考点09 一次函数备战2020年中考数学一轮复习考点导练案
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1、 1 考点 09 一次函数 一、一、正比例函数的概念正比例函数的概念 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k0)的函数,叫做正比例函数,其中 k 叫做正比例系数 二、一次函数二、一次函数 1.一次函数的定义一次函数的定义 一般地,形如 y=kx+b(k,b 为常数,且 k0)的函数叫做 x 的一次函数. 特别地,当一次函数 y=kx+b 中的 b=0 时,y=kx(k 是常数,k0)这时, y 叫做 x 的正比例函 数 2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为 y=kx+b,其中 k,b 为常数,k0 一次函数的一般形式的结构特征: (1)k0,(2)x 的次数是 1;(
2、3)常数 b 可以为任意实数. 3.注意注意 (1)正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数. (2)一般情况下,一次函数的自变量的取值范围是全体实数. (3)如果一个函数是一次函数,则含有自变量 x 的式子是一次的,系数 k 不等于 0,而 b 可以为 任意实数 (4)判断一个函数是不是一次函数,就是判断它是否能化成 y=kx+b(k0)的形式. (5)一次函数的一般形式可以转化为含 x、y 的二元一次方程. 三、三、一次函数的图象及性质一次函数的图象及性质 1正比例函数的图象特征与性质正比例函数的图象特征与性质 正比例函数 y=kx(k0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线 k
3、 的符号 函数图象 图象的位置 性质 k0 图象经过第一、三象限 y 随 x 的增大而增大 k 0, 向 上平移 b 个单位长度;b0,b0 一、二、三 y 随 x 的增大而增 大 k0,b0 一、三、四 y=kx+b (k0) k0 一、二、四 y 随 x 的增大而减 小 k0,b0 时,即 k,b 异号时,直线与 x 轴交于正半轴 当 b k =0,即 b=0 时,直线经过原点 当 b k 0) 或向下(b0 时,y 的值随 x 值的增大而增大;b当 k0(或 ax+b0 时,函数 y=kx(k0)的图象从左向右,呈上升趋势;当 k0 时,函数 y=kx(k0)的图 象从左向右,呈下降趋势
4、 3正比例函数 y=kx 中,|k|越大,直线 y=kx 越靠近 y 轴;|k|越小,直线 y=kx 越靠近 x 轴 4一次函数图象的位置和函数值 y 的增减性完全由 b 和比例系数 k 的符号决定 典例典例 3 一次函数 y=2x+b,b0,则其大致图象正确的是 A B C D 【答案】B 【解析】因为 k=2,b0,所以图象在第二、三、四象限,故选 B 典例典例 4 下列四个选项中,不符合直线 y=3x2 的性质的选项是 A经过第一、三、四象限 By 随 x 的增大而增大 C与 x 轴交于(2,0) D与 y 轴交于(0,2) 【答案】C 【解析】根据一次函数的性质,通过判断 k 和 b
5、的符号来判断函数所过的象限及函数与 x 轴 y 轴的 交点在 y=3x2 中,k=30,y 随 x 的增大而增大; b=20,y 随 x 的增大而增大,函数图象从左到右上升;k0(或 ax+b0 的解集y=ax+b 中,y0 时 x 的取值范围,即直线 y=ax+b 在 x 轴上方部分图象对应的 x 的 取值范围; ax+b0 的解集y=ax+b 中,ykx4 的解集是 Ax2 Bx0 Cx1 Dx1 时,x+bkx+4, 即不等式 x+bkx+4 的解集为 x1 故选 C 典例典例 10 如图,直线y kxb 与y mxn 分别交 x 轴于点( 0.5,0)A ,(2,0)B,则不等式 ()
