2020-2021学年河南省焦作市解放区八年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年河南省焦作学年河南省焦作市市解放区解放区八年级（上）期中数学试卷八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在2，3.14 这 4 个数中，无理数是（ ） A2 B C D3.14 2下列的曲线中，表示 y 是 x 的函数的共有（ ）个 A1 B2 C3 D4 3以下四组数中，不是勾股数的是（ ） A3n，4n，5n（n 为正整数） B5，12，13 C20，21，29 D8，5，7 4实数 m，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A|m|1 B1m1 Cmn0 Dm+10 5如图，两个不同

2、的一次函数 yax+b 与 ybx+a 的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ） A B C D 6 已知点 A （x1， a） ， B （x1+1， b） 都在函数 y2x+3 的图象上， 下列对于 a， b 的关系判断正确的是 （ ） Aab2 Bab2 Ca+b2 Da+b2 7点 P1（a1，2012）和 P2（2009，b1）关于 x 轴对称，则（a+b）2019的值为（ ） A1 B1 C0 D无法确定 8已知5x，则 x 的取值范围是（ ） A为任意实数 B0 x5 Cx5 Dx5 9现规定一种运算：abab+ab，其中 a，b 为实数，则等于（ ） A6 B2 C2 D6

3、10如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） 将 正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ） A （，2） B （2，2） C （，2） D （4，2） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分分) 11的算术平方根是 12设点（1，m）和点（，n）是直线 y（k21）x+b（0k1）上的两个点，则 m、n 的大小关系 为 13将一次函数 y5x1 的图象向上平移 3 个单位，所得直线不经过第 象限 14如果+（2y+1）20，那么 x2018y2017 15

4、如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线 l1、l2，过点（1，0）作 x 轴的垂 线交 l2于点 A1，过点 A1作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 y 轴 的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2020的坐标为 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （16 分） （1）（） ； （2） （1）101+（3）0+（） 1 ； （3） （）（）+|+（52）0； （4）|2|（） 17 （7 分）如图，已知ABC 的顶点分别为 A（2，2） 、B（4，5） 、C（5，1）和直线 m（直

5、线 m 上 各点的横坐标都为 1） （1）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）作出ABC 关于 y 轴对称的图形A2B2C2，并写出点 B2的坐标； （3）若点 P（a，b）是ABC 内部一点，则点 P 关于直线 m 对称的点的坐标是 18 （8 分）如图，将长方形 ABCD 沿 AC 对折，使ABC 落在AEC 的位置，且 CE 与 AD 相文于点 F （1）求证：EFDF （2）若 AB，BC3 求折叠后的重叠部分（阴影部分）的面积 19 （7 分）正比例函数与一次函数的图象如图所示，其中交点坐标为 A（4，3） ，B 为一次函数与 y 轴交点，

6、且 OA2OB （1）求正比例函数与一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积 20 （8 分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠 设某学生暑期健身 x （次） ， 按照方案一所需费用为 y1（元） ， 且 y1k1x+b； 按照方案二所需费用为 y2（元） ， 且 y2k2x其函数图象如图所示 （1）求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和 k2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选择哪种方案

7、所需费用更少？说明理由 21 （9 分）小明在解决问题：已知 a，求 2a28a+1 的值，他是这样分析与解答的： 因为 a2， 所以 a2 所以（a2）23，即 a24a+43 所以 a24a1 所以 2a28a+12（a24a）+12（1）+11 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： （2）计算：+； （3）若 a，求 4a28a+1 的值 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C（2，m）为 直线 yx+2 上一点，直线 yx+b 过点 C （1）求 m 和 b 的值； （2）直线 yx+b 与 x 轴交

8、于点 D，动点 P 在线段 DA 上从点 D 开始以每秒 1 个单位的速度向 A 点 运动设点 P 的运动时间为 t 秒 若ACP 的面积为 10，求 t 的值； 是否存在 t 的值，使ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 23 （10 分）热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料： 在 x 轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0） 则这两个点所成的线段的长为|ac|；同样， 若在 y 轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d） ，则这两个点所成的线段的长为|bd|如图 1，在直角 坐标系中的任意两点 P1，P2，其坐标分别为（a，b）和（c，d

