考点05 一元二次方程备战2020年中考数学一轮复习考点导练案
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1、 1 考点 05 一元二次方程 一一、一元二次方程的概念一元二次方程的概念 1一元二次方程一元二次方程 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 2一般形式一般形式 2 0axbxc(其中 , ,a b c为常数, 0a),其中 2, ,ax bx c分别叫做二次项、一次项和常数 项,, a b分别称为二次项系数和一次项系数 注意:(1)在一元二次方程的一般形式中要注意0a,因为当0a时,不含有二次项,即不 是一元二次方程; (2)一元二次方程必须具备三个条件: 必须是整式方程; 必须只含有一个未知数; 所含未知数的最高次数是 2 二二、一元二次方程的解法一元二
2、次方程的解法 1直接开平方法直接开平方法 适合于 2 ()()0 xab b或 22 ()()axbcxd形式的方程 2配方法配方法 (1)化二次项系数为 1; (2)移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为常数项; (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方; (4)把方程整理成 2 ()()0 xab b的形式; (5)运用直接开平方法解方程 3公式法公式法 (1)把方程化为一般形式,即 2 0axbxc; (2)确定, ,a b c的值; 2 (3)求出 2 4bac的值; (4)将, ,a b c的值代入 2 4 2 bbac x a 即可 4因式分解法因式分解法 基本思想是把方程
3、化成()()0axb cxd的形式,可得0axb或0cxd 三三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1根的判别式根的判别式 一元二次方程 2 (0)0axbxca是否有实数根, 由 2 4bac的符号来确定, 我们把 2 4bac 叫做一元二次方程根的判别式 2一元二次方程根的情况与判别式的关系一元二次方程根的情况与判别式的关系 (1)当 2 40bac时,方程 2 (0)0axbxca有两个不相等的实数根; (2)当 2 40bac时,方程 2 (0)0axbxca有 1 个(两个相等的)实数根; (3)当 2 40bac时,方程 2 (0)0axbx
4、ca没有实数根 3根与系数关系根与系数关系 对于一元二次方程 2 0axbxc(其中 , ,a b c为常数, 0a),设其两根分别为 1 x, 2 x,则 12 b xx a , 12 c x x a 四四、利用一元二次方程解决实际问题利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样, 即审、 设、列、解、验、 答六步列一元二次方程解应用题,经济类和面积类问题是常考内容 1增长率等量关系增长率等量关系 (1)增长率=增长量基础量 (2)设a为原来量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则()1 n amb;当m 为平均下降率时,则有()
5、1 n amb 2利润等量关系利润等量关系 (1)利润=售价成本 (2)利润率= 利润 成本 100 3 3面积问题面积问题 (1)类型 1:如图 1 所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白“回形”道路的宽为x,则阴影 部分的面积为()(22 )ax bx (2)类型 2:如图 2 所示的矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则空白部分的面 积为()()ax bx (3)类型 3:如图 3 所示的矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则 4 块空白部分 的面积之和可转化为()()ax bx 图 1 图 2 图 3 考向一 一元二次方程的概念 一元二次方程必须具备三个条件: 必须
6、是整式方程;必须只含有一个未知数;所含未知数的最高次数是 2 典例典例 1 【江西省赣州市蓉江新区潭东中学 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】方程 2 254xx 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 A2,5,4 B2,5 ,4 C2, 5,4 D2,5,4 【答案】D 【解析】 2 254xx 可变形为: 2 2540 xx , 二次项系数为:2,一次项系数为:5,常数项为:4, 故选 D 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义,解题的关键是熟记定义. 4 1下列方程中,是关于x的一元二次方程的是 A 2 0axbxc(a是实数) B 2 121xxx C 2 1 30
7、x x D 2 210 x 考向二 解一元二次方程 一元二次方程的常见解法及适用情形: 一般形式: 2 (00)axbxca 直接开平方 法 形 如 2 ()(0)xmn n的 方 程 , 可 直 接 开 方 求 解 , 则 1 xmn, 1 xmn 因式分解法 可化为()()0a xm xn的方程,用因式分解法求解,则 1 xm , 1 xn 配方法 若不易于使用分解因式法求解,可考虑配方为 2 ()a xhk,再直接开方求解 公式法 利用求根公式: 2 2 4 (40) 2 bbac xbac a 典 例典 例 2 若2x是 关 于x的 一 元 二 次 方 程 22 3 0 2 xaxa的
