考点06 分式方程备战2020年中考数学一轮复习考点导练案
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1、 1 考点 06 分式方程 1分式方程的概念分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意:“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别,也是判定一个方程为分式方程 的依据 2分式方程的解法分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘 以各分式的最简公分母 (2)解分式方程的步骤: 找最简公分母,当分母是多项式时,先分解因式; 去分母,方程两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程; 解整式方程; 验根 易错提醒:解分式方程过程中,易错点有:去分母时要把方程两边的式子作为一个整体,记得 不要漏乘整式项;忘记验根,最后的结果
2、还要代回方程的最简公分母中,只有最简公分母不是 零的解才是原方程的解 3增根增根 在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根由于可能产生增根, 所以解分式方程要验根,其方法是将根代入最简公分母中,使最简公分母为零的根是增根,否则 是原方程的根 温馨提示:增根虽然不是方程的根,但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根若这个 整式方程本身无解,当然原分式方程就一定无解 4分式方程的应用分式方程的应用 (1)分式方程的应用主要涉及工程问题,有工作量问题、行程问题等 每个问题中涉及到三个量的关系,如:工作时间 工作量 工作效率 ,时间 路程 速度 等 (2)列分式方程解应用题
3、的一般步骤: 设未知数; 2 找等量关系; 列分式方程; 解分式方程; 检验(一验分式方程,二验实际问题); 答 考向一 解分式方程 分式方程的解法: 能化简的应先化简;方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程; 解整式方程;验根 典例典例 1 解分式方程: 31 2242 x xx 【解析】去分母得:6-x=x-2, 解得:x=4, 经检验 x=4 是分式方程的解 【名师点睛】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验 典例典例 2 方程 33 1 22 x xx 的解为_ 【答案】1x 【解析】方程两边同乘以(2)x,得(32)3xx , 解得1x , 检验:1x 时,20
4、 x, 所以1x 是原分式方程的解 故填1x 【名师点睛】分式方程的解题步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为 1同时应注 意分式方程必须检验 3 1解分式方程 13 2 11xx ,去分母得 A1 2(1)3x B1 2(1)3x C1 223x D1 223x 2方程 24 2 22 x x xx 的解为 A2 B2 或 4 C4 D无解 考向二 分式方程的解 (1)求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值 范围,可能产生增根. (2)验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于 0,这个根就是增根;否则这个 根就是原分式方程的
5、根,若解出的根都是增根,则原方程无解. (3)如果分式本身约分了,也要代入进去检验. (4)一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整 式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解. 典例典例 3 若关于 x 的方程 3 1 11 ax xx 的解为整数解,则满足条件的所有整数 a 的和是 A6 B0 C1 D9 【答案】D 【解析】分式方程去分母得:ax-1-x=3, 解得:x= 4 1a , 由分式方程的解为整数解,得到 a-1= 1,a-1= 2,a-1= 4, 解得:a=2,0,3,-1,5,-3(舍去), 则满足条件的所有整
6、数 a 的和是 9, 故选 D 【名师点睛】此题考查了分式方程的解,熟练掌握运算法则是解本题的关键 典例典例 4 若关于x的分式方程 1 2 1 k x 的解为负数,则k的取值范围为_ 【答案】3k 且1k 4 【解析】分式方程去分母转化为整式方程,去分母得122kx ,解得 3 2 x k ,由分式方程的 解为负数,可得 2 0 3k 且10 x ,即 2 1 3k ,解得3k 且1k 3若关于x的方程 21 1 11 a xx 有增根,则a的值为 A 1 2 B 1 2 C2 D2 4关于x的方程 233 4 ax ax 的解为1x ,则a A1 B3 C-1 D-3 考向三 分式方程的应
