专题05 棋盘摆米问题备战2020年中考数学典例精做题集（教师版）

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1、 1 知识精要知识精要 棋盘摆米问题是用方程思想解决求和问题。此方法还可以解决循环小数化分数问题。 要点突破要点突破 解题的关键是根据题意发现规律，再用方程思想解决求和问题。 典例精讲典例精讲 例：棋盘摆米：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国家象棋，献给了国王，国王从 此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘 上放一些米粒吧。第 1 格放 1 粒米，第 2 格放 2 粒米，第 3 格放 4 粒米，然后是 8 粒、16 粒、32 粒一 直到第 64 格。”“你真傻!就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有

2、这么多米！” 你认为国王的国库里有这么多米吗？ 事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的 64 个格子需要 236364 1222221 粒米， 64 21 到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个 20 位数： 18 446 744 073 709 551 615. 课堂精练课堂精练 1为了求 232016 12222的值，可令 232016 12222S ，则 232017 22222S ，因此 2017 221SS，所以 2320162017 1222221，请仿照 以上推理计算出 232016 1 5555 的值是（ ） A 2017 51 B 2017 51 4

3、C 2016 51 4 D 2016 51 【答案】B 2 【解析】设 232016 1 5555,S 则 2320162017 555555S ， 2017 451S ， 2017 51 4 S ， 故选 B. 2求的值，可令，则 ， 因 此， 即， 仿 照 以 上 推 理 ， 计 算 出 的值为_ 【答案】 3观察下列运算过程： ， 运用上面计算方法计算： _ 【答案】 【解析】首先根据已知设 S=1+5+52+53+524+525 ，再将其两边同乘 5 得到关系式，-即可求 得答案 设 S=1+5+52+53+52013 ， 3 则 5S=5+52+53+54+52014， -得：4S=

4、52014-1，所以 S=, 故答案为: 4阅读材料：计算 313233343536. 解：设 S313233343536， 则 3S323334353637， 由，得 3SS3731，则 S， 即 313233343536. 仿照以上解题过程，计算：515253545552018. 【答案】 5阅读材料：求 1+2+22+23+24+22013的值 解：设 S=1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得： 2S=2+22+23+24+25+22013+22014 将下式减去上式得 2SS=220141 即 S=220141 即 1+2+22+23+24+22

5、013=220141 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+210 （2）1+3+32+33+34+3n（其中 n 为正整数） 【答案】见解析. 【解析】 （1）设 S=1+2+22+23+24+210，两边乘以 2 后得到新的等式，与已知等式相减，变形即可求 4 出所求式子的值； （2）类比题目中的方法即可得到所求式子的值 （1）设 S=1+2+22+23+24+210， 将等式两边同时乘以 2 得 2S=2+22+23+24+210+211， 将下式减去上式得：2S-S=211-1，即S=211-1， 则 1+2+22+23+24+210=211-1； （2）设 S=1+3+

6、32+33+34+3n， 两边乘以 3 得：3S=3+32+33+34+3n+3n+1， -得：3S-S=3n+1 -1，即 S= 1 2 （3n+1-1） ， 则 1+3+32+33+34+3n = 1 2 （3n+1-1）. 6在求 166263646566676869的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前 一个加数的 6 倍，于是她设：S166263646566676869，然后在式的两边都乘以 6，得 6S66263646566676869610， 得 6SS6101， 即 5S6101， 所以 S 10 61 5 ， 得出答案后， 爱动脑筋的小林想： 如果把“6”换成字母“

7、a”(a0 且 a1)， 求 1aa2a3a4a2016的值。 【答案】 2017 1 1 a a 7在数学活动中，小明为了求的值(结果用 n 表示)，设计如图所示的几何图形 请你利用这个几何图形求的值 【答案】 5 【解析】方法 1.把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形分成两 个面积为 的正方形，再把面积为 的正方形分成两个面积为 的三角形，由图形揭示的规律进行解答即 可得. 由图可知， ， ， ， 所以. 8阅读理解题： 你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法 （1）阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将 0.7化成分数 设 0.7x 由 0.70.777，可知 10 0.77.77770.7 ， 即 7x10 x （请你体会将方程两边都乘以 10 起到的作用） 可解得 7 x 9 ，即 7 0.7 9 填空：将 0.4直接写成分数形式为_ （2）请仿照上述方法把小数 0.25化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程. 6 【答案】 （1） 4 9 （2）见解析