考点01 实数备战2020年中考数学一轮复习考点导练案
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1、 1 考点 01 实数 1数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2相反数:只有符号不同,而绝对值相同的两个数称为互为相反数,若 a、b 互为相反数,则 a+b=0. 3倒数:1 除以一个不等于零的实数所得的商,叫做这个数的倒数.若 a、b 互为倒数,则 ab=1. 4绝对值:数轴上表示数 a 的点与原点的距离,记作 |a|. 5(1)按照定义分类 正整数 整数 零 负整数 有理数 实数正分数 分数有限小数或无限循环小数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 (2)按照正负分类 正整数 正有理数 正实数正分数 正无理数 实数 零 负整数
2、 负有理数 负实数负分数 负无理数 注意:0 既不属于正数,也不属于负数.另外,在理解无理数时,要注意“无限不循环”,归纳起来 有四类: (1)开方开不尽的数,如3, 3 2等; (2)有特定意义的数,如圆周率 ,或化简后含有 的数,如2 3 等; (3)有特定结构的数,如 0.101 001 000 1等; (4)某些三角函数,如 sin60 等. 2 6科学记数法:科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数当原数绝对值 大于 10 时,写成 a 10n的形式,其中 1|a|10,n 等于原数的整数位数减 1;当原数绝对值小于 1 时,写成 a 10n的形式,其
3、中 1|a|10,n 等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数 (包括小数点前面的零). 7近似数:近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示,近似数一般由四舍五入取得,四舍五 入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 8平方根:(1)算术平方根的概念:若 x2a(x0),则正数 x 叫做 a 的算术平方根. (2)平方根的概念:若 x2a,则 x 叫做 a 的平方根. (3)表示:a 的平方根表示为a,a 的算术平方根表示为a. (4) 2 2 0 ()(0) ( 0 0) (0) 只有非负数才有平方根, 的平方根和算术平 意义 方根都是 aa a a a aa a a 9立方根:(1)
4、定义:若 x3a,则 x 叫做 a 的立方根. (2)表示:a 的立方根表示为 3 a. (3) 33 33 () 意义 aa aa . 10数的乘方:求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂.在 an中,a 叫底数,n 叫 指数. 11实数的运算: (1)有理数的运算定律在实数范围内都适用,常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、 乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. (2)运算顺序:先算乘方(开方),再算乘除,最后算加减;有括号的先算括号里面的. 12指数,负整数指数幂:a0,则 a0=1;若 a0,n 为正整数, 则 1 n n a a . 13数的大小比较常用
5、以下几种方法:数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中 间值比较法等等. 3 考向一 实数的有关概念 此类问题一般以填空题、选择题的形式出现,熟练掌握实数的有关概念,如相反数、倒数、绝对值、 算术平方根等是解决这类问题的关键. 典例典例 1 (2019浙江衢州)在 1 2 ,0,1,9 四个数中,负数是 A 1 2 B0 C1 D9 【答案】D 【解析】 1 2 ,0,1,9 四个数中负数是9;故选 D 【名师点睛】本题考查实数的分类;能够根据负数的特点进行判断是解题的关键 典例典例 2 (2019沈阳)-5 的相反数是 A5 B-5 C 1 5 D 1 5 【答案】A 【解析】-
6、5 的相反数是 5,故选 A 【名师点睛】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 典例典例 3 (2019浙江绍兴)5 的绝对值是 A5 B5 C 1 5 D 1 5 【答案】A 【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数,得|5|=5故选 A 【名师点睛】此题主要考查的是绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是 它的相反数;0 的绝对值是 0 典例典例 4 (2019浙江湖州)数 2 的倒数是 A2 B2 C 1 2 D 1 2 【答案】D 4 【解析】因为互为倒数的两个数之积为 1,所以 2 的倒数是 1 2 ,故选 D 典例典例 5 4 的平方根是 A