9、） ，分别过这两个点作两坐标轴的平行线， 构成一个直角三角形，其中直角边 P1Q|ac|，P2Q|bd|，利用勾股定理可得，线段 P1P2的长为 根据上面材料，回答下面的问题： （1）在平面直角坐标系中，已知 A（6，1） ，B（6，5） ，则线段 AB 的长为 ； （2）若点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标是（3，0） ，且 CD6，则点 C 的坐标是 ； （3）如图 2，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（3，0） ，点 C 是 y 轴上的一个动点， 且 A，B，C 三点不在同一条直线上，求ABC 周长的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每小题一

10、、单选题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在2，3.14 这 4 个数中，无理数是（ ） A2 B C D3.14 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项 【解答】解：2，3.14 是有理数， 是无理数， 故选：C 2下列的曲线中，表示 y 是 x 的函数的共有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即 可确定函数的个数 【解答】解：第一个图中，对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，符合题意； 第二个图中，对于 x 的每一个取值，y 可能有两个值与之对应，不符合题意；

11、 第三个图中，对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，符合题意； 第四个图中，对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，符合题意； 故选：C 3以下四组数中，不是勾股数的是（ ） A3n，4n，5n（n 为正整数） B5，12，13 C20，21，29 D8，5，7 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长 边的平方 【解答】解：A、3n2+4n25n2，是勾股数； B、52+122132，是勾股数； C、202+212292，是勾股数； D、72+5282，不是勾股数； 故选：D 4实数 m，n 在数轴上对应点的位置

12、如图所示，则下列判断正确的是（ ） A|m|1 B1m1 Cmn0 Dm+10 【分析】利用数轴表示数的方法得到 m0n，然后对各选项进行判断 【解答】解：利用数轴得 m01n， 所以m0，1m1，mn0，m+10 故选：B 5如图，两个不同的一次函数 yax+b 与 ybx+a 的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ） A B C D 【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到 a 和 b 的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位 置是否符号要求 【解答】解：A、若经过第一、二、三象限的直线为 yax+b，则 a0，b0，所以直线 ybx+a 经过第 一、二、三象限，所以 A 选项错误

13、； B、若经过第一、二、四象限的直线为 yax+b，则 a0，b0，所以直线 ybx+a 经过第一、三、四象 限，所以 B 选项错误； C、若经过第一、三、四象限的直线为 yax+b，则 a0，b0，所以直线 ybx+a 经过第一、二、四象 限，所以 C 选项正确； D、若经过第一、二、三象限的直线为 yax+b，则 a0，b0，所以直线 ybx+a 经过第一、二、三 象限，所以 D 选项错误； 故选：C 6 已知点 A （x1， a） ， B （x1+1， b） 都在函数 y2x+3 的图象上， 下列对于 a， b 的关系判断正确的是 （ ） Aab2 Bab2 Ca+b2 Da+b2 【分

14、析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 a，b 的值（用含 x1的代数式表示） ，二者做差后即可 得出结论 【解答】解：点 A（x1，a） ，B（x1+1，b）都在函数 y2x+3 的图象上， a2x1+3，b2x1+1， ab2 故选：A 7点 P1（a1，2012）和 P2（2009，b1）关于 x 轴对称，则（a+b）2019的值为（ ） A1 B1 C0 D无法确定 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出 a，b 的值，即可得出答案 【解答】解：点 P1（a1，2012）和 P2（2009，b1）关于 x 轴对称， a12009，b12012， 解得：a2010，b2011，

15、则（a+b）2019（20102011）20191 故选：A 8已知5x，则 x 的取值范围是（ ） A为任意实数 B0 x5 Cx5 Dx5 【分析】根据二次根式的性质得出 5x0，求出即可 【解答】解：5x， 5x0， 解得：x5， 故选：D 9现规定一种运算：abab+ab，其中 a，b 为实数，则等于（ ） A6 B2 C2 D6 【分析】先计算4，2，再依据新定义规定的运算 abab+ab 计算可得 【解答】解： 4（2） 4（2）+4（2） 8+4+2 2， 故选：B 10如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） 将