6、()0kxb mxn的解集为 A 2x B02x C0.52x D0.5x或2x 【答案】D 【解析】()()0kxb mxn, 0 0 kxb mxn 或 0 0 kxb mxn 直线y kxb 与y mxn 分别交 x 轴于点( 0.5,0)A ,(2,0)B 观察图象可知的解集为:0.5x,的解集为:2x 12 不等式()()0kxb mxn的解集为0.5x或2x . 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式,学会根据图形判断函数值的正负是关键. 10如图,正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于点 A(m,2),一次函数的图象 经过点 B(2
7、,1). (1)求一次函数的解析式; (2)请直接写出不等式组1kx+b2x 的解集 11如图,函数23yx 与 1 2 yxm 的图像交于, 2P n (1)求出 m、n 的值; (2)直接写出不等式 1 23 2 xmx的解集; (3)求出ABP 的面积 13 考向六 一次函数与二元一次方程(组) 1二元一次方程 kx-y+b=0(k0)的解与一次函数 y=kx+b(k0)的图象上的点的坐标是一一对应 的 2两个一次函数图象的交点坐标,就是相应二元一次方程组的解,体现了数形结合的思想方法 典例典例 11 如图, 函数 y=kx+b 与 y=mx+n 的图象交于点 P (1, 2) , 那么
8、关于 x, y 的方程组 的解是 A B C D 【答案】A 【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标,所以方程组的解是 故选 A 【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的 值也同时满足两个相应的一次函数式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 典例典例 12 若方程组 2 223 xy xy 没有解,则一次函数 y=2x 与 y= 3 2 x 的图象必定 A重合 B平行 C相交 D无法确定 【答案】B ykxb ymxn 1 2 x y 2 1 x y 2 3 x y 1 3 x y ykxb ymxn 1 2 x y
9、 14 【解析】方程组 2 223 xy xy 没有解,一次函数 y=2x 与 y= 3 2 x 的图象没有交点, 一次函数 y=2x 与 y= 3 2 x 的图象必定平行故选 B 12二元一次方程组 5 21 xy xy 的解为 2 3 x y ,则一次函数 y=5x 与 y=2x1 的交点坐标为 A(2,3) B(3,2) C(2,3) D(2,3) 13如图,直线 l1的函数解析式为 y=2x2,直线 l1与 x 轴交于点 D直线 l2:y=kx+b 与 x 轴交于点 A,且经过点 B(3,1),如图所示直线 l1、l2交于点 C(m,2) (1)求点 D、点 C 的坐标; (2)求直线
10、 l2的函数解析式; (3)利用函数图象写出关于 x、y 的二元一次方程组的解 22yx ykxb 15 考向七 一次函数的应用 一次函数本身并没有最值,但在实际问题中,自变量的取值往往有一定的限制,其图象为射线或线 段.涉及最值问题的一般思路:确定函数表达式确定函数增减性根据自变量的取值范围确定最值 典例典例 13 一辆公交车从 A 站出发匀速开往 B 站在行驶时间相同的前提下,如果车速是 60 千米/小 时,就会超过 B 站 0.2 千米;如果车速是 50 千米/小时,就还需行驶 0.8 千米才能到达 B 站 (1)求 A 站和 B 站相距多少千米?行驶时间是多少?如果要在行驶时间点恰好到
11、达 B 站,行 驶的速度是多少? (2) 图是这辆公交车线路的收支差额 y (票价总收入减去运营成本) 与乘客数量的函数图象 目 前这条线路亏损,为了扭亏,有关部门举行了提高票价的听证会乘客代表认为:公交公司应 节约能源,改善管理,降低运营成本,以此举实现扭亏公交公司认为:运营成本难以下降, 公司已尽力,提高票价才能扭亏根据这两种意见,可以把图分别改画成图和图 (a)说明图中点 A 和点 B 的实际意义; (b)你认为图和图两个图象中,反映乘客意见的是_,反映公交公司意见的是 _ 【解析】(1)设 A 站和 B 站相距 x 千米,行驶的时间是 y 小时,根据题意得:, 解之得:, 5.8 0.