8、 一 个 根 , 则a的 值 为 _ 【答案】1或4 【解析】因为2x是关于x的一元二次方程 22 3 0 2 xaxa的一个根, 所以 22 3 220 2 ()()aa ,即 2 340aa,整理得 1)40()(aa , 解得 1 4a , 2 1a 故a的值是1或4 典例典例 3 用配方法解方程 2 210 xx 时,配方结果正确的是 A 2 (2)2x B 2 (1)2x C 2 (2)3x D 2 (1)3x 5 【答案】B 【解析】因为 2 210 xx ,所以 2 212xx ,即 2 (1)2x 故选 B 2一元二次方程 2 3830 xx的解是_ 3方程( )32)11(x
9、 xx的根是_ 考向三 一元二次方程根的判别式 对于方程 2 (0)0axbxca, 2 4bac, 若,方程有两个不相等的实数根; 若,方程有两个相等的实数根; 若,方程没有实数根 典例典例 4 【四川省成都市部分学校 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】一元二次方程 2 710 xx 的根的情况是 A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【答案】A 【解析】对于方程 2 710 xx ,因为 a=1,b=7,c=1,所以 =(7) 24 1 (1)=530, 所以方程有两个不相等的实数根.故选 A. 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根的
10、判别式,属于基本题型,熟练掌握一元二次方程根的 判别式与方程根的个数的关系是关键. 典例典例 5 有两个一元二次方程: 2 0axbxc, 2 0cxbxa,其中0ac ,以下四个 结论中,错误的是 A如果方程有两个相等的实数根,那么方程也有两个相等的实数根 B如果方程和方程有一个相同的实数根,那么这个根必定是1x 6 C如果 4 是方程的一个根,那么 1 4 是方程的一个根 D方程的两个根的符号相异,方程的两个根的符号也相异 【答案】B 【解析】选项 A, 2 1 4bac, 2 2 4bac, 12 ,所以 A 正确; 选项 B,因为将1分别代入方程,值相等,结合0ac ,可知 B 不正确
11、; 选项 C,因为1640abc , 11 0 164 cba,即1640abc ,故 C 正确; 选项 D,由根与系数关系可知 D 正确 故选 B 4下列方程中,没有实数根的是 A 2 0 xx B 2 20 xx C 2 20 xx D 2 20 xx 5【安徽省芜湖市部分学校 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】已知关于 x 的一元二次方 程 x2+(k+1)x+k=0 (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若该方程有一个根是正数,求 k 的取值范围 考向四 根与系数关系 设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两根分别为 1 x, 2 x,则 12 b xx a , 1
12、2 c x x a 7 典例典例 6 若1 3 是方程 2 20 xxc的一个根,则c的值为 A2 B4 3 2 C33 D1 3 【答案】A 【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2(13)13 ,所以(13)(13)2c . 故选 A 典例典例7 如果 1 x,2x是一元二次方程 2 650 xx的两个实根, 那么 22 12 xx_ 【答案】46 【解析】由根与系数关系,可得 12 6xx, 12 5x x , 则 222 121212 ()2365 246xxxxx x 6若方程 2 410 xx-+ =的两根是 1 x, 2 x,则 122 (1)xxx+的值为_ 7关于x的方程02
13、 2 nmxx的两个根是2和1,则 m n的值为 A8 B8 C16 D16 考向五 一元二次方程在实际问题中的应用 列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系,利用等量关系列出方程其中分析实际 问题是解决问题的前提和基础,解一元二次方程是重要方法和手段,并注意解出的方程的解是否符 合实际问题 典例典例 8 【山东省滨州市博兴县 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】某地区 2018 年投入教 育经费5000万元,预计 2020 年投入7200万元,设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x, 由题意可列方程为_ 【答案】 2 5000 17200 x 8 【解析】由题意得
14、2 5000 17200 x,故答案为 2 5000 17200 x. 【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用,掌握增长率问题的方程形式是关键. 典例典例 9 经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元,设该药品平均每次降价的 百分率为x,根据题意可列方程是_ 【答案】 2 03(5 12) x 【解析】由题意可得 2 03(5 12) x 8某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元,3 月份的销售额是 4.5 万元,从 1 月份到 3 月份,该店销 售额平均每月的增长率是 A20% B25% C50% D62.5% 9 【湖北省孝感市云梦县 20192020 学年九年级