16、正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ） A （，2） B （2，2） C （，2） D （4，2） 【分析】根据已知条件得到 AC6，OC2，OB7，求得 BC9，根据正方形的性质得到 DEOC OE2，求得 OEOC2，根据相似三角形的性质得到 BO3，于是得到结论 【解答】解：如图，设正方形 DCOE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方形， 顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） ， AC6，OC2，OB7， BC9， 四边形 OCDE 是正方形， DEOCOE2， OEOC2， EOBC， BOEBCA90， EOA

17、C， BOEBCA， ， ， BO3， OC7232， 当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2） ， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分分) 11的算术平方根是 【分析】根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可 【解答】解：5225， 5， 的算术平方根是 故答案为： 12设点（1，m）和点（，n）是直线 y（k21）x+b（0k1）上的两个点，则 m、n 的大小关系 为 mn 【分析】先根据一次函数的解析式判断出该函数的增减性，再根据1及可判断出 m、n 的大小 【解答】解：0k1， 直线 y（k21）x+b 中，k

18、210， y 随 x 的增大而减小， 1， mn 故答案是：mn 13将一次函数 y5x1 的图象向上平移 3 个单位，所得直线不经过第 四 象限 【分析】根据一次函数图象的平移规律，可得答案 【解答】解：将一次函数 y5x1 的图象向上平移 3 个单位，得 y5x+2， 直线 y5x+2 经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四 14如果+（2y+1）20，那么 x2018y2017 2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值，代入所求代数式计算即可 【解答】解：+（2y+1）20， x20 且 2y+10， 解得 x2，y， 则原式xx2017y2017 x （xy）

19、2017 2（2） 2017 2（1）2017 2（1） 2， 故答案为：2 15如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线 l1、l2，过点（1，0）作 x 轴的垂 线交 l2于点 A1，过点 A1作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 y 轴 的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2020的坐标为 （21010，21010） 【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根 据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1） ，A

20、4n+2（22n+1，22n+1） ，A4n+3（22n+1，22n+2） ， A4n+4（22n+2，22n+2） （n 为自然数） ” ，依此规律结合 20205054 即可找出点 A2020的坐标 【解答】解：当 x1 时，y2， 点 A1的坐标为（1，2） ； 当 yx2 时，x2， 点 A2的坐标为（2，2） ； 同理可得：A3（2，4） ，A4（4，4） ，A5（4，8） ，A6（8，8） ，A7（8，16） ，A8（16，16） ， A9（16，32） ， A4n+1（22n，22n+1） ，A4n+2（22n+1，22n+1） ， A4n+3（22n+1，22n+2） ，A4n

21、+4（22n+2，22n+2） （n 为自然数） 20205054， 点 A2020的坐标为（21010，21010） ， 故答案为： （21010，21010） 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （16 分） （1）（） ； （2） （1）101+（3）0+（） 1 ； （3） （）（）+|+（52）0； （4）|2|（） 【分析】 （1）先把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算； （2）根据乘方的意义、零指数幂、负整数指数幂和二次根式的性质计算； （3）利用二次根式的乘法法则、绝对值和零指数幂的意义计算； （4）先进行二次根式的乘法法则运算，然后去绝对值后合并即可 【解

22、答】解： （1）原式2 ； （2）原式1+1+2（1） 2+1 3； （3）原式+1+1 3+ 4； （4）原式2（）+ 2（）+ 2+ 21 17 （7 分）如图，已知ABC 的顶点分别为 A（2，2） 、B（4，5） 、C（5，1）和直线 m（直线 m 上 各点的横坐标都为 1） （1）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）作出ABC 关于 y 轴对称的图形A2B2C2，并写出点 B2的坐标； （3）若点 P（a，b）是ABC 内部一点，则点 P 关于直线 m 对称的点的坐标是 （2a，b） 【分析】 （1）分别作出点 A，B，C 关于 x 轴的对称

