2020-2021学年沪科版九年级数学上册期末复习知识点总结

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1、 1 二次函数二次函数 记忆导图 形、平行四边形等形、平行四边形等直角三角形、等腰三角直角三角形、等腰三角几何图形存在性几何图形存在性 几何图形面积最值几何图形面积最值 线段和（或周长）最值线段和（或周长）最值 线段最值线段最值 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 利润利润 面积面积 用用二次函数在实际中的应二次函数在实际中的应 二次函数的应用二次函数的应用 程及不等式的联系程及不等式的联系二次函数与一元二次方二次函数与一元二次方 交点式交点式 一般式一般式 顶点式顶点式 待定系数法待定系数法 数学规律及关系数学规律及关系 二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定 对称对称 平移平移 图象的

2、变换规律图象的变换规律 与图象的关系与图象的关系二次函数一般式中系数二次函数一般式中系数 轴的交点轴的交点与与 轴的交点轴的交点与与 顶点顶点 二次函数中的特殊点二次函数中的特殊点 最值最值 增减性增减性 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 开口方向开口方向 形状：抛物线形状：抛物线 图象与性质图象与性质 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 一般形式：一般形式： 定义定义 二次函数的定义二次函数的定义 二次函数二次函数 cba x y acbxaxy , 0 2 考点 1 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如cbxaxy 2 0,acba为常数为常数的函数，叫做二次函数。 2.二

3、次函数一般式0 2 acbxaxy的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次多项式，x 的最高次数是 2。 a、b、c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 2 考点 2 二次函数的图象与性质 1.二次函数几种形式的图象与性质： 基本形式： 2 axy 的图象不性质 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。图象自己手动画 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 图象 a0 向上 （0,0） y 轴 x0 时，y 随 x 的增大而增大 x0 时，y 随 x 的增大而减小 x=0 时，y 有最小值 0 a0 时，y 随 x 的增大而减小 x0 向上 （0,c

4、） y 轴 x0 时，y 随 x 的增大而增大 x0 时，y 随 x 的增大而减小 x=0 时，y 有最小值 c 3 a0 时，y 随 x 的增大而减小 x0 向上 （h,0） 直线 x=h xh 时，y 随 x 的增大而增大 xh 时，y 随 x 的增大而减小 x=h 时，y 有最小值 0 ah 时，y 随 x 的增大而减小 x0 向上 （h,k） 直线 x=h xh 时，y 随 x 的增大而增大 xh 时，y 随 x 的增大而减小 x=h 时，y 有最小值 k ah 时，y 随 x 的增大而减小 4 x0 向上 a bac a b 4 4 , 2 2 直线 a b x 2 a b x 2

5、时，y 随 x 的增大而增大 a b x 2 时，y 随 x 的增大而减小 a b x 2 时，y 有最小值 a bac 4 4 2 a0 向上 a xxxx 2 2121 2 , 2 直线 2 21 xx x 2 21 xx x 时，y 随 x 的增大而增大 2 21 xx x 时，y 随 x 的增大而减小 5 2 21 xx x 时，y 有最小值a xx 2 21 2 a0 时，开口向上；当 a0，交于 y 轴正半轴；抛物线交于 y 轴正半轴，则 c0； c0，交于 y 轴负半轴。抛物线交于 y 轴负半轴，则 c0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或

6、向下(k0 第一、三象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 k0 第二、四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 |k|越大，图象离原点越远 双曲线是中心对称图形，对称中心为坐标原点 双曲线又是轴对称图形，对称轴为直线 y=x 和直线 y=-x。 考点 3 反比例函数中|k|的几何意义 定义 结论 反比例函数0kk x k y为常数，为常数，图象上的仸意一点的横纵坐标乊积等于比例系数 k。 kSSS OBPAOBPAOBPA 333222111 矩形矩形矩形矩形矩形矩形 14 2 332211 k SSS OAPOAPOAP BONAOM SS AOMAONBBONAONBAOB

7、SSSSS 四边形四边形四边形四边形 ABNMAOB SS 梯形梯形 点 A 不 C，点 B 不 D 分别关于原点对称，所以四边形 ABCD 为 平行四边形。从而 AOBABCD SS 四边形四边形 4 当 OA=OB 时，四边形 ABCD 为矩形 AOB90 四边形 ABCD 丌能成为菱形和正方形 21 SS 的值为定值的值为定值 四边形四边形 MONP S 当 M 为 AP 中点时，则 N 必为 BP 中点 当 M 为 AP 的 n 等分点时，N 必为 PB 的 n 等分点 考点 4 反比例函数的解析式求解 方法：待定系数法、利用 k 值法。 15 相似形 记忆导图 性质性质 概念概念 位

8、似图形位似图形 相似三角形的性质相似三角形的性质 相似三角形的判定相似三角形的判定 相似比相似比 相似三角形的定义相似三角形的定义 相似三角形相似三角形 义义平行线分线段成比例定平行线分线段成比例定 黄金分割黄金分割 比例的性质比例的性质 比例的项比例的项 成比例线段成比例线段 线段的比和比例线段的比和比例 比例线段比例线段 相似形相似形 考点 1 比例线段 1.相关概念 相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形 叫做相似多边形。 相似比或相似系数：相似多边形对应边长度的比。 比：用同一个长度单位去度量两条线段 a、b，得到它们的长度

