考点15 等腰三角形与直角三角形备战2020年中考数学一轮复习考点导练案
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1、 1 考点 15 等腰三角形与直角三角形 一一、等腰三角形、等腰三角形 1等腰三角形的性质等腰三角形的性质 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论 1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高重合 推论 2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60 2等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)这 个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2:有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 推论
2、3:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 二、二、等边三角形等边三角形 1定义:三条边都相等的三角形是等边三角形 2性质:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60 3判定:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 三三、直角三角形与勾股定理、直角三角形与勾股定理 1直角三角形直角三角形 定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 性质:(1)直角三角形两锐角互余; (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半; (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 判定:(1)两
3、个内角互余的三角形是直角三角形; (2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形 2勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理 (1)勾股定理:直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方,即:a2+b2=c2 2 (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边 a、b、c 有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直 角三角形 考向一 等腰三角形的性质 1等腰三角形是轴对称图形,它有 1 条或 3 条对称轴 2等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 3等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角) 4等腰三角形的三边关系:设腰长为 a,底
4、边长为 b,则 2 b a 5等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为A,底角为B、C,则A=180 -2B,B=C= 2 180A 典例典例 1 (2020 四川省武胜县万善初级中学初二月考)等腰三角形的一个内角为 40 ,则其余两个 内角的度数分别为 A40 ,100 B70 ,70 C60 ,80 D40 ,100 或 70 ,70 【答案】D 【解析】若等腰三角形的顶角为 40 时,另外两个内角=(180 40 ) 2=70 ; 若等腰三角形的底角为 40 时,它的另外一个底角为 40 ,顶角为 180 40 40 =100 所以另外两个内角的度数分别为:40 、100 或 70 、70
5、故选 D 【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为 180o,解题关键是分情况进行讨论已 知角为顶角时;已知角为底角时 典例典例 2 (2019 延安市实验中学初二期末)如图,在ABC中,AB=AC,D 是 BC 的中点,下列结 论不正确的是 3 AADBC BB=C CAB=2BD DAD 平分BAC 【答案】C 【解析】因为 ABC 中,AB=AC,D 是 BC 中点,根据等腰三角形的三线合一性质可得, AADBC,故 A 选项正确; BB=C,故 B 选项正确; C无法得到 AB=2BD,故 C 选项错误; DAD 平分BAC,故 D 选项正确 故选 C 【名师点睛】此题主要
6、考查了等腰三角形的性质,本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质. 1(2020 自贡市田家炳中学初二期中)等腰三角形的周长为 13cm,其中一边长为 4cm,则该等腰 三角形的底边为_cm. 考向二 等腰三角形的判定 1等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据,是把三角形中的角的相等关系转化为边 的相等关系的重要依据 2底角为顶角的 2 倍的等腰三角形非常特殊,其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形 典例典例 3 如图,在ABC 中,AB=AC,ADBC 于 D,E 是 AB 上的一点,EFAD 交 CA 的延长线 于 F 求证:AEF 是等腰三角形 4 【解析】AB=AC,A
