专题14 四边形的计算与证明（1）备战2020年中考数学典例精做题集（教师版）

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1、 1 知识精要知识精要 一、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理 边：平行四边形的对边相等；两组对边分别平行。 角：平行四边形的对角相等；邻角互补。 对角线：平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形性质定理的推论：夹在平行线间的平行线段相等。 3、平行四边形判定定理： 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 一组对边平行，一对角相等的四边形是平行四边形。 4、平行四

2、边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。二、矩形:是特殊 的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为 90 时，其它的边、角位置也都随之 变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形） 2、矩形性质定理： 角：矩形的四个角都相等，都是直角。 对角线：矩形的对角线相等。 4、矩形判定定理： 角：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线 ：对角线相等的平行四边形是矩形。 说明：要判定四边形是矩形的方法是： 2 法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个

3、直角（这是用定义证明） 法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理 1） 法三：只需证出三个角都是直角。 （这是判定定理 2） 三、菱形:也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行 四边形变成了菱形。 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质： 边：菱形的四条边相等。 对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3、菱形判定定理 边：四边都相等的四边形是菱形。 ：对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 说明：要判定四边形是菱形的方法是： 法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。 （这

4、就是定义证明） 。 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。 （这是判定定理 2） 法三：只需证出四边都相等。 （这是判定定理 1） 四、正方形 正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边 相等，这样就形成了正方形 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形性质定理： 边：四条边都相等。 角 ：正方形的四个角都是直角。 对角线：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4、正方形判定定理： 边：一组邻边相等的矩形是正方形。 角：有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线：两条

5、对角线互相垂直的矩形是正方形。 两条对角线相等的菱形是正方形。 3 注意：要判定四边形是正方形的方法有 方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。 （这 是用定义证明） 方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。 （这是判定定理 1） 方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。 （这是判定定理 2） 要点突破要点突破 熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，边、角、对角线所具有的性质和判定是解题的关 键 典例精讲典例精讲 例 1如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，连接 OE，交 BC 于 F 求证：； 如果 OC：，求

6、菱形 ABCD 的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）4. 由知，：2， 在中，由勾股定理得， 4 四边形 ABCD 是菱形， ， 菱形 ABCD 的面积是： 例 2如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60 ，点 E 是AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动 点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN （1）求证：NDEMAE； （2）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （3）当 AM 的值为何值时，四边形 AMDN 是矩形？请说明理由 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）当 AM=1 时，四边形 AMDN

7、 为矩形，理由见解析. （2）证明： 5 由（1）可知NDEMAE， ND=AM，且 NDAM， 四边形 AMDN 为平行四边形； （3）解：当 AM=1 时，四边形 AMDN 为矩形， 理由如下： 若四边形 AMDN 为矩形，则AMD=90 ， DAM=60 ， ADM=30 ， AM= AD= AB=1， 故当 AM=1 时，四边形 AMDN 为矩形 课堂精练课堂精练 一、单选题 1如图，在 ABCD 中，已知，AE 平分交 BC 于点 E，则 CE 长是 A 8cm B 5cm C 9cm D 4cm 【答案】B ， 6 ， ， 故选：B 2如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是

8、AC，DC 的中点若 EF=3，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 【答案】D 3如图，菱形 ABCD 中，B=60 ，AB=2cm，E，F 分别是 BC、CD 的中点，连结 AE、EF、AF，则 AEF 的周长为（ ） A cm B cm C cm D 3cm 【答案】C 【解析】首先根据菱形的性质证明ABEADF，然后连接 AC 可推出ABC 以及ACD 为等边三角 形根据等腰三角形三线合一的定理又可推出AEF 是等边三角形根据勾股定理可求出 AE 的长继而求 出周长 7 B=D=60 ， ABC 与ACD 是等边三角形， AEBC，AFCD（等腰三角

9、形底边上的中线与底边上的高线重合） ， BAE=DAF=30 ， EAF=60 ， AEF 是等边三角形 AE=cm, 周长是 3cm, 故选：C 4 如图， 已知四边形 ABCD 是平行四边形， 若 AF、 BE 分别是、的平分线， 则 EF 的长是 A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】B 8 【解析】 由四边形 ABCD 是平行四边形， 若 AF、 BE 分别是、的平分线， 易得与 是等腰三角形，继而求得，则可求得答案 解：四边形 ABCD 是平行四边形， ， ， 、BE 分别是、的平分线， ， ， ， 故选：B 5如图，在 ABCD 中，点 M、N 分别是边 AB、BC 上的动点，连

10、接 DN、MN， 点 E、F 分别为 DN、MN 的中点，连接 EF，则 EF 的最小值为 A 1 B C D 【答案】B 9 故选：B 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，交 AD 于 点 E，则的周长为 A 20cm B 18cm C 16cm D 10cm 【答案】A 7如图，在 ABCD 中，将 ABCD 沿直线点 E、F 分别在边 AD 和边 BC 上 折叠，使 点 D 与点 B 重合，若 ABCD 的周长为 12，则的周长为 A 5 B 8 C 6 D 10 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质求出，根据折叠的性质得到，根据三角形的周长公式 10 计算

11、即可 解： ABCD 的周长为 12， ， 由折叠的性质可知， 的周长， 故选：C 8如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A 7 B 8 C 11 D 10 【答案】C 9如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中阴影部分的 周长为（ ） A 8 B 4 C 8 D 6 【答案】C 【解析】首先由正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，即可求得其边长为 2，然后由折叠的性质，可得 AM=AM，DN=DN，AD=AD，则可得

12、图中阴影部分的周长为： 11 10如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边 作第三个正方形 AEGH，如此下去，则第 2018 个正方形的边长为 A 22017 B 22018 C D 【答案】C 【解析】首先根据勾股定理求出 AC、AE、AG 的长度，可以看出每个正方形的边长都是前一个正方形 12 边长的倍，即可解决问题. 解：四边形 ABCD 为正方形， AB=BC=1，B=90 ， AC2=12+12，AC= 同理可得：AE=（）2， AG=（）3， ， 第 n 个正方形的边长 an=（）n-1 第 2018 个正方形的边

13、长 a2018=（）2017 故选 C. 11如图，P 是矩形 ABCD 的 AD 边上一个动点，矩形的两条边 AB、BC 长分别是 6 和 8，则点 P 到 矩形的两条对角线距离之和 PE+PF 是（ ） A 4.8 B 5 C 6 D 7.2 【答案】A 13 故选 A 12如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（ ） A B 2 C D 【答案】C 点睛：本题是一道综合应用正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质求线段长度的题目，解题的 14 关键是：作出如图所示的辅助线，利用正方形的性质和勾股定

14、理求得 AC、CF 的长，并证明ACF=90 ， 由此即可由勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 CH 的长. 13如图，已知 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，且 AC=8，BD=10，AB=5，则OCD 的周长为 _ 【答案】14 14 如图， 将两条宽度为 3 的直尺重叠在一起， 使ABC=60 ， 则四边形 ABCD 的面积是_ 【答案】6 【解析】先根据两组对边分别平行证明四边形 ABCD 是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利 用面积求出 AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是 3 与ABC=60 求出菱形的边长， 然后利用菱形的面积=底 高计算即可 解：纸条的对边平行 , 即 AB CD，AD BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 两张纸条的宽度都是 3 ， S四边形ABCD=AB 3=BC 3 ， AB=BC ， 平行四边形 ABCD 是菱形，即四边形 ABCD 是菱形. 如图 , 过 A 作 AEBC, 垂足为 E, 15