7、用 分式方程解实际问题的求解步骤:审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案,检验时要 注意从方程本身和实际问题两个方面进行 典例典例 5 某工厂生产一种零件,计划在 20 天内完成,若每天多生产 4 个,则 15 天完成且还多生产 10 个设原计划每天生产 x 个,根据题意可列分式方程为 A 2010 15 4 x x B 2010 15 4 x x C 2010 15 x x D 2010 15 x x 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x个零件,则实际每天生产了(4)x个零件,实际 15 天共生 产了(200)1x个零件,因此根据题意可列分式方程为 2010 15 4 x
8、x 故选 A 典例典例 6 元旦假期即将来临,某旅游景点超市用 700 元购进甲、乙两种商品 260 个,其中甲种商品 比乙种商品少用 100 元,已知甲种商品单价比乙种商品单价高 20%,那么乙种商品单价是 A2 元 B2.5元 C3 元 D5元 5 【答案】B 【解析】设乙种商品单价为x元,则甲种商品单价为(1)20% x元, 由题易得,甲种商品花费 300 元,乙种商品花费 400 元,所以 300400 260 1 20)%(xx , 解得2.5x元 故选 B 5某单位向一所希望小学赠送 1080 本课外书,现用 A,B 两种不同的包装箱进行包装,单独使用 B 型包装箱比单独使用 A
9、型包装箱可少用 6 个;已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱可多装 15 本课外书若设每个 A 型包装箱可以装书x本,则根据题意列得方程为 A1080 1080 6 15xx B1080 1080 6 15xx C 10801080 6 15xx D 10801080 6 15xx 6在“双十一”购物节中,某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了 A、B 两种玩具,其中 A 类玩具的进 价比 B 玩具的进价每个多 3 元,经调查发现:用 900 元购进 A 类玩具的数量与用 750 元购进 B 类玩具的数量相同 (1)求 A、B 的进价分别是每个多少元? (2)该玩具店共购进了 A、B 两类玩具共
10、 100 个,若玩具店将每个 A 类玩具定价为 30 元出售, 每个 B 类玩具定价 25 元出售, 且全部售出后所获得利润不少于 1080 元, 则该淘宝专卖店至少购 进 A 类玩具多少个? 1下列关于x的方程: 6 1 5 3 x , 12 1xx , 1 11xx x , 3 1 x ab 中,是分式方程的有 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2方程 21 31xx = +- 的解为 A3x = B4x = C5x = D5x =- 3解分式方程 11 2 22 x xx A2x是方程的解 B3x 是方程的解 C4x是方程的解 D无解 4若关于 x 的方程 22 3 ax ax 的
11、解为 x=1,则 a 等于 A0.5 B-0.5 C2 D-2 5若代数式 1 2x 和 3 21x 的值相等,则 x 的值为 Ax=-7 Bx=7 Cx=-5 Dx=3 6若关于x的方程 3 1 11 k xx 有增根,则k的值为 A3 B1 C0 D1 7若分式方程 3 2 11 xm xx 无解,则m A1 B3 C0 D2 8关于x的方程 2 2 11 xaa xx 的解不小于 0,则a的取值范围是 A2a且1a B2a且3a C2a D2a 9一艘船顺流航行 90 千米与逆流航行 60 千米所用的时间相等,若水流的速度是 2 千米/时,求船 在静水中的速度设船在静水中的速度为x千米/
12、时,则可列出的方程为 7 A 9060 22xx B 9060 22xx C 9060 2 xx D 6090 2 xx 10若分式方程 2 211 1 xmx xxxx 有增根,则 m 的值是 A-1 或 1 B-1 或 2 C1 或 2 D1 或-2 11已知关于 x 的分式方程 2 1 2 xa x 的解为非负数,则 a 的取值范围是 Aa2 Ba2 Ca2 且 a-4 Da2 且 a-4 12一项工程,甲队单独做需 20 天完成,甲、乙合作需 12 天完成,则乙队单独做需多少天完成? 若设乙单独做需 x 天完成,则可得方程 A 111 2012x B 2012 xx =1 C 11 1
13、220 =x D 111 2012x 13九年级(1)班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行,实践基地距学校 150 千米,一部分 学生乘慢车先行,出发 30 分钟后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达实践基地,已 知快车的速度是慢车速度的 1.2 倍,如果设慢车的速度为 x 千米/时,根据题意列方程得 A150 150 30 12xx B150 150 30 12xx C150 1150 212xx D150 1150 212xx 14整数 a 满足下列两个条件,使不等式-2 35 2 x 1 2 a+1 恰好只有 3 个整数解,使得分式方程 135 22 axx xx =1 的解为
14、整数,则所有满足条件的 a 的和为 A2 B3 C5 D6 15某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道,为尽量减少施工对交通造 成的影响,施工时对“”,设实际每天铺设管道x米,则可得方程 30003000 15 10 xx 根 据此情景,题中用“”表示的缺失的条件应补为 A每天比原计划多铺设10米,结果延期15天才完成 B每天比原计划少铺设10米,结果延期15天才完成 C每天比原计划多铺设10米,结果提前15天才完成 D每天比原计划少铺设10米,结果提前15天才完成 8 16某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格是文 学类图书平均