7、DBC,BAD=CAD 又ADEF,F=CAD,FEA=BAD, FEA=F, AEF 是等腰三角形 2已知在ABC 中,AB=5,BC=2,且 AC 的长为奇数 (1)求ABC 的周长;(2)判断ABC 的形状 考向三 等边三角形的性质 1等边三角形具有等腰三角形的一切性质 2等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴 3等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合 典例典例 4 (2019 山东初二期末)如图,在 ABC 中,B=C=60 ,点 D 为 AB 边的中点,DEBC 于 E,若 BE=1,则 AC 的长为_ 【答案】4 5 【解析】DEBC,B=C=60 , BDE=30 ,BD=2BE
8、=2, 点 D 为 AB 边的中点,AB=2BD=4, B=C=60 ,ABC 为等边三角形, AC=AB=4,故答案为:4 【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质,利用直角三角形的性质 求得 AB=2BD 是解题的关键. 3(2020 山东初二期中) 如图, ABC是等边三角形, 点D在AC上, 以BD为一边作等边BDE, 连接CE (1)说明ABDCBE的理由; (2)若 0 80BEC ,求DBC的度数 考向四 等边三角形的判定 在等腰三角形中,只要有一个角是 60 ,无论这个角是顶角还是底角,这个三角形就是等边三角形 典例典例 5 下列推理中,错误的是 AA=
9、B=C,ABC 是等边三角形 BAB=AC,且B=C,ABC 是等边三角形 CA=60 ,B=60 ,ABC 是等边三角形 DAB=AC,B=60 ,ABC 是等边三角形 6 【答案】B 【解析】A,A=B=C,ABC 是等边三角形,故正确; B,条件重复且条件不足,故不正确; C,A=60 ,B=60 ,C=60 ,ABC 是等边三角形 60 ,故正确; D,根据有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形可以得到,故正确故选 B 4如图,已知 OA=5,P 是射线 ON 上的一个动点,AON=60 当 OP=_时,AOP 为 等边三角形 考向五 直角三角形 在直角三角形中,30 的角所对的直
10、角边等于斜边的一半,这个性质常常用于计算三角形的边长,也 是证明一边(30 角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据当题目中已知的条件或 结论倾向于该性质时,我们可运用转化思想,将线段或角转化,构造直角三角形,从而将陌生的问 题转化为熟悉的问题 典例典例 6 如图,在 RtABC 中,C=90 ,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,若B=30 ,BD=6,则 CD 的长为_ 【答案】3 【解析】在 RtABC 中,C=90 ,B=30 ,BAC=60 又 AD 平分BAC,BAD= CAD=30 , BAD=B=30 ,AD=BD=6,CD= 1 2 AD=3,故答案为:3 7 5
11、已知直角三角形的两条边分别是 5 和 12,则斜边上的中线的长度为_ 考向六 勾股定理 1应用勾股定理时,要分清直角边和斜边,尤其在记忆 a2+b2=c2时,斜边只能是 c若 b 为斜边, 则关系式是 a2+c2=b2;若 a 为斜边,则关系式是 b2+c2=a2 2 如果已知的两边没有明确边的类型, 那么它们可能都是直角边, 也可能是一条直角边、 一条斜边, 求解时必须进行分类讨论,以免漏解 典例典例 7 (2020 云南初二月考)直角三角形的两条直角边长分别为 2cm 和6cm,则这个直角三 角形的周长为_. 【答案】3 2+ 6cm 【解析】直角边长为: 2cm 和6cm,斜边= 22
12、26=2 2 (cm), 周长= 2+ 6+2 2=3 2+ 6(cm). 故答案为:3 2+ 6cm 【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长,面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜 边是关键 6如图所示,在ABC中,90B , 3AB ,5AC ,D为BC边上的中点. (1)求BD、AD的长度; (2)将ABC折叠,使A与D重合,得折痕EF;求AE、BE的长度. 8 1(2020 浙江初二月考)直角三角形两直角边长分别为 6 和 8,则此直角三角形斜边上的中线长是 A3 B4 C7 D5 2(2020 山东初二期中)如图,ABC是等边三角形, 0 ,20BCBDBAD,则BCD的
13、度数为 A50 B55 C60 D65 3 (2019 吉林初二期末) 如图是“人字形”钢架, 其中斜梁 AB=AC, 顶角BAC=120 , 跨度 BC=10m, AD 为支柱(即底边 BC 的中线),两根支撑架 DEAB,DFAC,则 DE+DF 等于 A10m B5m C2.5m D9.5m 4 (2019 河南初二期中)如图,ABC是边长为 1 的等边三角形,BDC 为顶角120BDC的 等腰三角形,点M、N分别在AB、AC上,且60MDN,则AMN的周长为 9 A2 B3 C1.5 D2.5 5(2020 北京北理工附中初二期中)如图, ABC 中,D、E 两点分别在 AC、BC 上
