专题06 探索规律（2）备战2020年中考数学典例精做题集（教师版）

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1、 1 五、等比数列型 1如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到 1 条折痕(图中虚线)， 对折二次得到 3 条折痕， 对折三次得到 7 条折痕， 那么对折 2018 次后可以得到_ 条折痕 【答案】(220181) 2如图所示，正方形的边长为 ，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直 角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 _. 【答案】 2 【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案. 根据题意可得：=4，=2，=1，= ，= ，则=，根据规律得出答案.

2、 点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们 首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二 个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律， 从而得出答案. 3在数学活动中，小明为了求的值(结果用 n 表示)，设计如图所示的几何图形 请你利用这个几何图形求的值 【答案】 4观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成 4 个小三角形，挖去中间的一个小三 角形（如图 1） ；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图 2，图

3、3）.观 察规律解答以下各题： 3 （1）填写下表: 图形序号 挖去三角形的个数 图 1 1 图 2 1+3 图 3 1+3+9 图 4 （2）根据这个规律，求图 n 中挖去三角形的个数 fn(用含 n 的代数式表示)； （3）若图 n+1 中挖去三角形的个数为 fn+1，求 fn+1-fn 【答案】 （1）40； （2）fn=3n-1+3n-2+32+3+1;（3）3n （2）由（1）知，图 n 中挖去三角形的个数 fn=3n-1+3n-2+32+3+1； （3）fn+1=3n+3n-1+32+3+1， fn=3n-1+3n-2+32+3+1 fn+1fn=3n 点睛：考查了规律型：图形的变

4、化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找 规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 4 六、正整数平方型 1古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数 记为 a1 ， 第二个三角数记为 a2，第 n 个三角数记为 an， 计算 a1+a2， a2+a3， a3+a4，由此推算 a2015+a2016=_ 【答案】20162 2观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 105 个图形中所有点的个数 为（ ） A 1016 个 B 11025 个 C 11236 个 D 22249 个 【答案】C

5、【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第 n 个图形中点的个数的表达式，再根 据求和公式列式计算即可得解 解：第 1 个图形中点的个数为：1+3=4， 第 2 个图形中点的个数为：1+3+5=9， 第 3 个图形中点的个数为：1+3+5+7=16， ， 第 n 个图形中点的个数为：1+3+5+（2n+1）=（n+1）2 当 n=105 时， （105+1）2=11236， 故选：C 5 七、正整数求和型 1观察下列图形，第一个图 2 条直线相交最多有 1 个交点，第二个图 3 条直线相交最多有 3 个交点， 第三个图 4 条直线相交最多有 6 个交点，像这样，则 20 条直线相

6、交最多交点的个数是（ ） A 171 B 190 C 210 D 380 【答案】B 2 （1）观察思考：如图，线段 AB 上有两个点 C、D，请分别写出以点 A、B、C、D 为端点的线段， 并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建： 如果线段上有 m 个点（包括线段的两个端点） ，则该线段上共有多少条线段？请说明 你结论的正确性； （3）拓展应用：某班 45 名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握 1 次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题 【答案】 （1）6 条线段； （2）； （3）990 次. 【解析】 （1）从左向右依次固定一个端

7、点 A、C、D 找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点 列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论 （1）以点 A 为左端点向右的线段有：线段 AB、AC、AD ， 6 以点 C 为左端点向右的线段有线段 CD、CB， 以点 D 为左端点的线段有线段 DB， 共有 3+2+1=6 条线段； （2）设线段上有 m 个点，该线段上共有线段 x 条， 则 x=（m1）+（m2）+（m3）+3+2+1， x=m（m1） ； （3）把 45 位同学看作直线上的 45 个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段， 直线上 45 个点所构成的线段条数就等于

8、握手的次数， 因此一共要进行 45 （451）=990 次握手 3细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. 12+1=2,S1= ,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;. (1)请用含有 n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律; (2)推算出 OA10的长; (3)求出+的长. 【答案】 （1）O=n;Sn=.（2）OA10=.（3） 4观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，它们有一定的规律，若记第一个数为 a1，第二个 7 数记为 a2，第 n 个数记为 an. (1)请写出 29 后面的第一个数； (2)通过计算 a2a1，a3a2，a4a3，由此推算 a100

9、a99的值； (3)根据你发现的规律求 a100的值 【答案】(1) 37；(2) a100a99100；(3)5 051. 八、平面直角坐标系 1如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如， ，根据这个规律探索可得，第 100 个点的坐标为 A B C D 【答案】D 【解析】 从图中可以看出横坐标为 1 的有一个点，横坐标为 2 的有 2 个点，横坐标为 3 的有 3 个点， 依此类推 8 横坐标为 n 的有 n 个点题目要求写出第 100 个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第 100 个点位于第几 列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式 解：

10、在横坐标上，第一列有一个点，第二列有 2 个点 第 n 个有 n 个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数 y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为； 偶数列的坐标为， 由加法推算可得到第 100 个点位于第 14 列自上而下第六行 代入上式得，即 故选 D 2如图所示在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆、，组成一条平滑的 曲线，点 P 从原点 O 出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 2019 秒时，点 P 的坐标是 A B C D 【答案】C 3如图，一个质点在第一象限及 轴、 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后 接着按图中箭头所示方向运动，即，且每

