MEAC， MEAEAC， MAEEAC， MAEMEA， BEA110， B+BAE180BEA18011070， BED+MEAB+BAM70， DEMBEA（BED+MEA）1107040

27、24 （10 分） 我们定义： 如果两个多项式 A 与 B 的差为常数， 且这个常数为正数， 则称 A 是 B 的 “雅常式” ， 这个常数称为 A 关于 B 的“雅常值” 如多项式 Ax2+2x+1，B（x+4） （x2） ，AB（x2+2x+1）（x+4） （x2）（x2+2x+1）（x2+2x 8）9，则 A 是 B 的“雅常式”A 关于 B 的“雅常值”为 9 （1）已知多项式 Cx2+x1，D（x+2） （x1） ，判断 C 是否为 D 的“雅常式” ，若不是，请说明理 由，若是，请证明并求出 C 关于 D 的“雅常值” ； （2）已知多项式 M（xa）2，Nx22x+b（a，b 为

28、常数） ，M 是 N 的“雅常式” ，且当 x 为实数时， N 的最小值为2，求 M 关于 N 的“雅常值” ； （3）若多项式 Px2+b1x+c1是 Qx2+b2x+c2的“雅常式” ， （b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数） ，是 否存在常数 k，使得 PQ（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出 一个满足条件的 k 值以及对应的多项式 P 【分析】 （1）先计算 CD1，再根据“雅常式”的定义即可判断 C 是 D 的“雅常式” ，并求出 C 关于 D 的“雅常值” ； （2）先求出 MN（2a+2）x+a2b，由 M 是 N 的“雅常

29、式”得出2a+20，得出 a1由 x 为 实数时，N 的最小值为2，得出1+b2，求出 b1，进而求出 MN2； （3）由多项式 Px2+b1x+c1是 Qx2+b2x+c2的“雅常式” ，得出 b1b2根据 b1，c1，b2，c2为常数， 且都为整数，得出进行因式分解时（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）的部分可以两两组合，然后分三种情况进 行讨论：（x+1） （x+2）（x+5） （x+k）；（x+1） （x+5）（x+2） （x+k）；（x+1） （x+k）（x+5） （x+2） 【解答】解： （1）CD（x2+x1）（x+2） （x1） （x2+x1）（x2+x2） 1， C

30、 是否为 D 的“雅常式” ， “雅常值”为 1； （2）M 是 N 的“雅常式” ， MN（xa）2（x22x+b） （x22ax+a2）（x22x+b） （2a+2）x+a2b， 2a+20， a1 Nx22x+b（x1）21+b， 且当 x 为实数时，N 的最小值为2， 1+b2， b1， MNa2b1（1）2； （3）多项式 Px2+b1x+c1是 Qx2+b2x+c2的“雅常式” ， b1b2 b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数， 进行因式分解时（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）的部分可以两两组合，分三种情况： （x+1） （x+2）（x+5） （x+k）， 则 1

31、+25+k，解得 k2， 此时 PQ（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）4（x2+3x）28（x2+3x）24，不合题意舍去； （x+1） （x+5）（x+2） （x+k）， 则 1+52+k，解得 k4， 此时 PQ（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）4 （x+1） （x+5）（x+2） （x+4）4 （x2+6x+5） （x2+6x+8）4 （x2+6x）2+13（x2+6x）+36 （x2+6x+4） （x2+6x+9） ，符合题意， PQ0， Px2+6x+9； （x+1） （x+k）（x+5） （x+2）， 则 1+k5+2，解得 k6， 此时 PQ（x+1） （

32、x+2） （x+5） （x+k）4（x2+7x）2+16（x2+7x）+56，不合题意舍去； 综上，存在常数 k4，使得 PQ（x+1） （x+2） （x+5） （x+k）4，此时对应的多项式 Px2+6x+9 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，ABAC，BAC90，CM y 轴，交 y 轴于点 M （1）求证ABOCAM； （2）如图 2，D，E 为 y 轴上的两个点，BDBE，BDBE，求CEM 的度数； （3）如图 3，PAQ 是等腰直角三角形，PAQ 为顶角，点 Q 在 x 轴负半轴上，连接 CB，交 y 轴于点 H，AC 与

33、x 轴交于点 G，连接 PC，交 AQ 于点 K，交 x 轴于点 N，若 CNCM，NG3，HM2，求 GH 【分析】 （1）先由直角三角形的性质得BAO+ABO90，再由BACBAO+CAM90，即 可得出ABOCAM； （2）先证AMCBOA（AAS） ，得 CMAO，AMBO，再由等腰直角三角形的性质得BDE BED45，EBODBE45，然后证CME 是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）先证PACQAB（SAS） ，得APCAQB，在 ON 的延长线上截取 NIMH，连接 CI，再证 CNICMH（SAS） ，得NCIMCH，CICH，然后证GCIGCH（SAS） ，得 GIGH，

34、进 而得出答案 【解答】 （1）证明：BOA90， BAO+ABO90， 又BACBAO+CAM90， ABOCAM； （2）解：CMy 轴， AMCBOA90， ABAC，ABOCAM， AMCBOA（AAS） ， CMAO，AMBO， BDBE，BDBE， BDE 是等腰直角三角形， BDEBED45，EBODBE45， EBOBEO， BOEOAM， EOOMAMOM， EMAOCM， CME 是等腰直角三角形， CEM45； （3）解：ABAC，BAC90， ACB45， PAQ 是等腰直角三角形， PAQA，PAQCAB90， PAQ+QACCAB+QAC， 即PACQAB， ACAB， PACQAB（SAS） ， APCAQB， AKPQKN， QNKPAK90， CMy 轴， CMNO， NCMKNO90， 在 ON 的延长线上截取 NIMH，连接 CI，如图 3 所示： CNCM，CNICMH90， CNICMH（SAS） ， NCIMCH，CICH， NCG+NCINCG+MCHNCMGCH904545GCHGCI， GCIGCH（SAS） ， GIGH， GIIN+NGHM+NG2+35， GH5