考点17 特殊的平行四边形备战2020年中考数学一轮复习考点导练案
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1、 1 考点 17 特殊的平行四边形 一一、矩形的性质与判定矩形的性质与判定 1矩形的性质: (1)四个角都是直角; (2)对角线相等且互相平分; (3)面积=长宽=2SABD=4SAOB(如图) 2矩形的判定: (1)定义法:有一个角是直角的平行四边形; (2)有三个角是直角; (3)对角线相等的平行四边形 二二、菱形的性质与判定菱形的性质与判定 1菱形的性质: (1)四边相等; (2)对角线互相垂直、平分,一条对角线平分一组对角; (3)面积=底 高=对角线乘积的一半 2菱形的判定: (1)定义法:有一组邻边相等的平行四边形; (2)对角线互相垂直的平行四边形; (3)四条边都相等的四边形
2、三三、正方形的性质与判定正方形的性质与判定 1正方形的性质: (1)四条边都相等,四个角都是直角; (2)对角线相等且互相垂直平分; 2 (3)面积=边长边长=2SABD=4SAOB 2正方形的判定: (1)定义法:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形; (2)一组邻边相等的矩形; (3)一个角是直角的菱形; (4)对角线相等且互相垂直、平分 四四、联系联系 (1)两组对边分别平行;(2)相邻两边相等;(3)有一个角是直角;(4)有一个角是直角; (5)相邻两边相等;(6)有一个角是直角,相邻两边相等;(7)四边相等;(8)有三个角都 是直角 五五、中点四边形中点四边形 (1)任意四边
3、形所得到的中点四边形一定是平行四边形. (2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. (3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. (4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 考向一 矩形的性质与判定 1矩形除了具有平行四边形的一切性质外,还具有自己单独的性质,即:矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等 2利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜 3 边的一半 3矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形 典例典例 1 (2019 陕西初三期中)如图,矩形 ABCD 的对角线交于点 O
4、,若BAO=55 ,则AOD 等 于 A105 B110 C115 D120 【答案】B 【解析】四边形 ABCD 是矩形,OA=OBBAO=ABO=55 AOD=BAO+ABO=55 +55 =110 故选 B 典例典例 2 (2019 阜阳市第九中学初二期中)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与数轴重合(点 C 在正 半轴上),AB=5,BC=12,点 A 表示的数是1,则对角线 AC、BD 的交点表示的数 A5.5 B5 C6 D6.5 【答案】A 【解析】连接 BD 交 AC 于 E,如图所示: 四边形 ABCD 是矩形, 1 90 , 2 BAEAC, 2222 51213ACA
5、BBC, AE=6.5, 点 A 表示的数是1,OA=1,OE=AEOA=5.5,点 E 表示的数是 5.5, 即对角线 AC、BD 的交点表示的数是 5.5;故选 A. 4 1(2019 陕西师大附中初三月考)如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那 么需要添加的条件是 AAB=BC BAC 垂直 BD CA=C DAC=BD 2(2019 云南初二期中)如图,在平行四边形ABCD中,对角线ACBD、交于点O,并且 6015DACADB, 点E是AD边上一动点, 延长EO交于BC点F, 当点E从点D 向点A移动过程中(点E与点D,A不重合),则四边形AFCE的变化是 A平
6、行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形 B平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 C平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形 D平行四边形矩形菱形正方形平行四边形 考向二 菱形的性质与判定 1菱形除了具有平行四边形的一切性质外,具有自己单独的性质,即:菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 2菱形的判定: 四条边都相等的四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 典例典例 3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A两组对边分别平行 B两组对边分别相等 C一组邻边相等 D对角线互相平分 5 【答案】C 【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较,可发现
7、 A,B,D 两者均具有,而 C 只有 菱形具有平行四边形不具有,故选 C 【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 典例典例 4 如图,四边形 ABCD 的对角线互相垂直,且满足 AO=CO,请你添加一个适当的条件 _,使四边形 ABCD 成为菱形(只需添加一个即可) 【答案】BO=DO(答案不唯一) 【解析】四边形 ABCD 中,AC、BD 互相垂直,若四边形 ABCD 是菱形,需添加的条件是:AC、BD 互相平分(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)故答案为:BO=DO(答案不唯一) 3已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 A45 ,135 B60 ,120 C9