12、1=58(千米/小时); 答:A 站和 B 站相距 5.8 千米,行驶时间是 0.1 小时,如果要在行驶时间点恰好到达 B 站,行驶的速 度是 58 千米/小时 600.2 500.8 xy xy 0.1 5.8 x y 16 (2)(a)A 点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为 1 万元; B 点表示当乘客量为 1.5 万人时,公交公司的该条公交路线收支恰好平衡; (b)反映乘客意见的是图; 反映公交公司意见的是图; 故答案为:, 典例典例 14 某文化用品商店出售书包和文具盒,书包每个定价 40 元,文具盒每个定价 10 元,该店 制定了两种优惠方案:方案一,买一个书包赠送一个文具盒;
13、方案二:按总价的九折付款,购 买时,顾客只能选用其中的一种方案某学校为给学生发奖品,需购买 5 个书包,文具盒若干 (不少于 5 个)设文具盒个数为 x(个),付款金额为 y(元) (1)分别写出两种优惠方案中 y 与 x 之间的关系式; 方案一:y1=_;方案二:y2=_ (2)若购买 20 个文具盒,通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱? (3) 学校计划用 540 元钱购买这两种奖品, 最多可以买到_个文具盒 (直接回答即可) 【答案】(1)10 x+150;9x+180;(2)详解见解析;(3)40. 【解析】(1)由题意,可得 y1=40 5+10(x5)=10 x+150,y2=(
14、40 5+10 x) 0.9=9x+180 故答案为:10 x+150,9x+180; (2)当 x=20 时,y1=10 20+150=350,y2=9 20+180=360, 因为 3503 时,x 的取值范围是 A0 x B0 x C2x D2x 5如图,一次函数图象经过点 A,且与正比例函数 y=x 的图象交于点 B,则该一次函数的表达式为 Ay=x+2 By=x+2 Cy=x2 Dy=x2 6点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是一次函数 y=3x+4 图象上的两个点,且 x1y2 By12 时,y0; 当 x0 时,y3其中正确的是 1 ymxn 2 ynxm 20 A B
15、C D 10端午节,在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在 500 米的赛道上,所 划行的路程 y(m)与时间 x(min)之间的函数关系如图所示,下列说法,其中正确的有 乙队比甲队提前 0.25min 到达终点; 0.5min 后,乙队比甲队每分钟快 40m; 当乙队划行 110m 时,此时落后甲队 15m; 自 1.5min 开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需要提高到 260m/min A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11观察图象,可以得出不等式组 0 0 axb cxd 的解集是 Ax4 Bx1 C1x0 D1x”“=”或“”) 15关于x的一元一次
16、不等式组 2 32 xb xb 有解,则直线yxb 不经过第_象限 16已知一次函数 y=4x+3m 与 y=7x9 的图象经过 y 轴上同一点,则 m=_ 17赛龙舟是端午节的主要习俗,某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛,从起点 A 驶 向终点 B,在整个行程中,龙舟离开起点的距离 y(米)与时间 x(分钟)的对应关系如图所示, 请结合图象解答下列问题: (1)起点 A 与终点 B 之间相距多远? (2)哪支龙舟队先出发?哪支龙舟队先到达终点? (3)分别求甲、乙两支龙舟队的 y 与 x 函数关系式; (4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距 200 米? 22 18如图,直线
17、y=2x+7 与 x 轴、y 轴分别相交于点 C、B,与直线 y=x 相交于点 A (1)求 A 点坐标; (2)求OAC 的面积; (3)如果在 y 轴上存在一点 P,使OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形,求 P 点坐标; (4) 在直线 y=2x+7 上是否存在点 Q, 使OAQ 的面积等于 6?若存在, 请求出 Q 点的坐标, 若不存在,请说明理由 19已知一次函数 21ykxk(k0),回答下列问题: 3 2 23 (1)若一次函数的图象过原点,求 k 的值; (2)无论 k 取何值,该函数的图象总经过一个定点,请你求出这个定点的坐标 20 为建设秀美家乡, 某学校组织师生参加一年
