专题18 解直角三角形备战2020年中考数学典例精做题集(教师版)
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1、 1 知识精要知识精要 一、锐角三角函数: 在直角三角形 ABC 中,C 是直角 1、三角函数定义 正弦:把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦,记作 c a A sin 余弦:把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作 c b A cos 正切:把锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作 b a A tan 2、同角三角函数关系公式 (1)1cossin 22 BA; (2) A A cot 1 tan ; (3) tanA A A cos sin 3、一些特殊角的三角函数值 二、解直角三角形 由直角三角形中,除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 若
2、直角三角形 ABC 中,C90 ,那么 A、B、C,a,b,c 中除C90 外,其余 5 个元素之间有关 系: (l) 222 cba; (2)A 十B90 ; (3) c a A sin ; c b A cos ; b a A tan ; a b A cot 所以,只要知道其中的 2 个元素(至少有一个是边) ,就可以求出其余 3 个未知数。 要点突破要点突破 1.根据题意构造直角三角形,正确选择锐角三角函数。 2.由平行光线形成的投影:在某一时刻物体高度的比等于影长的比 典例精讲典例精讲 例 1如图,某超市(大型商场)在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板(一楼的楼顶墙壁)与地面平 行,请你根
3、据图中数据计算回答:小敏身高 1.85 米,他乘电梯会有碰头危险吗?(sin28o0.47,tan28o0.53) 2 【答案】小敏不会有碰头危险 例 2如图,一栋居民楼 AB 的高为 16 米,远处有一栋商务楼 CD,小明在居民楼的楼底 A 处测得商务 楼顶 D 处的仰角为 60 ,又在商务楼的楼顶 D 处测得居民楼的楼顶 B 处的俯角为 45 其中 A、C 两点分别 位于 B、D 两点的正下方,且 A、C 两点在同一水平线上,求商务楼 CD 的高度 (参考数据: 21.414, 31.732结果精确到 0.1 米) 【答案】37.9 米 【解析】过点 B 作 BECD 与点 E,解直角三角
4、形得出方程,求出方程的解即可 解: 过点 B 作 BECD 与点 E, 由题意可知DBE=45 , DAC=60 , CE=AB=16, 设 AC=x, 则 CD=3x, 3 BE=AC=x DE=CDCE=3x16 BED=90 , DBE=45 , BE=DE, x=3x16, x=83+8, CD=3x=24+8337.9(米) 答:商务楼 CD 的高度为 37.9 米 课堂精练课堂精练 一、单选题 1如图,一架长米的梯子 AB 斜靠在墙上,已知梯子底端 B 到墙角 C 的距离为米,设梯子与地面 所夹的锐角为 ,则的值为 A B C D 【答案】A 2如图,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为
5、 的山坡向上走了 300 米到达 B 点,则小刚上升了( ) A 米 B 米 C 米 D 米 4 【答案】A 【解析】解:在 RtAOB 中,AOB=90 ,AB=300 米, BO=ABsin=300sin 米 故选 A 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用,根据题意构造直角三角形,正确选择锐角三角函数得出 AB,BO 的关系是解题关键 3如图,在中,D 是 AC 上一点,若,则 AD 的长为 A 2 B 4 C D 【答案】A 4如图,AC 是电线杆 AB 的一根拉线,测得 BC 的长为 6 米,ACB=50 ,则拉线 AC 的长为( ) 5 A B C 6cos50 D 【答案】B
6、 5河堤的横截面如图所示,堤高 BC 是 5 米,迎水坡 AB 的长是 13 米那么斜坡 AB 的坡度 i 是( ) A 1:3 B 1:2.6 C 1:2.4 D 1:2 【答案】C 【解析】 在 RtABC 中, 根据勾股定理求得 AC 的长, 根据坡面 AB 的坡比即为BAC 的正切即可求解. 解: 在 RtABC 中,BC=5 米,AB=13 米, 根据勾股定理得 AC=12 米, AB 的坡度 i=. 故选 C. 6 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图, 旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等 小 明将PB拉到PB的位置, 测得 (为水平线) , 测角仪的高度为1
7、米, 则旗杆PA的高度为( ) 6 A B C D 【答案】A 7如图,从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为、,如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100m,点 A、D、B 在同一直线上,则 A、B 两点的距离是 A 200m B C D 【答案】D 【解析】先根据从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为、可求出与的度数, 再由直角三角形的性质求出 AD 与 BD 的长,根据即可得出结论 解:从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为、, , 7 , 是等腰直角三角形, , 在中, , , , 故选 D 8如图,要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为 35
8、,高 CD 长为 3 米,则斜梁 AC 长为( )米 A B C 3sin35 D 【答案】D 9如图,甲、 乙为两座建筑物, 它们之间的水平距离 BC 为 30 日,在 A 点测得 D 点的仰角, 在 B 点测得 D 点的仰角为,测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为 米 A ,30 B 30, C ,30 D , 8 【答案】D 【解析】在中可求得 CD 的长,即求得乙的高度,延长 AE 交 CD 于 F,则,求得 ,在中可求得 DF,则可求得 CF 的长,即可求得甲的高度 解:延长 AE 交 CD 于 F,则, 10如图,在中,点 D 是 CB 延长线上的一点,且,则 的值为 A B C D
9、 9 【答案】A 【解析】 通过解直角得到 AC 与 BC、 AB 间的数量关系, 然后利用锐角三角函数的定义求 的值 解:如图, 在中, , , , 故选:A 11如图,直立于地面上的电线杆APM,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BCCD、. 测得6mBC , 4mCD , 150BCD,在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为30,则电线杆AB的 高度 为( ) A 22 3 B 42 3 C 42 3 D 43 2 【答案】B 10 由题意得E=30 , EF= tanE DF =23, BE=BC+CF+EF=6+43, AB=BE tanE= 3 3 (6+43) =(23+4
10、)米, 即电线杆的高度为(23+4)米 故选 B. 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题, 掌握仰角俯角的概念、 熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 12如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE 留 在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12 m,塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站 在点 E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2m 和 1m,那么塔高 AB 为( ) 11 A 24m B 22m C 20m D 18m 【答案】A 二、填空题 12 13如图,小明为
11、了测量校园里旗杆 AB 的高度,将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置, 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53 ,若测角仪的高度是 1.5m,则旗杆 AB 的高度约为_m (精确到 0.1m参考数据:sin530.80,cos530.60,tan531.33) 【答案】9.5 【解析】解:过 D 作 DEAB, 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53 , ADE53 , BCDE6m, AEDEtan5361.337.98m, ABAEBEAECD7.981.59.48m9.5m, 故答案为:9.5 14如图,某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度,已知在离地面
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