专题15 圆的计算与证明（1）备战2020年中考数学典例精做题集（教师版）

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1、 1 知识精要知识精要 一、垂直于弦的直径一、垂直于弦的直径 圆轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。 推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹 的弧相等。 二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所

2、对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。 三、圆周角三、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径。 推理 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 四、圆的内接四边形四、圆的内接四边形 多边形的

3、所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 五、切线的判定和性质五、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于 经过切点的半径 推理 1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 六、三角形的内切圆六、三角形的内切圆 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的 2 交点就是圆心。 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三

4、角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 七、切线长定理七、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 要点突破要点突破 解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题 典例精讲典例精讲 例 1如图，AB 是的一条弦，E 是 AB 的中点，过点 E 作于点 C，过点 B 作的切线交 CE 的延长线于点 D 求证：； 若，求的半径 【答案】 （1）证明见解析； （2）的半径为 3 作于 F

5、，连接 OE， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 4 ， 的半径为 例 2如图，在中，以 AC 为直径作交 BC 于点 D，过点 D 作于点 E，交 AC 的延长线于点 F 求证：EF 与相切； 若，求 EB 的长 【答案】证明见解析 ， ， ， ， 5 ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； 设的半径为 r， ， 解得， ， 课堂精练课堂精练 一、单选题 1如图，内接于，连结 OA，OB，则的度数是 6 A B C D 【答案】C 2如图，已知 AB 是的直径，则的度数为 A B C D 【答案】C 3如图，AB 为的直径，点 C 在上，若，则的长为 7 A B C D 【答案】B 【解

6、析】根据等腰三角形的性质得出A 的度数，再利用圆周角定理得出BOC 的度数，然后根据弧 长公式进行计算即可求出答案 解：， ， ， ， ， 的长为：， 故选 B 4如图，点 D、E 分别是的内接正三角形 ABC 的 AB、AC 边上的中点，若的半径为 2，则 DE 的长等于 A B C 1 D 【答案】A 8 故选：A 5如图，的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，则等于 A B C D 9 【答案】C 6如图，点 A，B，C 均在O 上，若A=66 ，则OCB 的度数是（ ） A 24 B 28 C 33 D 48 【答案】A 【解析】首先利用圆周角定理可得COB 的度数，再根据等边对等角可

7、得OCB=OBC，进而可得 答案 解：A=66 ， COB=2A=132 ， CO=BO， OCB=OBC= （180 132 ）=24 ， 故选 A 7如图，已知圆心角AOB=110 ，则圆周角ACB=（ ） A 55 B 110 C 120 D 125 【答案】D 【解析】根据圆周角定理，得 10 ACB= （360 -AOB）= 250 =125 故选：D 8如图，PA、PB 分别与圆 O 相切于 A、B 两点，C 为圆上一点，P70 ，则C（ ） A 60 B 55 C 50 D 45 【答案】B 所以，P+BOA=180 , 所以，BOA=180 -P=110 , 所以，C=, 故选：B 9如图，PA 和 PB 是O 的切线，点 A 和 B 的切点，AC 是O 的直径，已知P=50 ，则ACB 的 大小是（ ） A 65 B 60 C 55 D 50 【答案】A 11 10 如图， 一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A 3 B C D 【答案】D 12