专题12 二次函数与方程、不等式备战2020年中考数学典例精做题集(教师版)
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1、 1 知识要点知识要点 抛物线与 x 轴的交点以及抛物线的轴对称性:求二次函数b,c 是常数,与 x 轴 的交点坐标,令,即,解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标决定 抛物线与 x 轴的交点个数:时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;时,抛物线与 x 轴没有交点 要点突破要点突破 1.熟练掌握二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系 2.利用二次函数图象解一元二次不等式,从二次函数图象中获取信息是解题的关键. 典例精讲典例精讲 例 1.已知二次函数( 为常数). (1)求证:不论 为何值,该函数的图像与 轴总有公共点; (2)当 取什么值时,
2、该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方? 【答案】 (1)证明见解析; (2)时,该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方. 例 2.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(-1,t),B(3,t),与 yy轴交于点 C(0, -1)一次函数 y=x+n 的图象经过抛物线的顶点 D 2 (1)求抛物线的表达式 (2)求一次函数yxn的表达式 (3)将直线: l ymxn绕其与y轴的交点E旋转,使当11x 时,直线l总位于抛物线的下方, 请结合函数图象,求m的取值范围 【答案】 (1)y=x2-2x-1; (2)一次函数 y=x+n 的表达式是 y=x-3; (3)当-5
3、m1 时,当-1x1 时, 直线 l 总位于抛物线的下方 (2)二次函数 2 21yxx的顶点坐标是(1,2), 代入 y=x+n 得2=1+n, 解得:n=3, 则一次函数 y=x+n 的表达式是 y=x3; (3)如图所示: 3 在 2 21yxx中,当 x=1 时,y=2; 当 x=1 时,y=2. 当直线 y=mx3 经过点(1,2)时,m3=2,解得:m=5; 当直线 y=mx3 经过点(1,2)时,m3=2,解得:m=1. 则当5m0 可知抛物线开口向上,再根据抛物线与 x 轴最多有一个交点可 c0,由此可判断, 根据抛物线的对称轴公式 x=可判断,由 ax2+bx+c0 可判断出
4、 ax2+bx+c+110,从而可判断,由 题意可得 ab+c0,继而可得 a+b+c2b,从而可判断. 5 解:抛物线 y=ax2+bx+c(02ab)与 x 轴最多有一个交点, 抛物线与 y 轴交于正半轴, c0, abc0,故正确; 02ab, 1, 1, 该抛物线的对称轴在 x=1 的左侧,故错误; 由题意可知:对于任意的 x,都有 y=ax2+bx+c0, ax2+bx+c+110,即该方程无解,故正确; 抛物线 y=ax2+bx+c(02ab)与 x 轴最多有一个交点, 当 x=1 时,y0, ab+c0, a+b+c2b, b0, 2,故正确, 综上所述,正确的结论有 3 个,
5、故选 C 5已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图所示,当 y0 时,x 的取值范围是( ) A 1x2 B x2 C x1 D x1 或 x2 【答案】D 6 当 y0 时,图象在 x 轴的上方, 此时 x1 或 x2, x 的取值范围是 x1 或 x2, 故选 D 6二次函数 y=x2+2xm2+1 的图像与直线 y=1 的公共点个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 【答案】C 【解析】首先将其转化为一元二次方程,从而根据根的判别式得出方程的解,从而得出函数的交点个 数 解:根据题意可得:x2+2xm2+1=1,即=0, =4+40, 方程有两个不相等的实数根, 两
6、个函数的交点为两个, 故选 C 7二次函数与的图像与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( ) A B C D 【答案】D 8如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是( ). A B C D 【答案】A 【解析】根据图象可知,该二次函数的对称轴 x=2,其中一个点的坐标为(5,0) ,则根据二次函数图 7 象的对称性,求出与 x 轴的另一点坐标,即(-1,0) ;接下来根据图象求出 ax2+bx+c0,即 y0 时 x 的取 值范围,即可得到不等式的解集. 解:由图象得:对称轴是 x=2,其中一个点的坐标为(5,0) , 图象与 x 轴的
7、另一个交点坐标为(-1,0). 利用图象可知:ax2+bx+c0 的解集即是 y0 是 x 的取值范围, -1x5. 故选 A. 9二次函数满足以下条件:当时,它的图象位于 x 轴的下方;当 时,它的图象位于 x 轴的上方,则 m 的值为 A 8 B C D 【答案】D 解得, 则有当时,它的图象位于 x 轴的下方; 当时,则, 令,则, 解得, 则有当时,它的图象位于 x 轴的下方;当时,它的图象位于 x 轴的上方; 8 故选:D 10关于 x 的方程(x-3)(x-5)=m(m0)有两个实数根 , ( ),则下列选项正确的是( ) A 3 5 B 3 5 C 2 5 D 5 【答案】D 【
8、解析】根据平移可知:将抛物线 y=(x-3) (x-5)往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=(x-3) (x-5) -m,依此画出函数图象,观察图形即可得出结论 解:将抛物线 y=(x-3) (x-5)往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=(x-3) (x-5)-m, 画出函数图象,如图所示 抛物线 y=(x-3) (x-5)与 x 轴的交点坐标为(3,0) 、 (5,0) ,抛物线 y=(x-3) (x-5)-m 与 x 轴的 交点坐标为(,0) 、 (,0) , 5 故选:D 11如图,抛物线与双曲线的交点 A 的横坐标是 1,则关于 x 的不等式的解 集是 9 A B C D 【答案】
9、C 12二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a0)中,x 与 y 的部分对应值如下表: x 3 2 1 0 y 0 3 4 3 下列结论: ac0; 当 x1 时,y 随 x 的增大而增大; 4 是方程 ax2+(b4)x+c=0 的一个根; 当1x0 时,ax2+(b1)x+c+30其中正确结论的个数为( ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【答案】C 【解析】x=-3 时 y=0,x=0 时,y=-3,x=-1 时,y=-4, , 10 解得:, y=x2+2x-3, ac=1 (-3)=-3-1 时,y 随 x 的增大而增大,所以当 x1 时,y 随
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