9、，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 成比例线段：在四条线段 a、b、c、d 中，如果其中两条线段 a、b 的比，等于另外两条线段 c、d 的比，即 d c b a （戒 a:b=c:d） ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。线段 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、 d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项。 比例中项：若比例内项的两条线段是相等的，即线段 a、b、c 乊间有 a:b=b:c，那么线段 b 叫做线段 a、c 的比例 中项。 2.比例的性质 基本性质：若 d c b a ，则0,dbbcad；若bcad ，则 d c b a 0,db 16 合比

10、性质：若 d c b a ，则0, db d dc b ba 等比性质：若 n m d c b a ，且0 ndb，则 b a ndb mca (0, ndb) 3.黄金分割 定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段不较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割。 分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 2 15 叫做黄金数。 线段 AB=a，点 P 是 AB 上一点，且 AB:AP=AP:PB，则线段 AB AP = 2 15 4.平行线分线段成比例定理 （1）定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例。 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（戒两边的延长线）所得的对应

11、线段成比例。 （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（戒两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条线段平 行于三角形的第三边。 考点 2 相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（戒两边的延长线）相交，截得的三角形不原三角形相似。 判定定理 1：如果一个三角形的两个角不另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 17 似。 判定定理 3：如果一个三角形的三条边不另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 定理：如果一个

12、直角三角形的斜边和一条直角边不另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三 角形相似。 2.相似三角形的性质 根据定义知相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 定理：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 定理：相似三角形周长的比等于相似比。 定理：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.模型 考点 4 位似 一般地，如果一个图形上的点 111 ,PBA 和另一个图形上的点PBA, 分别对应，并且满足下面两点： 18 （1）直线 111 ,PPBBAA 都经过同一点 O； （2）k OP OP OB OB OA OA 111 那么，这两个图形叫做位似图

13、形，点 O 叫做位似中心。 考点 5 相似三角形中的辅助线 常常采用过等分点作平行线。 解直角三角形 记忆导图 边 角 关 系边 角 关 系 角 的 关 系角 的 关 系 边 的 关 系边 的 关 系 解 直 角 三 角 形 的 应 用解 直 角 三 角 形 的 应 用 三 角 函 数 的 取 值 范 围三 角 函 数 的 取 值 范 围 的 增 减 性的 增 减 性间 变 化 时 ， 三 角 函 数 值间 变 化 时 ， 三 角 函 数 值角在角在 特 殊 角 三 角 函 数 值特 殊 角 三 角 函 数 值 余 角 三 角 函 数 关 系余 角 三 角 函 数 关 系 同 角 三 角 函

14、数 关 系同 角 三 角 函 数 关 系 正切正切 余弦余弦 正弦正弦 锐 角 三 角 形 函 数锐 角 三 角 形 函 数 解 直 角 三 角 形解 直 角 三 角 形 关系关系特 殊 直 角 三 角 形 的 三 边特 殊 直 角 三 角 形 的 三 边 直 角 三 角 形 的 判 定直 角 三 角 形 的 判 定 直 角 三 角 形 的 性 质直 角 三 角 形 的 性 质 直 角 三 角 形直 角 三 角 形 900 - 考点 1 直角三角形相关知识点 1.直角三角形的性质 （1）两锐角互余； （2）三边满足勾股定理； （3）斜边上的中线等于斜边的一半； （4）30角所对的直角边等于斜

15、边的一半； （5）两直角边的乘积等于斜边不斜边上高的乘积，即chab 。 2.直角三角形的判定 （1）有一个角是直角； （2）两锐角互余； （3）勾股定理的逆定理； （4）一条边上的中线等于这条边的一半。 19 3.特殊直角三角形的三边关系 考点 2 解直角三角形 1.锐角三角形函数的定义 如图，在ABC 中，C=90。 锐角 A 的对边不斜边的比叫做A 的正弦，记作 sin A，即 c aA A 斜边斜边 的对边的对边 sin； 锐角 A 的邻边不斜边的比叫做A 的余弦，记作 cos A，即 c bA A 斜边斜边 的邻边的邻边 cos； 锐角 A 的对边不邻边的比叫做A 的正切，记作 ta

16、n A，即 b aA A 邻边邻边 的对边的对边 tan. 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数。 2.互余角的三角函数关系 BAcossin，BAsincos，1tantanBA 3.特殊角的三角函数值 20 x 0 30 45 60 90 函数值 sin A 0 2 1 2 2 2 3 1 cos A 1 2 3 2 2 2 1 0 tan A 0 3 3 1 3 丌存在 4.解直角三角形的四种基本类型 已知条件 解法类型 一条边 一个锐角 斜边 c 和锐角 A B=90-A，Acasin，Acbcos 直角边 a 和锐角 A B=90-A， A a b tan ， A a

17、 c sin 两条边 两条直角边 a 和 b 22 bac，由 b a A tan，求A，B=90-A 斜边 c 和直角边 a 22 acb，由 c a A sin，求A，B=90-A 5.基本图形 21 6.与解直角三角形有关的五种辅助线方式 见 30、45、60作垂直； 见 15、75、105思考特殊角，作垂直； 见 120、135、150反向延长，作垂直； 见坡度、坡角，仰角、俯角作垂直； 求某个角的三角函数值，作垂直戒转化为等角。 考点 3 解直角三角形的应用 1.常见概念 坡角：坡面不水平面的夹角叫做坡角，用表示 坡度（或坡比） ：坡面的铅直高 h 和水平宽度 l 的比叫作坡度，用 i 表示，tan l h i。 仰角、俯角：视线不水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。 象限角：指北戒指南方向线不目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做象限角。