7、2 B2 C2 D16 【答案】A 【解析】( 2 )2=4, 4 的平方根是 2, 故选 A 典例典例 6 (2018 株洲市)9 的算术平方根是 A3 B9 C 3 D 9 【答案】A 【解析】32=9,9 的算术平方根是 3故选 A 典例典例 7 (2019荆门) 2 的倒数的平方是 A2 B 1 2 C-2 D 1 2 【答案】B 【解析】 2 的倒数的平方为: 2 11 () 22 故选 B 【名师点睛】本题考查了倒数的定义、平方的定义以及二次根式的性质,是基础题,熟记概念是解 题的关键 1下列各数: 1 2 , 2 4,3 , 2 5, 2 , 2019 1,0,其中是负数的有 A
8、2 个 B3 个 C4 个 D5 个 2如果把收入 100 元记作100 元,那么支出 80 元记作 A80 元 B100 元 5 C20 元 D80 元 3下列各组数中,互为相反数的是 A1 与(1)2 B(1) 2 与 1 C2 与 1 2 D2 与|2| 4绝对值不大于 2.5 的整数共有 A7 个 B6 个 C5 个 D4 个 5估计10的值在 A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D5 和 6 之间 6若 a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,则(a+b)2cd=_. 7如果“盈利 10%”记作+10%,那么“亏损 20%”记作_. 8 的算术平方根是_. 考向
9、二 实数的分类 实数的分类 正整数 整数 零 负整数 有理数 实数正分数 分数有限小数或无限循环小数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 典例典例 8 下列实数中的无理数是 A B C D 【答案】B 6 【解析】 , , 是有理数, 是无理数.故选 B. 典例典例 9 (2019常德)下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是 A10 B17 C3.1 D10 3 【答案】A 【解析】因为91016,所以 3104,且10是无理数,故选项 A 正确 9把下列各数分别填入相应的集合里:+(-2),0,0.314, (两个 1 间的 0 的个 数依次多 1 个)(11), , , ,
10、 正有理数集合: , 无理数集合: , 整数集合: , 分数集合: 考向二 近似数和科学记数法 在用科学记数法表示数时,一定要正确确定n的值. 典例典例 10 (2019内江)-268000 用科学记数法表示为 A-268 103 B-268 104 C-26.8 104 D-2.68 105 【答案】D 【解析】数字-268000 用科学记数法表示应为:-2.68 105,故选 D 【名师点睛】 此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式, 其中 1|a|10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 典例典例 11 下列说法错误的是 A近似数
11、0.8 与 0.80 表示的意义不同 B近似数 0.2000 精确到万分位 C3.450 104是精确到十位的近似数 7 D49554 精确到万位是 4.9 104 【答案】D 【解析】A、近似数 0.8 与 0.80 表示的意义不同,正确; B、近似数 0.2000 精确到万分位,正确; C、3.450 104是精确到十位的近似数,正确; D、49554 精确到万位是 4 105,故本选项错误,故选 D. 10 “壮丽 70 年, 数字看中国” 1952 年我国国内生产总值仅为 679 亿元, 2018 年达到 90 万亿元, 是世界第二大经济体90 万亿元这个数据用科学记数法表示为 A9
12、104亿元 B9 105亿元 C9 106亿元 D90 104亿元 113184900精确到十万位的近似值为 A3.18 106 B3.19 106 C3.1 106 D3.2 106 考向三 实数与数轴 1数轴形象地反映了数与点之间的关系,数轴上的点与实数之间是一一对应的,任意一个实数都可 以用数轴上的点表示;反之,数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数 与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题; 2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义(代数意义、几何意义). 典例典例 12 实数 a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是 A B C
13、 D 【答案】A 8 【解析】(1)表示 a 的点离原点较远,所以 ,故选项 A 正确; (2)b,c 异号,所以 bc0,故选项 B 错误; (3)因为 a0,|a|d|,所以 a+d2,故选项 D 错误. 故选 A. 12如图,用“”或“”号填空:a_b 考向四 实数的运算 实数的运算关键是依据正确运算顺序解答,另外还要熟记有关的运算性质,即:(1) 1 (0) p p aa a ;(2) 0 1(0)aa;(3)1的奇次幂为1,偶次幂为 1. 典例典例 13 计算:(1); (2)142(3)2+ ; (3)14(10.5) 2(3)2. 【解析】(1)原式=22= (2)原式=118+