15、每本书价格的 1.2 倍,已知学校用 12000 元购买文学类图书的本数比用这些钱购 买科普类图书的本数多 100 本,那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是 A20 元 B18 元 C15 元 D10 元 17分式方程 xx 4 1 2 的解为_ 18若关于 x 的分式方程 33 xa xx =2a 无解,则 a 的值为_ 19关于 x 的方程 1 23(2)(3) xxxa xxxx 的解为非正数,则 a 的取值范围为_ 20分式 7 2x 与 2 x x 的和为4,则x的值为_ 21已知 x=3 是方程 21 1 kxk xx =2 的解,那么 k 的值为_ 22某物流仓储公司用 A,
16、B 两种型号的机器人搬运物品,已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多 搬运 20 kg,A 型机器人搬运 1000 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 800 kg 所用时间相等,设 B 型机器人每小时搬运 x kg 物品,列出关于 x 的方程为_ 23解下列方程: (1) 1 2 33 x xx ; (2) 2 316 111xxx ; (3) 105 2 2112xx ; (4) 2 41 1 11 x xx 9 24 “六一”儿童节前, 某玩具商店根据市场调查, 用 1500 元购进一批儿童玩具, 上市后很快脱销, 接着又用 2700 元购进第二批,所购数量是第一批数量的 1.5 倍
17、,但每套进价多了 10 元,求第 二批玩具每套的进价是多少元? 25 某服装店购进一批甲、 乙两种款型时尚T恤衫, 甲种款型共用了7800元, 乙种款型共用了6400 元 甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍, 甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30 元 (1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件? (2)商店进价提高60%标价销售,销售一段时间后,甲款型全部售完,乙款型剩余一半,商 店决定对乙款型按标价的五折降价销售, 很快全部售完, 求售完这批T恤衫商店共获利多少元? 26某商店计划购进甲、乙两种商品,乙种商品的进价是甲种商品进价的九折,用 3600 元购买乙种 商品要比购买甲种商品
18、多买 10 件 (1)求甲、乙两种商品的进价各是多少元? (2) 该商店计划购进甲、 乙两种商品共 80 件, 且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的 3 倍 甲 种商品的售价定为每件 80 元,乙种商品的售价定为每件 70 元,若甲、乙两种商品都能卖完, 求该商店能获得的最大利润 10 1(2019海南)分式方程 1 2x =1 的解是 Ax=1 Bx=-1 Cx=2 Dx=-2 2(2019成都)分式方程 52 1 x xx =1 的解为 Ax=-1 Bx=1 Cx=2 Dx=-2 3(2019益阳)解分式方程 21 x x + 2 12x =3 时,去分母化为一元一次方程,正确的是 Ax+
19、2=3 Bx-2=3 Cx-2=3(2x-1) Dx+2=3(2x-1) 4(2019黑龙江)已知关于 x 的分式方程 2 3 xm x =1 的解是非正数,则 m 的取值范围是 Am3 Bm-3 Dm-3 5(2019广州)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做 8 个,甲做 120 个所用的时 间与乙做 150 个所用的时间相等,设甲每小时做 x 个零件,下列方程正确的是 A120 150 8xx B 120150 8xx C 120150 8xx D120 150 8xx 6(2019甘肃)分式方程 35 12xx 的解为_ 7(2019凉山州)方程 21 1 x x + 2 2
20、 1x =1 的解是_ 8(2019绵阳)一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行 120 km 所 用时间,与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相同,则江水的流速为_km/h 9(2019江西)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的 文明程度如图,某路口的斑马线路段 A-B-C 横穿双向行驶车道,其中 AB=BC=6 米,在绿灯亮 11 时,小明共用 11 秒通过 AC,其中通过 BC 的速度是通过 AB 速度的 1.2 倍,求小明通过 AB 时的 速度设小明通过 AB 时的速度是 x 米/秒,根据题意列方程得:_ 10(2
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