11、秒移动一个单位，那么第 80 秒 9 时质点所在位置的坐标是（ ） A （0，9） B （9，0） C （0，8） D （8，0） 【答案】C 当 n=8 时，n2+n=82+8=72， 当质点运动到第 72 秒时到达（8，8） ， 质点接下来向左运动，运动时间为 80-72=8 秒， 此时质点的横坐标为 8-8=0， 此时质点的坐标为（0，8） ， 第 80 秒后质点所在位置的坐标是（0，8） ， 故选 C. 4如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A（0，2） ，O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2 的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2

12、为正方形 ABO3A1的中心；再以正方形 ABO3A1的 对角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1BB1O4，O3为正方形 A1BB1O4的中心；再以正方形 A1BB1O4 的对角线 A1B1为边在 A1B1的右侧作正方形 A1B1O5A2，O4为正方形 A1B1O5A2的中心：；按照此规律继 续下去，则点 O2018的坐标为_ 10 【答案】 （210102，21009） 由题意 O1（1，1） ，O2（2，2），O3（，4，2） ，O4（，6，4） ，O5（10，4） ，O6（14，8） 观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为， 下标为偶数的点在直线 y= x+1 上， 点 O2

13、018的纵坐标为 21009， 21009= x+1， x=210102， 点 O2018的坐标为（210102，21009） ， 故答案为： （210102，21009） 5如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：，双曲线，在 l 上取一点，过作 x 轴的垂线交双曲线于点，过作 y 轴的垂线交 l 于点，请继续操作并探究：过作 x 轴的垂线交双曲 线于点，过作 y 轴的垂线交 l 于点， ，这样依次得到 l 上的点， ， 记点的横 坐标为，若，则_；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是_ 11 【答案】0、-1 即当时， ， ， ； 点不能在 y 轴上 此时找不到，即，

14、 点不能在 x 轴上 此时，在 y 轴上，找不到，即， 解得：； 综上可得不可取 0、 12 故答案为：；0、 九、其它型 1如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要 3 个黑色棋子，第二个图形 需要 8 个黑色棋子，按照这样的规律摆下去，第 （n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是 _（用含 n 的代数式表示） 【答案】n（n+2） 2观察下列方程的特征及其解的特点 x 3 的解为 x11，x22； x 5 的解为 x12，x23； x7 的解为 x13，x24. 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为_，其解为_； (2)根据这类方程的特征，写出第

15、n 个方程为_，其解为_； (3)请利用(2)的结论，求关于 x 的方程 x2(n2)(其中 n 为正整数)的解 【答案】 x9 x14，x25 x(2n1) x1n，x2n1 【解析】 （1）通过观察可知，3 个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1 2，6=2 3， 12=34，等号右边的规律为：-3=-(2 1+1)，-5=-(2 2+1)，-7=-(23+1)，解的规律：x1=方程序号的相反 数，x2=方程序号加 1 的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解 （2）根据（1）中的到的规律完成（2） ； （3）等号左右两边都加 3，可得 x+3=-(2n+1)，再依据已知

16、方程的特征及其解的特点解答即 13 可. 3对于 0，1 以及真分数 p，q，r，若 pqr，我们称 q 为 p 和 r 的中间分数为了帮助我们找中间分 数，制作了下表： 两个不等的正分数有无数多个中间分数 例如： 上表中第行中的 3 个分数 1 3 、1 2 、2 3 ， 有 112 323 ， 所以 1 2 为 1 3 和 2 3 的一个中间分数，在表中还可以找到 1 3 和 2 3 的中间分数 2 5 ， 3 7 ， 4 7 ， 3 5 把这个表一 直写下去，可以找到 1 3 和 2 3 更多的中间分数 （1）按上表的排列规律，完成下面的填空： 上表中括号内应填的数为 ； 如果把上面的表

17、一直写下去，那么表中第一个出现的 3 5 和 2 3 的中间分数是 ； （2）写出分数 a b 和 c d （a、b、c、d 均为正整数， ac bd ， cd）的一个 中间分数（用含 a、b、c、 d 的式子表示） ，并证明； 14 （3） 若 s m 与 t n（m、 n、s、 t 均为正整数） 都是 9 17 和 8 15 的中间分数， 则mn的最小值为 【答案】 （1） 2 7 ； 5 8 （2）证明见解析（3）1504 （2）本题结论不唯一，证法不唯一，如： 结论： ac bd a、b、c、d 均为正整数， ac bd ， cd， 2 0 1 ca b aca bdacabcad db b bdbb bdbbd d ， 2 0 1 ac d acc bdaccadbc bd d bddd bdbdd b aacc bbdd （3） 根据排列可知 9 17 和 8 15 的中间分数有 17 32 ， 35 66 ， 26 49 ， 25 47 等， 由此可得 mn 的最小值为 1504， 故答案为：1504.