专题19 新定义型问题备战2020年中考数学典例精做题集（教师版）

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1、 1 知识精要知识精要 新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题 目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义 的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。 要点突破要点突破 解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2） 重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提 供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题 目中需

2、要解决的问题。 典例精讲典例精讲 例 1 阅读理解： 如图 1，若在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 与点 A，B 不重合） ，分别连结 ED，EC，可以 把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上 的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点解决问题： （1）如图 1，若A=B=DEC=55 ，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明 理由； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D 四点均

3、在正方形网格（网格中每个小正 方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相 似点 E； 拓展探究： （3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，请直接写出 BC AB 的值 图 1 图 2 图 3 【答案】 （1）点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点； （2）如图； （3） 3 2 BC AB 2 例 2在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，且 x1

4、x2，y1y2， 若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”， 如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图 （1）已知点 A 的坐标为（1，0） ， 若点 B 的坐标为（3，1） ，求点 A，B 的“相关矩形”的面积； 点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2）O 的半径为，点 M 的坐标为（m，3） ，若在O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形” 为正方形，求 m 的取值范围 3 【答案】（1）直线 AC 的表达式为 y=x1 或 y=x1； （2）1m5 或5m1 解

5、： （1）A（1，0） ，B（3，1） 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， 点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2 1=2； 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又点 A，C 的“相关矩形”为正方形 直线 AC 与 x 轴的夹角为 45 ， 设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=x+n 把（1，0）分别 y=x+m， m=1， 直线 AC 的解析为：y=x1， 把（1，0）代入 y=x+n， n=1， y=x+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x1 或 y=x+1； （2）设直线 MN

6、的解析式为 y=kx+b， 点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45 ， 4 k= 1， 点 N 在正方形边上， 当直线 MN 与正方形有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k=1 时， 作过 R 与 K 的直线与直线 MN 平行， 将（-1,1）和（2，-2）分别代入 y=x+b 得 b=2 或 b=-4 把 M（m，3）代入 y=x+2 和 y=x-4， 得 m=1 m=7 1m7， 课堂精练课堂精练 一、几何新定义型问题一、几何新定义型问题 1定义：如图，点 M，N把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN 三段，若以 AM，M

7、N，BN 为边的三角形 是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点 请解决下列问题： (1)已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，且 BNMNAM.若 AM2，MN3，求 BN 的长； (2)如图，若点 F，M，N，G 分别是 AB，AD，AE，AC 边上的中点，点 D，E 是线段 BC 的勾股分割 点，且 ECDEBD，求证：点 M，N 是线段 FG 的勾股分割点 5 【答案】 （1）； （2）证明见解析. （2） 点 F、 M、 N、 G 分别是 AB、 AD、 AE、 AC 边上的中点， FM、 MN、 NG 分别是ABD、 ADE、 AEC 的中位线，BD=2F

8、M，DE=2MN，EC=2NG 点 D，E 是线段 BC 的勾股分割点，且 ECDEBD，EC2=DE2+DB2，4NG2=4MN2+4FM2， NG2=MN2+FM2，点 M，N 是线段 FG 的勾股分割点 2.如图 1，点C将线段AB分成两 部分，如果 ACBC ABAC ，那么称点C为线段AB的黄金分割点 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义： 直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 1 S， 2 S，如果 12 1 SS SS ，那么称直线l为 该图形的黄金分割线 （1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边

9、上的黄金分割点（如图 2），则直线CD是ABC 的黄金分割线你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE， 交AC于点F，连接EF（如图 3），则直线EF也是ABC的黄金分割线 请你说明理由 （4）如图 4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直 线EF是ABCD的黄金分割线请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分 割点 6 【答案】见解析 （3）因为DFCE，所以DEC和FCE的公共边CE上的高也相等， 所以有

10、DECFCE SS 7 分 设直线EF与CD交于点G所以 DGEFGC SS 所以 ADCFGCAFGD SSS 四边形 DGEAEFAFGD SSS 四边形 ， BDCBEFC SS 四边形 又因为 ADCBDC ABCADC SS SS ，所以 BEFCAEF ABCAEF SS SS 四边形 9 分 因此，直线EF也是ABC的黄金分割线 10 分 （4）画法不惟一，现提供两种画法； 12 分 画法一：如答图 1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点， 则直线MN就是ABCD的黄金分割线 画法二：如答图 2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FMNE交AB于点M

11、， 连接MN，则直线MN就是ABCD的黄金分割线 7 3定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等） ，我 们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解： （1）如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3 个即可） ； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC=80 ，ADC=140 ，对角线 BD 平分ABC 求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”； （3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFCH 的“相似

12、对角线”，EFH=HFG=30 ，连接 EG，若EFG 的面 积为 2，求 FH 的长 【答案】 （1）见解析； （2 ）证明见解析； （3）FH=2 解： （1）由图 1 知，AB=，BC=2，ABC=90 ，AC=5， 四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形， 当ACD=90 时，ACDABC 或ACDCBA， 或， CD=10 或 CD=2.5 同理：当CAD=90 时，AD=2.5 或 AD=10， （2）ABC=80 ，BD 平分ABC， F C B D E A N M G （第 21 题答图 1） F C B D E A N M （第 21 题答图 2） 8 ABD