18、一度的植树绿化工作, 准备租用 7 辆客车, 现有甲、 乙两种客车,它们的载客量和租金如下表,设租用甲种客车 x 辆,租车总费用为 y 元, 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) 60 40 租金/(元/辆) 360 300 (1)求出 y(单位:元)与 x(单位:辆)之间的函数关系式 (2)若该校共有 350 名师生前往参加劳动,共有多少种租车方案? (3)带队老师从学校预支租车费用 2400 元,试问预支的租车费用是否能有结余?若有结余, 最多可结余多少元? 1(2019扬州)若点 P 在一次函数4yx 的图象上,则点 P 一定不在 24 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
19、2(2019绍兴)若三点(1 4),(2 7),( 10)a,在同一直线上,则a的值等于 A-1 B0 C3 D4 3 (2019苏州)若一次函数y kxb(k b、为常数,且0k )的图象经过点 (01)A, ,(1 1) B , 则不等式1kxb的解为 A0 x B0 x C1x D1x 4(2019临沂)下列关于一次函数(0 0)ykxb kb,的说法,错误的是 A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小 C图象与y轴交于点(0 )b, D当 b x k 时,0y 5(2019梧州)直线 y=3x+1 向下平移 2 个单位,所得直线的解析式是 Ay=3x+3 By=3x-2 Cy=
20、3x+2 Dy=3x-1 6(2019杭州)已知一次函数 1 yaxb=+和 2 ybxa=+()ab,函数 1 y和 2 y的图象可能是 A B C D 7 (2019邵阳) 一次函数 y1=k1x+b1的图象 l1如图所示, 将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2, l2的函数表达式为 y2=k2x+b2下列说法中错误的是 Ak1=k2 Bb1b2 D当 x=5 时,y1y2 8 (2019聊城) 某快递公司每天上午 9:00-10:00 为集中揽件和派件时段, 甲仓库用来揽收快件, 乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函数图 象如图所示
21、,那么当两仓库快递件数相同时,此刻的时间为 25 A9:15 B9:20 C9:25 D9:30 9(2019天津)直线21yx与x轴交点坐标为_ 10(2019无锡)已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,则关于 x 的不等式 3kx-b0 的解集为 _ 11 (2019烟台) 如图, 直线 y=x+2 与直线 y=ax+c 相交于点 P (m, 3) , 则关于 x 的不等式 x+2ax+c 的解为_ 12(2019潍坊) 当直线 223yk xk经过第二、 三、 四象限时, 则k的取值范围是_ 13(2019郴州)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示: 日期 1 2 3 4
22、 数量(瓶) 120 125 130 135 观察此表,利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为_瓶 26 14(2019鄂州)在平面直角坐标系中,点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离公式为:d= 00 22 AxByC AB ,则点 P(3,-3)到直线 25 33 yx 的距离为_ 15(2019杭州)某函数满足当自变量1x 时,函数值0y ;当自变量0 x时,函数值 1y , 写出一个满足条件的函数表达式_ 16(2019南京)已知一次函数 1 2ykx(k 为常数,k0)和 2 3yx (1)当 k=2 时,若 1 y 2 y,求 x 的取值
23、范围; (2)当 x 2 y结合图象,直接写出 k 的取值范围 17(2019乐山)如图,已知过点 B(1,0)的直线 l1与直线 l2:y=2x+4 相交于点 P(-1,a) (1)求直线 l1的解析式; (2)求四边形 PAOC 的面积 18(2019天门)某农贸公司销售一批玉米种子,若一次购买不超过 5 千克,则种子价格为 20 元/ 千克,若一次购买超过 5 千克,则超过 5 千克部分的种子价格打 8 折设一次购买量为 x 千 克,付款金额为 y 元 (1)求 y 关于 x 的函数解析式; 27 (2)某农户一次购买玉米种子 30 千克,需付款多少元? 19(2019常德)某生态体验园
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