8、0 ,90 D30 ,150 4如图,在ABC 中,AD 是BAC 的平分线,DEAC 交 AB 于 E,DFAB 交 AC 于 F,求证: 四边形 AEDF 是菱形 考向三 正方形的性质与判定 1正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质 6 2正方形的判定:以矩形和菱形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判定方法,如对角线互相 垂直平分且相等的四边形是正方形证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱 形,再根据相应判定方法证明四边形是正方形 典例典例 5 (2020 宁夏初二期中)面积为 9 2的正方形以对角线为边长的正方形面积为 A18 2 B20 2 C24 2 D28 2 【答案
9、】A 【解析】正方形的面积为 9cm2,边长为 3cm,根据勾股定理得对角线长= 22 3 +3 =3 2cm, 以3 2为边长的正方形的面积=( ) 2 3 2=18cm2.故选 A 典例典例 6 (2019 重庆初三期中)如图,在 ABC 中,B=90 ,AB=BC=4,把 ABC 绕点 A 逆时针 旋转 45 得到 ADE,过点 C 作 CFAE 于 F,DE 交 CF 于 G,则四边形 ADGF 的周长是 A8 B4+4 2 C8+ 2 D8 2 【答案】D 【解析】如图,连接 AG, B=90 ,AB=BC=4,CAB=ACB=45 ,AC=4 2,把 ABC 绕点 A 逆时针旋转
10、45 得到 ADE,AD=AB=4,EAD=CAB=45 ,FAB=90 ,CD=ACAD=4 24, B=90 =FAB,CFAE,四边形 ABCF 是矩形,且 AB=BC=4, 7 四边形 ABCF 是正方形,AF=CF=AB=4=AD,AFC=FCB=90 , GCD=45 ,且GDC=90 ,GCD=CGD=45 ,CD=GD=4 24, AF=AD,AG=AG,Rt AGFRt AGD(HL),FG=GD=4 24, 四边形 ADGF 的周长=AF+AD+FG+GD=4+4+4 24+424=82,故选 D 5(2019 山东初三期中)如图,在正方形 ABCD 内一点 E 连接 BE
11、、CE,过 C 作 CFCE 与 BE 延长线交于点 F,连接 DF、DECE=CF=1,DE= 6,下列结论中:CBECDF;BF DF;点 D 到 CF 的距离为 2;S四边形DECF= 2+1其中正确结论的个数是 A1 B2 C3 D4 6(2020 陕西初三期末)如图,在正方形 ABCD 中,,2BEFC CFFD,AE、BF 交于点 G, 下列结论中错误的是 AAEBF BAEBF C 4 3 BGGE D ABGCEGF SS 四边形 考向四 中点四边形 1中点四边形一定是平行四边形; 2中点四边形的面积等于原四边形面积的一半 8 典例典例 7 如图,任意四边形 ABCD 中,E,
12、F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点,对于四边形 EFGH 的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是 A当 E,F,G,H 是各边中点,且 AC=BD 时,四边形 EFGH 为菱形 B当 E,F,G,H 是各边中点,且 ACBD 时,四边形 EFGH 为矩形 C当 E,F,G,H 不是各边中点时,四边形 EFGH 可以为平行四边形 D当 E,F,G,H 不是各边中点时,四边形 EFGH 不可能为菱形 【答案】D 【解析】A当 E,F,G,H 是四边形 ABCD 各边中点,且 AC=BD 时,存在 EF=FG=GH=HE,故 四边形 EFGH
13、为菱形,故 A 正确; B当 E,F,G,H 是四边形 ABCD 各边中点,且 ACBD 时,存在EFG=FGH=GHE=90, 故四边形 EFGH 为矩形,故 B 正确; C 如图所示, 当 E, F, G, H 不是四边形 ABCD 各边中点时, 若 EFHG, EF=HG, 则四边形 EFGH 为平行四边形,故 C 正确; D如图所示,当 E,F,G,H 不是四边形 ABCD 各边中点时,若 EF=FG=GH=HE,则四边形 EFGH 为菱形,故 D 错误,故选 D 9 7顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是 A平行四边形 B菱形 C矩形 D梯形 8如图,我们把依次连接任意
14、四边形 ABCD 各边中点所得四边形 EFGH 叫中点四边形若四边形 ABCD 的面积记为 S1,中点四边形 EFGH 的面积记为 S2,则 S1与 S2的数量关系是 AS1=3S2 B2S1=3S2 CS1=2S2 D3S1=4S2 1如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,ADB=30 ,AB=4,则 OC= A5 B4 C3.5 D3 2(2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,已知AOD=120 ,AC=16,则图中长度为 8 的线段有 A2 条 B4 条 C5 条 D6 条 3如图,在长方形 ABC