13、=DBC=40 ， A+ADB=140 ADC=140 ， BDC+ADB=140 ， A=BDC， ABDBDC， BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”； 【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概 念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键. 9 4. 我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做 这个四边形的一对等高点例如：如图，平行四边形 ABCD 中，可证点 A、C 到 BD 的距离相等，所以点 A、C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点，同理可知点 B、D 也是平行四边形 ABCD

14、 的一对等高点 (1)如图，已知平行四边形 ABCD，请你在图中画出一个只有一对等高点的四边形 ABCE(要求： 画出必要的辅助线)； (2)已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点(不与 B、D 点重合)，请分别探究图、图中 S1， S2，S3，S4四者之间的等量关系(S1，S2，S3，S4分别表示ABP，CBP，CDP，ADP 的面积)： 如图，当四边形 ABCD 只有一对等高点 A、C 时，你得到的一个结论是_； 如图，当四边形 ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是_ 【答案】见解析 二、函数与图形新定义型二、函数与图形新定义型问题问题 5. 对于平面直角坐标系 xO

15、y 中的点 P 和直线 m，给出如下定义：若存在一点 P，使得点 P 到直线 m 的 距离等于 ，则称 P 为直线 m 的平行点 （1）当直线 m 的表达式为 y=x 时， 10 在点 P1（1，1），P2（0，2），P3（ 2 2 ， 2 2 ）中，直线 m 的平行点是 ； O 的半径为10，点 Q 在O 上，若点 Q 为直线 m 的平行点，求点 Q 的坐标. （2）点 A 的坐标为（n，0），A 半径等于 1，若A 上存在直线xy3的平行点，直接写出 n 的取值范围 【答案】见解析 在 RtBHQ1中，可求 NQ1=NB=2. 所以 ON=22. 所以点 Q1的坐标为（2，22）. 同理可

16、求点 Q2的坐标为（22 ， 2）. 如图 2，当点 B 在原点下方时，可求点 Q3的坐标为（22 ， 2）点 Q4的坐标为 11 （2 ， 22）. 综上所述，点 Q 的坐标为（2，22），（22 ， 2），（22 ， 2），（2 ， 22）. （2） 3 34 n 3 34 . 7在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是图形 W 上的任意两点 定义图形 W 的测度面积：若|x1x2|的最大值为 m，|y1y2|的最大值为 n，则 S=mn 为图形 W 的测度面 积 例如，若图形 W 是半径为 1 的O，当 P，Q 分别是O 与 x 轴的交点时，如图 1，|

17、x1x2|取得最大值， 且最大值 m=2；当 P，Q 分别是O 与 y 轴的交点时，如图 2，|y1y2|取得最大值，且最大值 n=2则图形 W 的测度面积 S=mn=4 （1）若图形 W 是等腰直角三角形 ABO，OA=OB=1 如图 3，当点 A，B 在坐标轴上时，它的测度面积 S= ； 如图 4，当 ABx 轴时，它的测度面积 S= ； （2）若图形 W 是一个边长 1 的正方形 ABCD，则此图形的测度面积 S 的最大值为 ； （3）若图形 W 是一个边长分别为 3 和 4 的矩形 ABCD，求它的测度面积 S 的取值范围 【答案】 （1）1,1； （2）2； （3）12S 49 2

18、解： （1）如图 3， 12 OA=OB=1，点 A，B 在坐标轴上， 它的测度面积 S=|OA|OB|=1， 故答案为：1 如图 4， ABx 轴，OA=OB=1 AB= 2，OC= 2 2 ， 它的测度面积 S=|AB|OC|= 2 2 2 =1， 故答案为：1 13 故答案为：2 当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，如图 8，过点 A 作直线 AHx 轴于点 E，过 C 点作 CFx 轴于点 F， 过点 D 作直线 GHx 轴，分别交 AE，CF 于点 H，G，则可得四边形 EFGH 是矩形， 当点 P，Q 与点 A，C 重合时，|x1x2|的最大值为 m=EF，|y1y2|的最大值为

19、n=GF 图形 W 的测度面积 S=EFGF， ABC+CBF=90 ，ABC+BAE=90 ， CBF=BAE， AEB=BFC=90 ， AEBBFC， 4 3 AEEBAB BFFCBC ， 设 AE=4a，EB=4b， （a0，b0） ，则 BF=3a，FC=3b， 在 RTAEB 中，AE2+BE2=AB2， 14 16a2+16b2=16，即 a2+b2=1， b0， 2 1ba ， 在ABE 和CDG 中， EG ABECDG ABCD ABECDG（AAS） CG=AE=4a， EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a， 图形 W 的测度面积 S=EFGF=（