23、点，再首尾顺次连接可得； （2）分别作出点 A，B，C 关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）利用对称轴为直线 x1，进而得出 P 点的对应点坐标 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求，其中点 B1的坐标为（4，5） ； （2）如图所示，A2B2C2即为所求，其中点 B2的坐标为（3，5） ； （3）ABC 的内部一点 P（a，b） ， 设点 P 关于直线 m 对称的点 P的横坐标为：x， 则1，故 x2a， 点 P 关于直线 m 对称的点的坐标是（2a，b） 故答案为： （2a，b） 18 （8 分）如图，将长方形 ABCD 沿 AC 对折，使ABC 落在AEC 的

24、位置，且 CE 与 AD 相文于点 F （1）求证：EFDF （2）若 AB，BC3 求折叠后的重叠部分（阴影部分）的面积 【分析】 （1）根据折叠的性质得到 AEAB，EB90，易证 RtAEFRtCDF，即可得到结 论； （2）根据（1）易得 FCFA，设 FAx，则 FCx，FD3x，在 RtCDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程 x2（）2+（3x）2，解方程求出 x，然后根据三角形的面积公式计算即可 【解答】 （1）证明：如图， 矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使ABC 落在ACE 的位置， AEAB，EB90， 又四边形 ABCD 为矩形， ABCD， AEDC， 而AF

25、EDFC， RtAEFRtCDF， EFDF； （2）四边形 ABCD 为矩形， ADBC3，CDAB， RtAEFRtCDF， FCFA， 设 FAx，则 FCx，FD3x， 在 RtCDF 中，CF2CD2+DF2，即 x2（）2+（3x）2，解得 x2， 折叠后的重叠部分的面积AFCD2 19 （7 分）正比例函数与一次函数的图象如图所示，其中交点坐标为 A（4，3） ，B 为一次函数与 y 轴交点， 且 OA2OB （1）求正比例函数与一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）先把 A（4，3）代入正比例函数 ykx 可求出 k 的值，再利用勾股定理计算出 OA 的长

26、，则 可得到 OB 的长，确定 B 点坐标，然后利用待定系数法确定直线 AB 的解析式； （2）根据三角形的面积公式计算 【解答】解： （1）设正比例函数为 ykx， 把 A（4，3）代入得 34k，解得 k， 故正比例函数的解析式为 yx； 又OA2OB， 而 OA5， OB， B 点坐标为（0，） ， 设直线 AB 的解析式为：ymx， 把 A（4，3）代入得 34m， m， 一次函数解析式为 yx； （2）SAOBOB|xA|45 20 （8 分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期

27、专享卡，每次健身费用按八折优惠 设某学生暑期健身 x （次） ， 按照方案一所需费用为 y1（元） ， 且 y1k1x+b； 按照方案二所需费用为 y2（元） ， 且 y2k2x其函数图象如图所示 （1）求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和 k2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由 【分析】 （1）把点（0，30） ， （10，180）代入 y1k1x+b，得到关于 k1和 b 的二元一次方程组，求解即 可； （2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健

28、身费用按 八折优惠，求出 k2的值； （3）将 x8 分别代入 y1、y2关于 x 的函数解析式，比较即可 【解答】解： （1）y1k1x+b 过点（0，30） ， （10，180） ， ，解得， k115 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为 15 元， b30 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为 30 元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为 150.625（元） ， 则 k2250.820； （3）选择方案一所需费用更少理由如下： 由题意可知，y115x+30，y220 x 当健身 8 次时， 选择方案一所需费用：y1158+30150（元） ，

29、选择方案二所需费用：y2208160（元） ， 150160， 选择方案一所需费用更少 21 （9 分）小明在解决问题：已知 a，求 2a28a+1 的值，他是这样分析与解答的： 因为 a2， 所以 a2 所以（a2）23，即 a24a+43 所以 a24a1 所以 2a28a+12（a24a）+12（1）+11 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： 1 （2）计算：+； （3）若 a，求 4a28a+1 的值 【分析】 （1）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （3）根据题意得出 a 的值，再得出 a22a1，再把已知变形得出答案