14、9=10 (3)原式=1(29) =1(7) 3 3 1 48 27 3 1 27 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 1 6 9 =1+ = 【名师点睛】(1)原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值;(2)原式先计算乘方运算,再 计算乘除运算, 最后算加减运算即可求出值 (3) 根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得 典例典例 14 定义一种新运算: 2 abbab, 如: 2 1221 22 , 则(1 2 ) 3 _ 【答案】-9 【解析】 2 122( 1) 26 , 2 6336 39 ,所以( 1 2)39 13对于任意两个正数 a,b,定义一种运算如下:ab=,按照
15、此法则计算 34= 14计算: 2 01 5322sin60 2 . 考向五 实数的大小比较 比较实数的大小时,选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有: (1)平方法:当 a0,b0 时,ab ba (2)移动因数法:利用 a 2 a (a0),将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小 (3)作差法:当 ab0 时,可知 ab;当 ab0 时,可知 ab;当 ab0 时,可知 a b (4)作商法:若1 B A ,则 AB;若 B A 1,则 AB;若 B A 1,则 AB(A,B0 且 B0). 7 6 1 6 22 ab ab 10 典例典例 15 在实数2, ,0, 中,最小
16、的一个数是 A2 B0 C D 【答案】D 【解析】负数中( )2(-2)2,所以- 最小.故选 D 15(2019济宁)下列四个实数中,最小的是 A2 B5 C1 D4 考向六 无理数的估算 无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现,无理数的估算既不是估计、也不是猜测,它是一种科 学的计算方法,往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围. 典例典例 16 有理数可以在数轴上表示出来,实数与数轴上的点成一一对应,A 点表示的数是,利 用同样方法,在数轴上表示出来 【解析】如图所示,点 B 表示的数是 2 13 13 11 【名师点睛】本题考查实数与数轴、算术平方根、画图,解答本题的关键是明确题
17、意,画出相应的 图形根据题意可以在数轴上画出表示的点,本题得以解决 16估计 5 的值在 A0 和 1 之间 B1 和 2 之间 C2 和 3 之间 D3 和 4 之间 1若向东走 30 记为+30 ,则向西走 50 记为 A B C D 2 的绝对值等于 A B C D2 3下列算式中,运算结果为负数的是 A(2) B|2| C22 D(2)2 4下列有理数 , , , , ,其中负数的个数有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5在3,1,0,1 四个数中,比2 小的数是 A3 B1 C0 D1 6有理数 a、b 在数轴上的对应点如图所示,则 A B 13 12 C D 7下列说法错误
18、的是 A0 是绝对值最小的有理数 B如果 的相反数是 5,那么 5 C若 4,那么 4 D任何非零有理数的平方都大于 0 8下列说法正确的是 A0 既不是正数,也不是负数,所以 0 不是有理数 B在-3 与-1 之间仅有一个有理数 C一个负数的倒数一定还是负数 D一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右 9如图,在数轴上点 A 所表示的数的绝对值为 A1 B1 C0 D2 10己知 a=5,|b|=8,且满足 a+b0,则 a-b 的值为 A13 B-13 C3 D-3 11下列各组中互为相反数的是 A2.5 与 B 和 2 C2 与 D 与 12“十一”小长假 7 天,温州长途共运送乘客
19、 320000 人次,320000 用科学记数法表示为 A B C D 13若 a=4 4,b=|32 1 |,c=5+2(2 2),则 a、b、c 的大小关系是 Aabc Bcba Cbca Dcab 14(-1)2018的倒数等于 A-1 B1 13 C2018 D-2018 15在实数3、2、0、 中,最小的数是 A3 B2 C0 D 16下列说法正确的是 A实数与数轴上的点一一对应 B无理数与数轴上的点一一对应 C整数与数轴上的点一一对应 D有理数与数轴上的点一一对应 17体积是 2 的正方体的棱长是 A2 的平方根 B2 的立方根 C2 的算术平方根 D2 开平方的结果 18估计 1
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