15、D 中,AB=3,BC=4,若沿折痕 EF 折叠,使点 C 与点 A 重合,则折痕 EF 的长为 10 A15 8 B15 4 C15 2 D15 4如图,菱形 ABCD 的对角线交于点 O,AC=8 cm,BD=6 cm,则菱形的高为 A 48 5 cm B 24 5 cm C12 5 cm D10 5 cm 5(2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在菱形 ABCD 中,ADC=72 ,AD 的垂直 平分线交对角线 BD 于点 P,垂足为 E,连接 CP,则CPB 的度数是 A108 B72 C90 D100 6 (2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考)如图,在正方形 A
16、BCD 中,点 E,F 分别在边 BC, CD 上,且 BE=CF连接 AE,BF,AE 与 BF 交于点 G下列结论错误的是 AAE=BF BDAE=BFC CAEB+BFC=90 DAEBF 11 7如图,矩形 ABCD 中将其沿 EF 翻折后,D 点恰落在 B 处,BFE=65 ,则AEB=_. 8 (2018 陕西初三期末)如图,P 为正方形 ABCD 内一点,且 BP=2,PC=3,APB=135 ,将APB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到CPB,连接 PP,则 AP=_ 9如图,在ABCD 中,AB=6,BC=8,AC=10 (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2)求 BD
17、 的长 10(2020 内蒙古初三期末)如图,ABC 中,AB=AC=1,BAC=45 ,AEF 是由ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的,连接 BE,CF 相交于点 D (1)求证:BE=CF; (2)当四边形 ACDE 为菱形时,求 BD 的长 12 11(2020 呼和浩特市第十三中学初二期中)如图,ABC 中,点 O 是 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MNBC,交ACB 的平分线于点 E,交ACB 的外角平分线于点 F (1)判断 OE 与 OF 的大小关系?并说明理由; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并说出你的理由; (3)在(2)的条件下,当
18、ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 是正方形直接写出答案, 不需说明理由 1(2019重庆)下列命题正确的是 A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 13 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 2(2019天津)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C, D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于 A5 B4 3 C4 5 D20 3(2019安徽)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 将对角线 AC 三等分,且 AC=12,点 P 在正 方形的边上,则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 A0
19、B4 C6 D8 4 (2019湖北孝感)如图,正方形 ABCD 中,点 E.F 分别在边 CD,AD 上,BE 与 CF 交于点 G若 BC=4,DE=AF=1,则 GF 的长为 A13 5 B12 5 C19 5 D16 5 5(2019天津)如图,正方形纸片ABCD的边长为 12,E是边CD上一点,连接AE折叠该 纸片, 使点A落在AE上的G点, 并使折痕经过点B, 得到折痕BF, 点F在AD上 若5DE , 则GE的长为_ 14 6(2019浙江杭州)如图,把某矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠(点 E、H 在 AD 边上,点 F、 G 在 BC 边上),使得点 B、点 C 落在
20、 AD 边上同一点 P 处,A 点的对称点为 A 点,D 点的对称 点为D点,若90FPG?,A EP 的面积为 4,D PH 的面积为 1,则矩形 ABCD 的面积等 于_. 7 (2019湖北十堰) 如图, 已知菱形 ABCD 的对角线 AC, BD 交于点 O, E 为 BC 的中点, 若 OE=3, 则菱形的周长为_ 8(2019湖南长沙)如图,正方形 ABCD,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且 DE=CF,AF 与 BE 相 交于点 G (1)求证:BE=AF; (2)若 AB=4,DE=1,求 AG 的长 15 9(2019湖南怀化)已知:如图,在ABCD 中,AEBC,CF
21、AD,E,F 分别为垂足 (1)求证:ABECDF; (2)求证:四边形 AECF 是矩形 10 (2019湖南岳阳)如图,在菱形 ABCD 中,点 E.F 分别为 ADCD 边上的点,DE=DF,求证: 1=2 11(2019福建)如图,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点,且 DF=BE求证: AF=CE 16 12(2019江西) 如图, 四边形 ABCD 中, AB=CD, AD=BC, 对角线 AC, BD 相交于点 O, 且 OA=OD 求 证:四边形 ABCD 是矩形 13(2019浙江宁波10 分)如图,矩形 EFGH 的顶点 E,G 分别在菱形 ABC
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