20、4b+3a） （3b+4a） 考点：圆的综合题；二次函数的最值问题；全等三角形；新定义题目；探究型题目 8在平面直角坐标系中，点 Q 为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在Q 的内部（含角的边） ，这 时我们把Q 的最小角叫做该图形的视角 如图 1， 矩形 ABCD， 作射线 OA， OB， 则称AOB 为矩形 ABCD 的视角 15 （1）如图 1，矩形 ABCD，A（，1） ，B（，1） ，C（，3） ，D（，3） ，直接写出视角 AOB 的度数； （2）在（1）的条件下，在射线 CB 上有一点 Q，使得矩形 ABCD 的视角AQB=60 ，求点 Q 的坐标； （3）如图 2，P 的半径为

21、 1，点 P（1，） ，点 Q 在 x 轴上，且P 的视角EQF 的度数大于 60 ， 若 Q（a，0） ，求 a 的取值范围 【答案】 （1）视角AOB 的度数是 120 ； （2）Q 的坐标（，1） ； （3）a 的取值范围是 0a2 解： （1）120 ； （2）连结 AC，在射线 CB 上截取 CQ=CA，连结 AQ AB=2，BC=2， AC=4 16 ACQ=60 ACQ 为等边三角形， 即AQC=60 CQ=AC=4， Q（，1） a 的取值范围是 0a2 点睛：本题的关键是理解视角的定义，然后根据定义求出题目的要求，三角函数求出度数，第三问里要 注意切线的位置的特殊性，利用切线

22、的性质求出视角，近而得出 Q 点横坐标的取值范围内的数值即可. 9. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点( , )Q x y（x0） ，将它的纵坐标 y 与横坐标 x 的比 y x 称为点 Q 的“理 想值”，记作 Q L.如( 1,2)Q 的“理想值” 2 2 1 Q L . （1）若点(1, )Qa在直线4yx上，则点 Q 的“理想值” Q L等于_； 17 如图，( 3,1)C， C 的半径为 1. 若点 Q 在C 上， 则点 Q 的“理想值” Q L的取值范围是 . （2）点 D 在直线 3 +3 3 yx 上，D 的半径为 1，点 Q 在D 上运动时都有 0LQ3，求点 D 的横 坐

23、标 D x的取值范围； （3）(2,)Mm（m0） ，Q 是以 r 为半径的M 上任意一点，当 0LQ2 2时，画出满足条件的最大圆， 并直接写出相应的半径 r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图） 【答案】见解析 18 由 0 Q L 3，作直线 3yx 如图 13， 当D 与 x 轴相切时， 相应的圆心 1 D 满足题意， 其横坐标取到最大值 作 11 D Ex 轴于点 1 E ， 可得 11 D E OB， 111 D EAE BOAO D 的半径为 1， 11 1D E 1 3AE ， 11 2 3OEOAAE 1 2 3 D x 图 13 19 2 1D F 图 15 图 14

24、 20 三、方程、不等式、函数与新定义 11对于三个数 、 、 ，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数中最大数，例如： ，. 解决问题： （1）填空： ，如果，则 的取值范围 为 ； （2）如果，求 的值； （3）如果，求 的值. 【答案】 （1），； （2）3 或 0； （3） x=3 或3 21 解： （1）sin45 =，cos60 = ，tan60 =， Msin45 ，cos60 ，tan60 =， max3，53x，2x6=3， 则， x 的取值范围为：， 故答案为：，； （2）2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4， 分三种情况：当 x+42 时，即 x2， 原等式变

25、为：2（x+4）=2，x=3， x+22x+4 时，即2x0， 原等式变为：2 2=x+4，x=0， 当 x+22 时，即 x0， 原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0， 综上所述，x 的值为3 或 0； （3）不妨设 y1=9，y2=x2，y3=3x2，画出图象，如图所示： 结合图象， 不难得出， 在图象中的交点 A、 B 点时， 满足条件且 M9， x2， 3x2=max9， x2， 3x2=yA=yB， 此时 x2=9，解得 x=3 或3 点睛：本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题，理解新定义，并能结合图象，可以很轻松将抽象 题或难题破解，由此看出，图象在函数相关问题的作用是何等

26、重要 22 12定义：对于给定的二次函数 y=a（xh）2+k（a0） ，其伴生一次函数为 y=a（xh）+k，例如：二 次函数 y=2（x+1）23 的伴生一次函数为 y=2（x+1）3，即 y=2x1 （1）已知二次函数 y=（x1）24，则其伴生一次函数的表达式为_； （2）试说明二次函数 y=（x1）24 的顶点在其伴生一次函数的图象上； （3）如图，二次函数 y=m（x1） 24m（m0）的伴生一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A， 且两函数图象的交点的横坐标分别为 1 和 2，在AOB 内部的二次函数 y=m（x1）24m 的图象上有一 动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点 Q，设点 P 的横坐标为 n，直接写出线段 PQ 的长为 时 n 的值 【答案】y=x5