专题13 抛物线与压轴题(2)备战2020年中考数学典例精做题集(教师版)
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1、 1 二、抛物线与等腰三角形二、抛物线与等腰三角形 4如图,直线与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C,对称轴为的抛物线经过 B、C 两点,与 x 轴的另一个交点为 A,顶点为 D、点 P 是该抛物线上的一个动点,过点 P 作轴于点 E,分别交线段 BD、BC 于点 F、G,设点 P 的横坐标为 求该抛物线所对应的函数关系式及顶点 D 的坐标; 求证:; 当为等腰三角形时,求 t 的值 【答案】 ,D 坐标为;证明见解析;证明见解析;t 的值为 或 分三种情况讨论: 若则; 若则; 若则; 分别解方程可得. 解:直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为, 抛物线的对称轴为, 2 点 A 坐标为 设
2、所求抛物线的函数关系式为, 把点代入,得, 解得 所求抛物线的函数关系式为:,即 该抛物线的顶点 D 的坐标为 , 易得直线 DB 所对应的函数关系式为 设点 P 的坐标为,则, , ,即 过点 D 作轴,垂足为点 H,如图 分三种情况讨论: 若则, 3 整理得, 解得,舍去 若则, 整理得, 解得, , 这种情况不存在 5如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,2) ,OB=4OA,tanBCO=2 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)点 M、N 分别是线段 BC、AB
3、 上的动点,点 M 从点 B 出发以每秒个单位的速度向点 C 运动, 同时点 N 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动,当点 M、N 中的一点到达终点时,两点同时停止 运动 过点 M 作 MPx 轴于点 E, 交抛物线于点 P 设点 M、 点 N 的运动时间为 t (s) , 当 t 为多少时, PNE 是等腰三角形? 4 【答案】 (1)A(1,0) ; (2)y= x2 x2; (3)当 t=1 时,PNE 是等腰三角形 【解析】(1) 由 C (0, 2) 知 OC=2, 根据 tanBCO=2 得 OB=4, 据此得出点 B 坐标, 再由 OB=4OA 可得点 A 坐标
4、; (2)将点 A、B 坐标代入抛物线解析式求得 a、b 的值,从而得出答案; (3)由题意知 AN=2t、BM=t,根据 tanBME=tanBCO=2 知=,求得 OE=OBBE=4t, 从而得出 PE= (4t)2+ (4t)+2,再分点 N 在点 E 左侧和右侧两种情况,表示出 NE 的长,利用 NE=PE 列方程求解可得答案 (2)将点 A(1,0) 、B(4,0)代入 y=ax2+bx2, 得:, 解得:, 抛物线解析式为 y= x2 x2; (3)设点 M、点 N 的运动时间为 t(s) ,则 AN=2t、BM=t, PEx 轴, PEOC, BME=BCO, 则 tanBME=
5、tanBCO,即=2, 5 =,即 =, 则 BE=t, OE=OBBE=4t, PE= (4t)2 (4t)2= (4t)2+ (4t)+2, 点 N 在点 E 左侧时,即1+2t4t,解得 t , 此时 NE=AO+OEAN=1+4t2t=53t, PNE是等腰三角形, PE=NE, 即 (4t)2+ (4t)+2=53t, 整理,得:t211t+10=0, 解得:t=1 或 t=10 (舍) ; 6如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y 轴相交 于点 C(0,3) (1)求这个二次函数的表达式; (2)若 P 是第四象限
6、内这个二次函数的图象上任意一点,PHx 轴于点 H,与 BC 交于点 M,连接 PC 6 求线段 PM 的最大值; 当PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时,求点 P 的坐标 【答案】 (1)二次函数的表达式 y=x22x3; (2)PM最大= ;P(1,4)或(,21) 当 PM=PC 时, (n2+3n)2=n2+(n22n3+3)2, 解得 n1=0(不符合题意,舍) ,n2=2, n22n3=-3, P(2,-3) ; 7 当 PM=MC 时, (n2+3n)2=n2+(n3+3)2, 解得 n1=0(不符合题意,舍) ,n2=3+(不符合题意,舍) ,n3=3-, n22n3=2-
7、4, P(3-,2-4) ; 综上所述:P(2,3)或(3-,24) 三、抛物线与直角三角形三、抛物线与直角三角形 7如图,直线与抛物线相交于和,点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点,过点 P 作轴于点 D,交抛物线于点 C 求抛物线的解析式; 是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理 由; 连接 AC,直接写出为直角三角形时点 P 的坐标 【答案】 (1); (2)当时,线段 PC 最大且为; (3)为直角三角形时,点 P 的坐标为或 (3)当PAC 为直角三角形时,根据直角顶点的不同,有三种情形,需要分类讨论,分别求解 解:在直
8、线上, 8 , , ,在抛物线上, ,解得, 抛物线的解析式为; 设动点 P 的坐标为,则 C 点的坐标为, , , , , 当时,线段 PC 最大且为; 设直线 AM 的解析式为:, 则:,解得, 直线 AM 的解析式为: , 又抛物线的解析式为: , 9 联立式,解得:或与点A 重合,舍去 , ,即点 C、M 点重合, 当时, ; 若点 C 为直角顶点,则 , 抛物线的对称轴为直线, 如图 2,作点关于对称轴的对称点 C, 则点 C 在抛物线上,且, 当时, , 点、均在线段 AB 上, 综上所述,为直角三角形时,点 P 的坐标为或 8如图 1,在平面直角坐标系中,直线与 x 轴交于 B
9、点,与 y 轴交于 C 点,抛物线 经过 B、C 两点,与 y 轴的另一个交点为点 A,P 为线段 BC 上一个动点 不与点 B、点 C 重合 求抛物线的解析式; 10 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D,连结 CD、PD,当为直角三角形时,求点 P 的坐标; 过点 C 作轴,交抛物线于点 E,如图 2,求的最小值 【答案】抛物线的解析式为;点 P 的坐标为或; 的最小值为 10 解:直线与 x 轴交于 B 点,与 y 轴交于 C 点, 点 B 的坐标为,点 C 的坐标为 抛物线经过 B、C 两点, ,解得:, 抛物线的解析式为 抛物线的解析式为, 11 抛物线的对称轴为直线, 点 D 的坐
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