30、 【解答】解： （1）1 故答案为：1； （2）原式（1）+（）+（）+（） 1 101 9 （3）因为 a+1， 所以 a1所以（a1）22，即 a22a+12 所以 a22a1 所以 4a28a+14（a22a）+141+15 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C（2，m）为 直线 yx+2 上一点，直线 yx+b 过点 C （1）求 m 和 b 的值； （2）直线 yx+b 与 x 轴交于点 D，动点 P 在线段 DA 上从点 D 开始以每秒 1 个单位的速度向 A 点 运动设点 P 的运动时间为 t 秒 若ACP

31、的面积为 10，求 t 的值； 是否存在 t 的值，使ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把点 C（2，m）代入直线 yx+2 中得：m2+24，则点 C（2，4） ，直线 yx+b 过 点 C，4b，b5； （2）由题意得：PDt，A（2，0） ，yx+5 中，当 y0 时，x+50，D（10，0） ，AD10+2 12，410，即可求解； 分 ACPC、APCP、ACAP 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）把点 C（2，m）代入直线 yx+2 中得：m2+24， 点 C（2，4） ， 直线 yx+b 过点 C， 4b，b5； （

32、2）由题意得：PDt， yx+2 中，当 y0 时，x+20， x2， A（2，0） ， yx+5 中，当 y0 时，x+50， x10， D（10，0） ， AD10+212， ACP 的面积为 10， 410， t7， 则 t 的值 7 秒； 设点 P（10t，0） ，点 A、C 的坐标为： （2，0） 、 （2，4） ， 当 ACPC 时，则点 C 在 AP 的中垂线上，即 2210t2， 解得：t4； 当 APCP 时，则点 P 在点 C 的正下方，故 210t， 解得：t8； 当 ACAP 时， 同理可得：t124 故：当 t4 秒或（124）秒或 8 秒时，ACP 为等腰三角形 2

33、3 （10 分）热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料： 在 x 轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0） 则这两个点所成的线段的长为|ac|；同样， 若在 y 轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d） ，则这两个点所成的线段的长为|bd|如图 1，在直角 坐标系中的任意两点 P1，P2，其坐标分别为（a，b）和（c，d） ，分别过这两个点作两坐标轴的平行线， 构成一个直角三角形，其中直角边 P1Q|ac|，P2Q|bd|，利用勾股定理可得，线段 P1P2的长为 根据上面材料，回答下面的问题： （1）在平面直角坐标系中，已知 A（6，1） ，B（6，5） ，则线段 AB 的长

34、为 6 ； （2） 若点C在y轴上， 点D的坐标是 （3， 0） ， 且CD6， 则点C的坐标是 或 ； （3）如图 2，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（3，0） ，点 C 是 y 轴上的一个动点， 且 A，B，C 三点不在同一条直线上，求ABC 周长的最小值 【分析】 （1）根据线段长度计算方法计算即可，因为 A（6，1） ，B（6，5）的横坐标相同，也可以直 接用|ac|求：|15|6|6； （2）根据线段长度计算方法计算即可； （3）找到点 A 关于 y 轴的对称点 A（1，4） ，连接 AB 交 y 轴于点 C，此时ABC 周长的最小， 即可求解 【解答】解： （1）A（6，1） ，B（6，5） ， 故答案为：6； （2）设 C 点坐标为（0，b） ， 则在 RtOCD 中，CD2OC2+OD2，即（30）2+（0b）262， 解得 所以 C 的坐标为或； 故答案为：或； （3）如图，设 A 点关于 y 轴的对称点为 A，则点 A的坐标为（1，4） ， 当 C 点为 AB 与 y 轴的交点时，ABC 的周长最小，因为 ACAC，所以ABC 的周长AB+AB 点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（3，0） ， AB2，. 所以ABC 的周长的最小值为