15、上学期期中数学试题】 如图是一张长 12dm, 宽 6dm 的长方形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的边长为 xdm 的正方形,然后将四周突出部分折 起,可制成一个无盖长方体纸盒 (1)无盖方盒盒底的长为_dm,宽为_dm(用含 x 的式子表示) (2)若要制作一个底面积是 40dm2的一个无盖长方体纸盒,求剪去的正方形边长 x 1关于x的一元二次方程(a 21)23x+a2+3a4=0 的一个根为 0,则a的值是 A4 B1 C4 或1 D4或1 2方程x 2=x 的根是 9 A1 B 1 C0 和 1 D0 3已知关于 x 的一元二次方程(k+1)x2+2x1=0 有实数根,则 k 的取值
16、范围是 Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 4用“配方法”解一元二次方程 x216x+24=0,下列变形结果,正确的是 A(x4)2=8 B(x4)2=40 C(x8)2=8 D(x8)2=40 5同学聚会,每两人都握手一次,共握手 45 次,设 x 人参加聚会,列方程为 Ax(x1)=45 Bx(x1)= 45 2 C 1 2 x(x1)=45 Dx(x+1)=45 6制造某种产品成本 100 元,计划经过两年成本降低为 64 元,则平均每年降低 A18% B20% C36% D以上答案均错 7一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片,按如图 1 放置,两个小正方形纸片的重叠部 分
17、面积为 4;按如图 2 放置(其中一小张正方形居大正方形的正中),大正方形中没有被小正方 形覆盖的部分(阴影部分)的面积为 44,则把两张小正方形按如图 3 放置时,两个小正方形重 叠部分的面积为 A11 B12 C20 D24 8已知 ,m n是方程 x2+x3=0 的两个实数根,则 2 2019mn的值是 A2023 B2021 C2020 D2019 9若关于 x 的方程 2 (4)80 xxxm 的三个根恰好可以成为某直角三角形的三边长,则 m 的值为 10 A24 B15 C15 或 24 D无解 10关于x的一元二次方程 2 80 xxq有两个不相等的实数根,则q的取值范围是 A
18、16q B16q C 4q D4q 11已知 cba,为常数,点),(caP在第二象限,则关于x的方程 0 2 cbxax根的情况是 A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 12关于x的一元二次方程 22 (2 )10 xaa xa 的两个实数根互为相反数,则a的值为 A2 B0 C1 D2或0 13如果2是方程 2 30 xxk的一个根,则此方程的另一根为 A2 B1 C1 D2 14设,是方程 2 210 xx 的两根,则代数式 的值是 A1 B1 C3 D3 15若关于x的一元二次方程 2 0 xbxc的两个实数根分别为2和4,则bc A10 B10 C6
19、 D1 16已知一元二次方程 2 210 xx 的两根分别为 1 x, 2 x,则 12 11 xx 的值为 A2 B1 C 1 2 D2 172018 年某市人民政府投入 1000 万元用于改造乡村小学班班通工程建设,计划到 2020 年再追加 投资 210 万元,如果每年的平均增长率相同,那么该市这两年该项投入的平均增长率为 A10% B8% 11 C1.21% D12.1% 18已知一次函数 y=kx+b 的大致图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+1=0 的根的情 况是 A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D有一个根是 0 19用配方法解方程
20、 x2+6x5=0 时,应该变形为_ 20【江苏省常州市常州市新北区实验学校 20192020 学年九年级上学期期中数学试题】关于 x 的 方程 2 21 (1)50 aa axx 是一元二次方程,则 a=_ 21 已知关于x的一元二次方程 2 20 xxm有两个相等的实数根, 则m的值是_ 22 在一次聚会中, 参加聚会的人每两位都相互握一次手, 一共握手 28 次, 设参加聚会有x人, 则可列方程_ 23若 x=1 是方程 x2+px+q=0 的解,则 pq 的值是_ 24方程 2 2430 xx的两根为 1 x, 2 x,则 12 11 xx =_ 25设,是方程( 1)(4)5xx 的
21、两实数根,则 33 _ 26解下列方程: (1) 2 235()x; (2) 2 2330 xx; 12 (3) 2 () 330 xx 27关于x的一元二次方程 2 (3)220 xkxk (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一根小于 1,求k的取值范围 28已知,关于x的一元二次方程 2 210 xxm 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)如果m为非负整数,且该方程的根都是整数,求m的值. 29根据要求,解答下列问题 (1)根据要求,解答下列问题 13 方程 2 210 xx 的解为_; 方程 2 320 xx的解为_; 方程 2 430 xx的解为_; (2
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