14、,AB=AC, CD=DE若A=40 ,ABD:DBC=3:4,则BDE= A24 B25 C30 D35 6已知等腰三角形的一边长等于 4,一边长等于 9,则它的周长为 A22 B17 C17 或 22 D26 7如图,ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 D 在 BC 上,且 AD 平分BAC,则 AD 的长为 A6 B5 C4 D3 8如图,A、B 两点在正方形网格的格点上,每个方格都是边长为 1 的正方形,点 C 也在格点上, 且ABC 是等腰三角形,则符合条件是点 C 共有 10 A8 个 B9 个 C10 个 D11 个 9如图,RtABC 中,B=90 ,AB=9,BC=6,
15、将ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合, 折痕为 MN,则线段 AN 的长等于 A5 B6 C4 D3 10将一个有 45 角的三角尺的直角顶点 C 放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上,另一个顶点 A 在纸带 的另一边沿上,测得三角尺的一边 AC 与纸带的一边所在的直线成 30 角,如图,则三角尺的最 长边的长为 A6 B3 2 C4 2 D6 2 11(2019 四川初二期中)三角形的三边 a,b,c 满足a-b+(bc)2=0;则三角形是_三角 形. 12(2019 山西初三期末) 如图, 等腰 ABC 中, AB=AC=13cm, BC=10cm, ABC 的面积=_ 1
16、3(2020 北京北理工附中初二期中)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 35 ,则这个 等腰三角形顶角的度数为_. 14若一个等腰三角形的周长为 26,一边长为 6,则它的腰长为_ 11 15 如图, 在ABC中,ABAC,D、 E 分别是 BC、 AC 上一点,且AD AE,12EDC, 则BAD_ 16如图,已知ABC 是等边三角形,点 B,C,D,E 在同一直线上,且 CG=CD,DF=DE,则 EFD=_ 17如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=7,点 E 是 AD 上的一个动点,把BAE 沿 BE 向矩形内部 折叠,当点 A 的对应点 A1恰好落在BCD 的平分线上时
17、,CA1的长为_ 18(2019 湖北初二期末)如图,在 Rt ABC 中,点 E 在 AB 上,把 ABC 沿 CE 折叠后,点 B 恰 好与斜边 AC 的中点 D 重合. (1)求证: ACE 为等腰三角形; (2)若 AB=6,求 AE 的长. 12 19如图,一架 2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上,此时梯足 B 距底端 O 为 0.7 m (1)求 OA 的长度; (2)如果梯子顶端下滑 0.4 米,则梯子将滑出多少米? 20 (2019 辽宁初二月考)ABC与DCE有公共顶点C(顶点均按逆时针排列),ABAC, DCDE,180BACCDE, /DEBC,点G是BE的中点,连接D
18、G并延长交直 线BC于点F,连接,AF AD. (1)如图,当90BAC时, 求证:BFCD; AFD是等腰直角三角形. (2)当60BAC时,画出相应的图形(画一个即可),并直接指出AFD是何种特殊三角 形. 13 21已知:如图,有人在岸上点 C 的地方,用绳子拉船靠岸,开始时,绳长 CB=10 米,CAAB, 且 CA=6 米,拉动绳子将船从点 B 沿 BA 方向行驶到点 D 后,绳长 CD=6 2米 (1)试判定ACD 的形状,并说明理由; (2)求船体移动距离 BD 的长度 1(2019滨州)如图,在OAB和OCD中, ,40OAOB OCOD OAOCAOBCOD ,连接,AC B
19、D交于点M,连接 OM 下列结论: ACBD; 40AMB; OM平分BOC; MO平分BMC 其 中正确的个数为 A4 B3 C2 D1 2(2019兰州)在ABC 中,AB=AC,A=40 ,则B=_ 3(2019成都)如图,在ABC 中,AB=AC,点 D,E 都在边 BC 上,BAD=CAE,若 BD=9, 则 CE 的长为_ 14 4(2019威海) 如图, 在四边形ABCD中,AB CD, 连接AC,BD 若90ACB,ACBC, ABBD,则ADC_ 5(2019通辽)腰长为 5,高为 4 的等腰三角形的底边长为_ 6(2019怀化)若等腰三角形的一个底角为72,则这个等腰三角形
20、的顶角为_ 7(2019南通)如图,ABC 中,AB=BC,ABC=90 ,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上, 且 AE=CF,若BAE=25 ,则ACF=_度 8(2019苏州)如图,ABC中,点E在BC边上,AEAB,将线段AC绕点A旋转到AF 的位置,使得CAFBAE,连接EF,EF与AC交于点G (1)求证:EFBC; (2)若65ABC,28ACB,求FGC的度数 9(2019重庆)如图,在ABC 中,AB=AC,ADBC 于点 D (1)若C=42 ,求BAD 的度数; (2)若点 E 在边 AB 上,EFAC 交 AD 的延长线于点 F求证:AE=FE 15 10
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